Matrice (mathématiques)

Pour les articles homonymes, voir Matrice.

En mathématiques, les matrices sont des tableaux de nombres qui servent à interpréter en termes calculatoires et donc opérationnels les résultats théoriques de l'algèbre linéaire et même de l'algèbre bilinéaire. Toutes les disciplines étudiant des phénomènes linéaires utilisent les matrices. Quant aux phénomènes non linéaires, on en donne souvent des approximations linéaires, comme en optique géométrique avec les approximations de Gauss.

L'article Théorie des matrices présente des applications pratiques des matrices.

Définitions

Une matrice à m lignes et n colonnes est un tableau rectangulaire de mn nombres, rangés ligne par ligne. Il y a m lignes, et dans chaque ligne n nombres.

Passons maintenant à la définition formelle. Soient $R$ un ensemble et (m,n) un couple d'entiers positifs. Le plus souvent, l'ensemble $R$ est muni d'une structure de corps commutatif mais on utilise aussi fréquemment des matrices à coefficients dans un anneau.

On appelle matrice à coefficients dans R, de dimension (ou taille) (m, n) (c'est-à-dire à m lignes et n colonnes), une famille (a_i,j) d'éléments de R indexée par le produit cartésien des ensembles de nombres entiers {1, … , m} et {1, … , n}.

La matrice A pourra être notée par

$A=(a_{i,j})_{1\le i\le m,1\le j\le n}$

ou plus simplement (a_i,j) si le contexte s'y prête.

On représente généralement une matrice sous la forme d'un tableau rectangulaire. Par exemple, est représentée ci-dessous une matrice A, à coefficients entiers, et de dimension (3,4) :

$A=\begin{pmatrix} 0 &1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 & 7\\ 8 & 9 & 10 & 11\\ \end{pmatrix}$

Dans cette représentation, le premier coefficient de la dimension est le nombre de lignes, et le deuxième, le nombre de colonnes du tableau. Une matrice pour laquelle le nombre m de lignes est égal au nombre n de colonnes sera dite matrice carrée de taille (ou d’ordre) n. Une matrice ne comportant qu'une seule ligne et n colonnes est appelée matrice ligne de taille n. Une matrice comportant m lignes et une seule colonne est appelée matrice colonne de taille m.

Pour repérer un coefficient d'une matrice, on indique son indice de ligne puis son indice de colonne, les lignes se comptant du haut vers le bas et les colonnes de la gauche vers la droite. Par exemple, on notera a_i,j, les coefficients de la matrice A, i compris entre 1 et 3 désignant le numéro de la ligne sur laquelle figure le coefficient envisagé, et j compris entre 1 et 4 désignant son numéro de colonne ; ainsi a_2,4=7.

La disposition générale des coefficients d'une matrice A de taille (m,n) est donc la suivante

$A=\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n}\\ \end{pmatrix}$

Les coefficients $a i, j$ avec $i = j$ sont dits diagonaux, ceux avec $i\ne j$ sont dits extradiagonaux.

Une sous-matrice de $A$ est une matrice obtenue en sélectionnant une partie $I\subset\{1,\ldots,m\}$ de ses lignes et une partie $J\subset\{1,\ldots,n\}$ de ses colonnes ; on la note $A I, J$ . On dit qu'une sous-matrice est principale si $I = J$ dans la définition précédente. La diagonale de $A$ est le vecteur

$\operatorname{diag}(A):=\begin{pmatrix}a_{1,1}\\a_{2,2}\\\vdots\\a_{p,p}\end{pmatrix},$

où $p : = min(m, n)$ .

Pour effectuer certaines opérations, il peut être utile de travailler sur le système des lignes ou des colonnes d'une matrice. On pourra alors l'écrire sous une des formes suivantes

$A=\begin{pmatrix} L_1\\L_2\\\vdots \\ L_m\\\end{pmatrix}$ ou $A= \begin{pmatrix} C_1 & C_2 & \dots & C_n\\ \end{pmatrix}$ .

L'ensemble des matrices à coefficients dans R possédant m lignes et n colonnes est noté $M m, n (R)$ (ou parfois $M (m, n, R)$ ).

Lorsque m=n on note plus simplement $M n (R)$ .

Soit $A= (a_{i,j})_{1\le i\le m,\ 1\le j\le n} \in M_{m,n}(R)$ , on appelle matrice transposée de $A$ la matrice $^{\operatorname t}\!A=(a_{j,i})_{1\le j\le n,\ 1\le i\le m}$ . Remarquons que $^{\operatorname t}\!A\in M_{n,m}(R)$ .

Par exemple, avec la matrice A des exemples précédents, on a

$^{\operatorname t}\!A=\begin{pmatrix} 0 & 4 & 8\\ 1 & 5 & 9\\ 2 & 6 & 10\\ 3 & 7 & 11\\ \end{pmatrix}$

Espaces de matrices

On suppose maintenant que R est muni d'une structure d'anneau ; les éléments de R seront appelés scalaires, par opposition aux matrices dont nous allons voir qu'elles peuvent être considérées comme des vecteurs.

Addition et multiplication par un scalaire

On définit sur $M m, n (R)$ une loi de composition interne provenant de l'addition des scalaires :

(a i, j) + (b i, j) = (c i, j)

, où

c i, j = a i, j + b i, j

On ne peut additionner que deux matrices de même taille.

Exemple :

$\begin{array}{l} \begin{pmatrix} 0 &1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6 & 7\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 &0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 &1 & 3 & 4\\ 4 & 6 & 6 & 8\\ \end{pmatrix} \end{array}$

Pour chaque valeur du couple (m,n), l'espace $M m, n (R)$ devient alors un groupe abélien, d'élément neutre la matrice nulle, celle dont tous les coefficients valent 0.

On définit aussi une opération à gauche de R sur chaque espace $M m, n (R)$ en associant, à chaque scalaire λ dans R et à chaque matrice $(a i, j)$ à coefficients dans R, la matrice $λ(a i, j) = (λ a i, j)$ obtenue en effectuant la multiplication, dans R, de tous les coefficients de la matrice initiale par $λ$ : c'est la multiplication par un scalaire.

En reprenant toujours la matrice A du premier exemple :

$2A=\begin{pmatrix} 0 &2 & 4 & 6\\ 8 & 10 & 12 & 14\\ 16 & 18 & 20 & 22\\ \end{pmatrix}$

Les espaces $M m, n (R)$ ainsi obtenus ont donc une structure de R-module à gauche, et plus particulièrement de R-espace vectoriel, si R est un corps commutatif.

Base canonique de l'espace des matrices

Le R-module $M m, n (R)$ est libre de rang mn,, c'est-à-dire qu'il possède une base de mn éléments : il suffit de considérer la base canonique $(E_{i,j})_{1\leqslant i\leqslant m,\ 1\leqslant j\leqslant n}$ . La matrice $E i, j$ est celle dont tous les coefficients sont nuls sauf celui d'indice $(i, j)$ , qui vaut 1.

Les coordonnées dans la base canonique d'une matrice A sont ses coefficients :

$A = \sum _{1\leqslant i\leqslant n\atop 1\leqslant j\leqslant p} a_{i,j} E_{i,j}$

Exemple :

$\begin{pmatrix} 0 &1 & 2 \\ 4 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix} = 0\cdot \begin{pmatrix} 1 &0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} + 1\cdot \begin{pmatrix} 0 &1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} + 2\cdot \begin{pmatrix} 0 &0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} + 4\cdot \begin{pmatrix} 0 &0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} + 3\cdot \begin{pmatrix} 0 &0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} + 1\cdot \begin{pmatrix} 0 &0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$

Produit matriciel

Article détaillé : Produit matriciel.

On commence par définir le produit d'une matrice ligne par une matrice colonne^[1]. Soit n un nombre entier, L une matrice ligne, x_i ses coefficients, C une matrice colonne, y_i ses coefficients. On les suppose toutes deux de taille n. On définit alors le produit, considéré comme un scalaire ou une matrice de dimension (1,1) :

$LC = \begin{pmatrix}x_1&\dots&x_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\ y_n\end{pmatrix}=\sum_{1\le i\le n} x_iy_i$

On remarque la condition de compatibilité sur les tailles des matrices (égalité du nombre de colonnes de la première avec le nombre de lignes de la deuxième). On définit maintenant plus généralement un produit entre deux matrices, la première, (x_i,j) dans $M m, n (R)$ , la deuxième, (y_i,j) dans $M n, p (R)$ , toujours avec une condition de compatibilité sur les tailles (et l'ordre des facteurs de la multiplication ne peut en général pas être changé). Le résultat obtenu est une matrice de $M m, p (R)$ , dont les coefficients (z_i,j) sont obtenus par :

$z_{i,j}=\sum_{1\le k \le n} x_{i,k}y_{k,j}=x_{i,1}y_{1,j}+x_{i,2}y_{2,j}+\cdots+ x_{i,n}y_{n,j}$

À la lumière de l'exemple de la multiplication d'une matrice ligne par une matrice colonne, on peut reformuler cette définition en disant que ce coefficient est égal au produit de la ligne i de la première matrice par la colonne j de la deuxième, ce qui s'écrit de la manière suivante, si les L_i sont les lignes de la première matrice, et les C_j les colonnes de la deuxième, le produit est : $\begin{pmatrix}L_1\\\vdots\\ L_m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}C_1&\dots&C_p\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} L_1C_1 & L_1C_2 & \dots & L_1C_p\\L_2C_1 & L_2C_2 & \dots & L_2C_p\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ L_mC_1 & L_mC_2 & \dots & L_mC_p\\\end{pmatrix}$ .

Pour calculer en pratique un produit, il est nécessaire de visualiser l'opération. On considère le coefficient $c 1,2$ de la matrice produit C=AB si A est une matrice de type (4, 2), et B est une matrice de type (2, 3).

$c_{1,2} = \sum_{r=1}^2 a_{1,r}b_{r,2} = a_{1,1}b_{1,2}+a_{1,2}b_{2,2}$

Le produit matriciel est associatif, distributif à droite et à gauche par rapport à l'addition matricielle. En revanche, même si les dimensions permettent de donner un sens à la question, même si l'anneau des scalaires est commutatif, un produit de matrices ne commute en général pas : AB n'est pas égal à BA, par exemple :

$A =\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \quad B =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \quad AB =\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \quad BA =\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$

Remarque : le produit de deux matrices non nulles peut être nul, comme l'exemple au-dessus.

Ce contre-exemple prouve même que les matrices AB et BA ne sont pas toujours semblables. Il arrive même, selon les tailles respectives des matrices A et B, que l'un des deux produits existe et pas l'autre.

Lorsque l'anneau des scalaires est commutatif, la transposition et le produit matriciel sont compatibles au sens suivant :

$\forall A\in M_{n,p}(R),\ \forall B\in M_{p,q}(R),\ ^{\operatorname t}\!(AB)=^{\operatorname t}\!B~^{\operatorname t}\!A~.$

Matrice identité et inverse d'une matrice

Article détaillé : Matrice inversible.

Pour chaque nombre entier n, on note I_n la matrice carrée de taille n dont les coefficients diagonaux sont égaux à 1 et dont les autres coefficients sont nuls ; elle est appelée matrice identité de taille n.

$I_1=1\quad I_2= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} \quad I_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad I_n=(\delta_{i,j})_{1\le i\le n,1\le j\le n}$

où $δ i, j$ désigne le symbole de Kronecker.

Sous réserve de compatibilité des tailles, les matrices I_n sont neutres à droite et à gauche pour la multiplication.

$\forall A\in M_{m,n}(R),\ I_m\,A=A\,I_n =A~.$

Soit A une matrice de dimension (m,n). On dit que A est inversible à droite (respectivement à gauche) s'il existe une matrice B de taille (n,m) telle que $A B = I m$ (respectivement $B A = I n$ ). Pour une matrice carrée à coefficients dans un anneau commutatif, être inversible à droite et à gauche sont deux propriétés équivalentes. Une matrice les vérifiant sera dite inversible, sans plus de précision. Une matrice carrée est inversible si et seulement si son déterminant est inversible dans R (ce qui, si R est un corps, équivaut à ce que ce déterminant soit non nul). Le sous-ensemble de $M n (R)$ constitué des matrices inversibles possède une structure de groupe pour le produit matriciel, est appelé groupe linéaire et noté $G L n (R)$ .

Algèbre des matrices carrées

Lorsque l'anneau R est commutatif, l'ensemble $M n (R)$ des matrices carrées de taille n est donc muni d'une structure de R-algèbre associative et unitaire avec l'addition matricielle, le produit par un scalaire et le produit matriciel.

On appelle matrice scalaire une matrice de la forme $λ I n$ où λ est un élément de l'anneau R.

$aI_n=\begin{pmatrix} a & 0 & \dots & 0\\ 0 & a & \dots & 0\\ \vdots &\vdots&\ddots& \vdots \\ 0 & 0 &\dots & a \end{pmatrix}$

Ces matrices s'appellent matrices scalaires car elles se comportent comme des scalaires, vis-à-vis de la multiplication :

$\forall\lambda\in R,\ \forall A\in M_n(R),\ (\lambda I_n)A = \lambda A~.$

Lorsque R est commutatif, ou à défaut, lorsque λ est central dans R, c'est-à-dire lorsque λ commute avec tous les éléments de R, on a en outre :

$\forall\lambda \in R,\ \forall A\in M_n(R),\ A(\lambda I_n) = (\lambda I_n)A~.$

Réciproquement, toute matrice $B$ de $M n (R)$ telle que $\forall A\in M_n(R),\ AB=BA$ est une matrice scalaire $λ I n$ où λ est central dans R (ceci se démontre en prenant pour A les matrices de la base canonique).

Une matrice de la forme :

$\begin{pmatrix} a_1 & 0 & \dots & 0\\ 0 & a_2 & \dots & 0\\ \vdots &\vdots&\ddots& \vdots \\ 0 & 0&\dots & a_n \end{pmatrix}$

sera dite matrice diagonale.

Outre le déterminant, une autre fonction à noter est la trace. Toutes deux apparaissent dans un objet plus général, le polynôme caractéristique, qui à son tour permet d'obtenir certaines caractérisations des matrices diagonalisables (c'est-à-dire semblables à une matrice diagonale), ou de la trigonalisation.

Actions du groupe linéaire

Articles détaillés : Action de groupe, Matrice équivalente et Matrice semblable.

Il existe plusieurs manières de faire agir le groupe linéaire $G L n (R)$ sur les espaces de matrices, notamment :

action par multiplication à gauche de $G L m (R)$ sur $M m, n (R)$ , qui à P et A, associe PA,
action (à droite) par multiplication à droite de $G L n (R)$ sur $M m, n (R)$ , qui à $Q\in GL_n(R)$ et $A\in M_{m,n}(R)$ , associe $A Q - 1$ ,
action par conjugaison de $G L n (R)$ sur $M n (R)$ , qui à $P\in GL_n(R)$ et $A\in M_n(R)$ , associe $P A P - 1$ .

On décrit maintenant les résultats classiques sur ces actions, lorsque les scalaires forment un corps commutatif. Les deux premières actions sont souvent considérées simultanément ; on s'intéresse donc à la question : deux matrices A et B de dimension (m,n) étant données, existe-t-il des matrices $P\in GL_m(R)$ et $Q\in GL_n(R)$ telles que $A = P B Q - 1$ ? Si tel est le cas, les deux matrices A et B sont dites équivalentes. Le résultat principal est que deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles ont même rang, ce qui s'exprime encore en disant que le rang est un invariant complet pour les doubles classes définies par les deux actions de multiplication à gauche et à droite. Par ailleurs, une matrice étant donnée, on peut trouver d'autres matrices privilégiées (les matrices échelonnées) dans la même orbite pour une de ces actions par la méthode du pivot de Gauss.

Pour l'action par conjugaison, deux matrices carrées A et B de taille n dans la même orbite admettent une relation de la forme $A = P B P - 1$ , pour une certaine matrice P inversible de taille n ; deux telles matrices sont dites semblables. La description d'un système complet d'invariants est plus délicate. On appelle ces invariants les invariants de similitude. D'un point de vue algorithmique, la réduction d'une matrice quelconque à une matrice sous une forme privilégiée se fait par un algorithme inspiré de celui du pivot de Gauss, voir théorème des facteurs invariants.

Interprétations linéaires

Un intérêt principal des matrices est qu'elles permettent d'écrire commodément les opérations habituelles de l'algèbre linéaire, avec une certaine canonicité.

Coordonnées

Articles détaillés : Base et Rang.

Le premier point est de remarquer que le R-module Rⁿ s'identifie canoniquement à l'espace de matrices colonne $M n,1 (R)$ : si e_i est le n-uplet de Rⁿ dont tous les coefficients sont nuls, sauf le i-ème qui vaut 1, on lui associe la i-ème matrice colonne $E i,1$ de la base canonique de $M n,1 (R)$ (celle dont tous les coefficients sont nuls sauf le i-ème qui vaut 1), et on étend l'identification par linéarité ; la matrice associée à chaque n-uplet sera appelée matrice coordonnée canonique.

D'autres identifications sont cependant possibles ; lorsqu'on peut parler de base (si l'anneau des scalaires est un corps, ou est principal, par exemple), on peut associer les matrices colonnes élémentaires à n'importe quelle base de l'espace R_n (ou plus généralement d'un R-module libre), puis à nouveau étendre par linéarité ; les matrices associées seront appelées matrices coordonnées dans la base envisagée.

On peut juxtaposer les matrices coordonnées, dans une base fixée, de plusieurs n-uplets. On obtient ainsi la matrice coordonnée d'une famille de vecteurs. Le rang de la matrice est alors défini comme la dimension de la famille de ces vecteurs. En particulier la matrice d'une base dans une autre base est appelée matrice de passage entre ces deux bases, ou matrice de changement de base. Si X et X' sont les matrices coordonnées du même vecteur dans deux bases B et C, et que P est la matrice de la base C dans la base B, on a la relation (une matrice de passage est toujours inversible) :

$X=PX'\quad X'=P^{-1} X$

Applications linéaires

Soient E et F deux R-modules (à gauche) libres de dimensions finies. Soient B=(e₁,...,e_p) une base de E et C=(f₁,...,f_n) une base de F. Soit enfin φ une application linéaire de E dans F.

On appelle matrice de φ dans le couple de bases (B,C) la matrice : $mat_{ B, C}\,\varphi = mat_{C}(\varphi(e_1),\dots,\varphi(e_p))~.$ L'application de $L (E, F)$ dans $M n, p (R)$ qui à φ associe la matrice $M=mat_{ B, C}\, \varphi$ est un isomorphisme.

Soit x un vecteur de E. Notons y=φ(x), $X=mat_{B}\,x$ , $Y=mat_C\,y$ et $M=mat_{ B, C}\,\varphi$ . Lorsque l'anneau R est commutatif (ou si l'on travaille avec des modules à droite), ces matrices sont reliées par : $Y = M X$ , autrement dit :

$mat_C~\varphi(x)=mat_{B,C}~\varphi\times mat_B~x.$

Cette formule devient

$^{\operatorname t}\!Y=^{\operatorname t}\!\left(M\,X\right)=^{\operatorname t}\!X~^{\operatorname t}\!M$

pour des modules à gauche sur un anneau non commutatif.

Si ψ est une deuxième application linéaire, de F dans un troisième module G de base D, alors, relativement aux bases B, C, D, la matrice de la composée ψ∘φ est égale au produit des matrices de ψ et φ. Plus précisément :

$mat_{B,D}~\psi\circ\varphi=mat_{C,D}~\psi\times mat_{B,C}~\varphi.$

En effet, pour tout vecteur x de E, en notant y=φ(x), z=ψ(y) et X, Y, Z les coordonnées respectives de ces trois vecteurs dans les bases B, C, D, on a Z=mat_(C,D)ψ.Y=mat_(C,D)ψ.mat_(B,C)φ.X.

L'application $X\mapsto MX$ du R-module $M p,1 (R)$ dans le R-module $M n,1 (R)$ est linéaire et sa matrice dans les bases canoniques est $M$ . C'est un point clef du lien entre algèbre linéaire et matrices.

En conséquence, il arrive souvent que l'on l'identifie avec l'application linéaire ci-dessus. On parlera alors de noyau de la matrice, d'espaces propres de la matrice, d'image de la matrice, etc.

Si E et F sont deux R-modules, B et B' deux bases de E, de cardinal p, et C et C' deux bases de F de cardinal n, $P=mat_{B}\,B'$ la matrice de passage de B vers B' et Q la matrice de passage de C vers C' , alors les deux matrices M et M' d'une même application linéaire φ de E dans F, dans les couples de bases (B,C) et (B',C') sont liées par la relation :

$M'=Q^{-1} M P\quad M=Q M' P^{-1}~.$

On constate ainsi que deux matrices équivalentes sont deux matrices qui représentent la même application linéaire dans des bases différentes.

En particulier, dans le cas d'un endomorphisme, si on impose B= B' et C=C' , les formules précédentes se simplifient :

$M'=P^{-1} M P\quad M=P M' P^{-1}~.$

On constate ainsi que deux matrices semblables sont deux matrices qui représentent le même endomorphisme dans des bases différentes.

Systèmes d'équations linéaires

Article détaillé : Système d'équations linéaires.

En général, un système de m équations linéaires à n inconnues peut être écrit sous la forme suivante :

$\left\{\begin{matrix} a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+...+a_{1,n}x_n = b_1 \\ a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+...+a_{2,n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ \vdots \\ a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+...+a_{m,n}x_n = b_m\end{matrix}\right.$

Où $x 1,..., x n$ sont les inconnues et les nombres $a i, j$ sont les coefficients du système.

Ce système peut s'écrire sous la forme matricielle :

A x = b

avec :

$A=\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n} \end{pmatrix}; \qquad x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2\\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\quad\text{et}\quad b=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix} ;$

la théorie de la résolution des systèmes utilise les invariants liés à la matrice A (appelée matrice du système), par exemple son rang, et, dans le cas où A est inversible, son déterminant (voir l'article règle de Cramer).

Interprétations bilinéaires

Dans ce paragraphe, l'anneau R des scalaires sera supposé commutatif. Dans la plupart des applications, ce sera un corps commutatif.

Le cas non commutatif existe aussi mais il faut prendre quelques précautions et les notations deviennent trop lourdes pour cet article.

Matrice d'une forme bilinéaire

Soient E un R-module libre et B=(e₁,...,e_n) une base de E.

Soit $f : E\times E \to R$ une forme bilinéaire. On définit la matrice de $f$ dans la base B par la formule suivante :

$mat_B\, f = (f(e_i,e_j))_{1\le _i\le n,\ 1\le j\le n}= \begin{pmatrix} f(e_1,e_1) & f(e_1,e_2) & \dots & f(e_1,e_n)\\ f(e_2,e_1) & f(e_2,e_2) & \dots & f(e_2,e_n)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ f(e_n,e_1) & f(e_n,e_2) & \dots & f(e_n,e_n)\\ \end{pmatrix}$

Dans le cas particulier où $R=\R$ et $f$ est un produit scalaire, cette matrice est appelée matrice de Gram.

La matrice $mat_B\, f$ est symétrique (respectivement antisymétrique) si et seulement si la forme bilinéaire $f$ est symétrique (respectivement antisymétrique).

Soient $x$ et $y$ deux vecteurs de E. Notons $X$ et $Y$ leurs coordonnées dans la base B et $A=mat_B\, f$ . On a alors la formule : $f(x,y)=^{\operatorname t}\!X~A~Y$ .

Deux formes bilinéaires sont égales si et seulement si elles ont la même matrice dans une base donnée.

Matrice d'une forme quadratique

Lorsque R est un corps de caractéristique différente de 2, on appelle matrice d'une forme quadratique la matrice de la forme bilinéaire symétrique dont est issue la forme quadratique.

Formule de changement de base

Soient E un R-module libre et B, C deux bases de E. Soit $f : E\times E \to R$ une forme bilinéaire.

Notons $M= mat_B\, f$ la matrice de $f$ dans la base B et $M'= mat_C\, f$ la matrice de $f$ dans la base C. Notons $P =mat_{B\, C}$ la matrice de passage. On a alors la formule de changement de base pour une forme bilinéaire (à ne pas confondre avec celle pour une application linéaire) :

$M'=^{\operatorname t}\!P~M~P$

Matrices congruentes

Article détaillé : Matrice congruente.

Deux matrices carrées A et B sont dites congruentes s'il existe une matrice inversible P telle que

$A = ^{\operatorname t}\!P~B~P~.$

Deux matrices congruentes sont deux matrices qui représentent la même forme bilinéaire dans deux bases différentes.

Lorsque R est un corps de caractéristique différente de 2, toute matrice symétrique est congruente à une matrice diagonale. L'algorithme utilisé s'appelle réduction de Gauss à ne pas confondre avec le pivot de Gauss.

Matrices orthogonales

Article détaillé : Matrice orthogonale.

Une matrice carrée $A$ est dite orthogonale si

$^{\operatorname t}\!A~A = A~^{\operatorname t}\!A = I$ .

Des exemples de matrices orthogonales sont les matrices de rotation, comme la matrice de rotation plane d'angle θ

$\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}$

ou les matrices de permutation, comme

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}~.$

Matrices symétriques

Article détaillé : Matrice symétrique.

Une matrice symétrique est une matrice qui est égale à sa propre transposée.

Exemple :

$\begin{pmatrix} 7 & 4 & 6\\ 4 & 0 & 10\\ 6 & 10 & 12\end{pmatrix}$

Matrices antisymétriques

Article détaillé : Matrice antisymétrique.

Une matrice carrée A est dite antisymétrique si sa transposée est égale à son opposée ; c'est-à-dire si elle satisfait à l'équation : ^tA = -A.

Exemple :

$\begin{pmatrix} 0 & -3 & 1\\ 3 & 0 & 4\\ -1 & -4 & 0 \end{pmatrix}$

Matrice d'une forme sesquilinéaire

Matrices hermitiennes

Une matrice $A$ est dite hermitienne si elle est égale à la conjuguée de sa transposée; c'est-à-dire si elle satisfait l'égalité :

$A = ^t\overline{A}$ .

Exemple :

$\begin{pmatrix}3&i&-5i\\-i&-2&5\\ 5i&5&10\end{pmatrix}$

Matrices unitaires

Article détaillé : Matrice unitaire.

Une matrice carrée $A$ est dite unitaire si

$^{\operatorname t}\!\overline A~A = A~^{\operatorname t}\!\overline A = I$ .

Matrices quaternioniques

Article détaillé : Matrice quaternionique.

Décomposition d'une matrice

On utilise abusivement le terme décomposition d'une matrice, qu'il s'agisse d'une véritable décomposition (en somme) comme dans la décomposition de Dunford ou d'une factorisation comme dans la plupart des autres décompositions.

Réduction d'une matrice carrée

Articles détaillés : Réduction d'endomorphisme, matrice diagonalisable, trigonalisation, polynôme d'endomorphisme et polynôme minimal d'un endomorphisme.

Réduire une matrice, c'est trouver une matrice qui lui est semblable la plus simple possible.
Une matrice diagonalisable est une matrice semblable à une matrice diagonale : $A$ est diagonalisable s'il existe une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A = P - 1 D P$ .
Sur un corps algébriquement clos, on dispose de la réduction de Jordan qui est optimale et il existe des décompositions intermédiaires comme la décomposition de Dunford qui utilise les sous-espaces caractéristiques ou celle de Frobenius qui utilise les sous-espaces cycliques.
Les polynômes d'endomorphismes jouent un rôle crucial dans les techniques de réduction.

Décomposition LU

Article détaillé : Décomposition LU.

C'est une factorisation en produit de deux matrices triangulaires.
En lien avec le pivot de Gauss, c'est une méthode qui permet d'inverser une matrice.

Décomposition QR

Article détaillé : Décomposition QR.

C'est un résultat sur les matrices à coefficients réels ou à coefficients complexes.
C'est une factorisation en produit d'une matrice orthogonale et d'une matrice triangulaire.
C'est une traduction matricielle du procédé de Gram-Schmidt.

Décomposition polaire

Article détaillé : Décomposition polaire.

C'est un résultat sur les matrices à coefficients réels ou à coefficients complexes.
C'est une factorisation en produit d'une matrice orthogonale et d'une matrice symétrique définie positive dans le cas réel, en produit d'une matrice unitaire et d'une matrice hermitienne définie positive dans le cas complexe.
On peut décomposer à droite ou à gauche.
On a unicité de la factorisation pour les matrices inversibles.

Normes et rayon spectral

Dans tout ce paragraphe, les matrices considérées sont dans $M_n(\R)$ ou $M_n(\C)$ . De plus on identifie une matrice $A$ avec l'endomorphisme de $M_{n,1}(\R)$ ou $M_{n,1}(\mathbb C)$ qui à la matrice colonne $X$ associe la matrice colonne $A X$ . Le cas réel et le cas complexe sont identiques.

Normes et normes d'algèbre

Article détaillé : Norme.

Soit $N$ une norme sur $M_n(\R)$ ou $M_n(\C)$ .

On dit que $N$ est une norme d'algèbre (on dit aussi norme de Banach ou norme multiplicative) si

$\forall (A,B),\ N(AB)\le N(A)N(B).$

Certains auteurs imposent en outre que $N (I n) = 1$ .

Pour une norme quelconque, l'application bilinéaire $(A,B) \mapsto AB$ étant continue (on est en dimension finie), on est assuré de l'existence d'une constante $k > 0$ telle que

$\forall (A,B),\ N(AB)\le kN(A)N(B).$

Par suite, la norme $k N$ est une norme d'algèbre. Toute norme sur $M_n(\R)$ ou $M_n(\C)$ est donc proportionnelle à une norme d'algèbre.

Rayon spectral

Article détaillé : Rayon spectral.

Soit $A$ une matrice carrée à coefficients complexes. On appelle rayon spectral le plus grand module des valeurs propres de $A$ . Dans tout ce qui suit, on notera $ρ(A)$ le rayon spectral de $A$ .

Théorème : Pour toute norme d'algèbre $N$ sur $M_n(\R)$ (respectivement dans $M_n(\mathbb C)$ ) et pour toute matrice $A$ dans $M_n(\R)$ (respectivement dans $M_n(\mathbb C)$ ), l'inégalité suivante est vérifiée :

$\rho(A)\le N(A)$

Démonstration : Soit $λ$ une valeur propre de $A$ et $X$ un vecteur propre associé. notons $B$ la matrice carrée dont la première colonne est $X$ et les autres sont nulles. On a $A B = λ B$ donc $N(AB) = |\lambda| N(B)\le N(A)N(B)$ et on peut simplifier par $N (B)$ car le vecteur $X$ étant non nul, il en est de même de la matrice $B$ .

De plus, on montre que $ρ(A) = inf N (A)$ , la borne inférieure étant prise sur l'ensemble des normes subordonnées, donc a fortiori sur l'ensemble des normes d'algèbre.

Par contre, l'égalité peut s'avérer impossible. Il suffit pour cela de considérer une matrice non nulle dont le rayon spectral est nul : $\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

Normes subordonnées

Articles détaillés : Norme subordonnée et Conditionnement (analyse numérique).

Lorsqu'on munit $M_{n,1}(\R)$ d'une norme $\|.\|$ , on munit automatiquement $M_n(\R)$ d'une norme, appelée norme subordonnée à $\|.\|$ . Elle est donnée par la formule suivante donnée pour une matrice $A$ quelconque dans $M_{n,1}(\R)$ : $|||A ||| = \sup _{\|X\|\le 1} \|AX\|$

En notant $A=(a_{i,j})_{1\le i\le n,\ 1\le j\le n}$ , on a

Si $\|X\| = \max_{1\leq i \leq n} |x_i|$ , (norme infinie), alors la norme de $A$ vaut :

$\max_{1\leq i \leq n} \sum _{1\leq j \leq n} |a_{i,j}|$

Si $\|X\| = \sum _{1\leq i \leq n} |x_i|$ , (norme indice 1), alors la norme de $A$ vaut :

$\max_{1\leq j \leq n} \sum _{1\leq i \leq n} |a_{i,j}|$

Toute norme subordonnée est une norme d'algèbre avec en plus $|||I_n |||=1\,$ .

La réciproque, même avec cette clause supplémentaire $|||I_n |||=1\,$ , est fausse. En effet, si $N$ est subordonnée à $\|.\|$ , avec $\|X_0\|=1$ , il est nécessaire que, pour tout $X$ , on ait $\|X\| = \inf_{AX_0=X} N(A)$ . C'est une conséquence immédiate du théorème de Hahn-Banach.

À présent, si on pose

$N\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\max(|a|+|c|,2|b|+|d|)\quad\text{et}\quad X_0=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}~,$

on vérifie toutes les propriétés attendues de $N$ , mais le procédé précédent donne comme norme $\|X\| = \inf_{AX_0=X} N(A)$ la norme $\|\|_1$ classique, dont la norme subordonnée (cf. ci-dessus) n'est pas $N$ .

Norme subordonnée à la norme euclidienne

On se place dans la cas où $M_{n,1}(\R)$ est muni de sa norme euclidienne canonique donnée par $\|X\|^2 = \sum _{1\leq i \leq n} |x_i|^2$ .

Lorsque $A$ est une matrice symétrique (respectivement hermitienne), la norme de $A$ est égale au rayon spectral de $A$ .

Dans le cas où $A$ est une matrice quelconque, la norme de $A$ est égal à $\sqrt {\rho(^{\operatorname t}\!A~A)}.$

La norme de $A$ est donc la plus grande des valeurs singulières de $A$ (les valeurs singulières de $A$ sont, par définition, les racines carrées des valeurs propres de $^{\operatorname t}\!A~A$ ).

Structure d'espace vectoriel euclidien

L'espace vectoriel $M_{m,n}\equiv M_{m,n}(\mathbb{R})$ est canoniquement muni d'une structure euclidienne en voyant les éléments de $M m, n$ comme une collection de $m n$ réels et en important la structure euclidienne de $\mathbb{R}^{mn}$ . Le produit scalaire s'écrit

$(A,B)\in M_{m,n}\times M_{m,n}\mapsto\langle A,B\rangle:=\operatorname{tr}(^{\operatorname t}\!A~B)=\sum_{\scriptstyle 1\leq i\leq n\atop\scriptstyle 1\leq j\leq n}A_{ij}B_{ij}\in\mathbb{R},$

où $\operatorname{tr}$ désigne la trace (i.e., $\textstyle\operatorname{tr}\,A=\sum_{i=1}^nA_{ii}$ ) et les $A i j$ (resp. $B i j$ ) désignent les éléments de $A$ (resp. $B$ ). La norme associée à ce produit scalaire est la norme de Frobenius :

$\|A\|_F=\left(\sum_{\scriptstyle 1\leq i\leq n\atop\scriptstyle 1\leq j\leq n}A_{ij}^2\right)^{\frac{1}{2}}$

Il ne s'agit pas d'une norme matricielle subordonnée à une norme vectorielle si $n > 1$ , puisque $\|I\|_F=\sqrt{n}\ne1$ .

Exponentielle d'une matrice

Article détaillé : Exponentielle d'une matrice.

Soit $A\in M_n(\C)$ , Soit $N$ une norme d'algèbre et $\sum a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R$ .

Alors si $N (A) < R$ , la série $\sum a_n A^n$ est absolument convergente. (On le montre en utilisant que $N(A^n)\le N(A)^n$ .)

En particulier, on peut définir, pour toute matrice carrée complexe, la quantité

$\exp (A) = \sum_{k=0}^{+\infty} \frac1{k!} A^k$

Le calcul effectif de cette exponentielle se fait par réduction de la matrice.

L'exponentielle joue un rôle central dans l'étude des systèmes linéaires d'équations différentielles.

Notes

↑ On peut remarquer que ce produit est donné par une formule analogue à celle donnant le produit scalaire usuel ; cette remarque sera exploitée plus loin

Voir aussi

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Bibliographie

J.M. Arnaudiès et H. Fraysse Cours de mathématiques, Dunod, 1980
Bourbaki Algèbre I : Chapitres 1 à 3, CCLS, 1970.
Bourbaki Algèbre I : Chapitres 1 à 3, Springer, 2006.
Rached Mneimné, Réduction des endomorphismes, Calvage et Mounet, Paris, 2006 (ISBN 978-2-916352-01-5)

Liens externes

Frédéric Brechenmacher, Les matrices : formes de représentation et pratiques opératoires (1850-1930)

Articles connexes

Matrice de rotation
Matrice de transition
Comatrice
Tenseur
Représentation de groupe
Paire de matrices commutantes
Formule du binôme pour deux matrices qui commutent

v · carrée • triangulaire • diagonale • tridiagonale • élémentaire • échelonnée • creuse • aléatoire • circulante • de Hankel • de Toeplitz • de Vandermonde
Transformée	transposée • conjuguée • adjointe • inverse • comatrice
En relation	équivalentes • semblables • congruentes
Par propriété	inversible • diagonalisable • trigonalisable • symétrique • antisymétrique • hermitienne • normale • orthogonale • unitaire • symplectique • de Hadamard • positive • définie positive • à diagonale dominante • nilpotente
Par famille	identité • de De Casteljau • de Cartan • de Hilbert • de Mueller • de Pauli • de Dirac • de Householder
Particulière	CKM
Associée	de permutation • de passage • compagnon • de Sylvester • d'adjacence • laplacienne • hessienne • jacobienne • génératrice • de contrôle • de corrélation • de Gram • de variance-covariance • d'inertie • de Jones • des gains • stochastique
Résultats	décompositions : LU • QR • Cholesky • polaire • valeurs singulières Diagonalisation • Trigonalisation • Réduction de Jordan • facteurs invariants
Voir aussi	Théorie des matrices • Algèbre linéaire • Algèbre bilinéaire

v · d · m Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel • Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

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Matrice (mathématiques)

Sommaire

Définitions

Espaces de matrices

Addition et multiplication par un scalaire

Base canonique de l'espace des matrices

Produit matriciel

Matrice identité et inverse d'une matrice

Algèbre des matrices carrées

Actions du groupe linéaire

Interprétations linéaires

Coordonnées

Applications linéaires

Systèmes d'équations linéaires

Interprétations bilinéaires

Matrice d'une forme bilinéaire

Matrice d'une forme quadratique

Formule de changement de base

Matrices congruentes

Matrices orthogonales

Matrices symétriques

Matrices antisymétriques

Matrice d'une forme sesquilinéaire

Matrices hermitiennes

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Décomposition d'une matrice

Réduction d'une matrice carrée

Décomposition LU

Décomposition QR

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Normes et rayon spectral

Normes et normes d'algèbre

Rayon spectral

Normes subordonnées

Norme subordonnée à la norme euclidienne

Structure d'espace vectoriel euclidien

Exponentielle d'une matrice

Notes

Voir aussi

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