- Décomposition de Frobenius
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On considère un K-espace vectoriel E de dimension finie et un endomorphisme u de cet espace. Une décomposition de Frobenius est une décomposition de l'espace E en somme directe de sous-espaces cycliques, telle que les polynômes minimaux (ou caractéristiques) respectifs des restrictions de u aux facteurs sont les facteurs invariants de u. La décomposition de Frobenius peut s'effectuer sur un corps quelconque, on ne suppose pas ici que K est algébriquement clos.
Sommaire
Polynôme conducteur
Soit x un vecteur de E, l'ensemble
![I_x=\{P\in K[X]\mid P(u)(x)=0\}](d/a8d881ed5da882b9531e475451512abb.png)
est un idéal non nul de K[X], il est donc engendré par un unique polynôme normalisé πu,x appelé polynôme conducteur de u en x, ou parfois polynôme minimal local de u en x.Sous-espace cyclique
Soit x un vecteur de E, l'ensemble
![S_x=\{P(u)(x)\mid P\in K[X]\}](0/9b0380de53edf0c2394f073ec285e463.png)
est un sous-espace vectoriel de E stable par u appelé sous-espace u-cyclique engendré par x, ou encore clôture u-stable de x.Soit
![P\in K[X]](a/4facb36da11821b818abd66b424a6a76.png)
, on a 
si et seulement si 
. Ainsi le polynôme conducteur πu,x est le polynôme minimal de l'endomorphisme induit par u sur le sous-espace Sx.La dimension de Sx est égale au degré du polynôme πu,x.
Vecteurs u-maximums
Pour tout vecteur x de E, le polynôme conducteur πu,x divise le polynôme minimal πu de u. On dira que x est u-maximum lorsque πu,x = πu. La décomposition de Frobenius est basée sur les deux résultats non triviaux suivants :
- Tout endomorphisme u admet un vecteur u-maximum.
- Pour tout vecteur u-maximum x, Sx admet un supplémentaire stable.
En procédant par récurrence, on parvient alors à la :
Décomposition de Frobenius
Il existe une suite de vecteurs
de E telle queLes polynômes
ne dépendent pas du choix des vecteurs xi, ce sont les facteurs invariants de u. Le polynôme minimal 
et le polynôme caractéristique 
.Deux endomorphismes sont semblables ssi ils ont les mêmes facteurs invariants.
Les endomorphismes induits par u ont des propriétés spécifiques, ce sont des endomorphismes cycliques dont il ne reste plus qu'à étudier les propriétés spécifiques.
Endomorphisme cyclique
On dit que u est un endomorphisme cyclique ssi il existe un élément x de E tel que Sx = E.
On peut caractériser les endomorphismes cycliques de plusieurs manières : un endomorphisme u de E est cyclique si et seulement si
- Le degré du polynôme minimal de u est égal à la dimension de E
- Le polynôme minimal et le polynôme caractéristique de u sont égaux (au signe près).
- Un endomorphisme commute avec u si et seulement si c'est un polynôme en u.
- Il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est une matrice compagnon. C'est alors la matrice compagnon du polynôme minimal de u.
Applications
- La décomposition de Frobenius permet d'étudier le commutant et le bicommutant d'un endomorphisme.
- Elle permet aussi de démontrer élégamment le fait qu'une matrice et sa transposée sont semblables. On le démontre manuellement pour une matrice compagnon et cela suffit.
Références
- On pourra trouver les démonstrations ici [1].
- J. Fresnel: Algèbre des matrices, Hermann 1997, § A 4.1, pages 139 - 141.
Voir aussi
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