Invariants De Similitude

Invariants De Similitude

Invariants de similitude

En algèbre linéaire, un système complet d'invariants pour la relation de similitude entre les matrices carrées de même taille à coefficients dans un corps est connu : ces invariants sont classiquement appelés invariants de similitude. Ils consistent en une suite finie de polynômes totalement ordonnée pour la relation de divisibilité, dont les deux extrêmes sont le polynôme caractéristique et le polynôme minimal.

On peut montrer que, si A est une matrice carrée de taille n à coefficients dans le corps \mathbb{K}, alors il existe une matrice diagonale par blocs B de même taille qui soit semblable à A, et dont les blocs diagonaux soient les matrices compagnons de certains polynômes de \mathbb{K}[X], totalement ordonnés par la divisibilité, et que la suite de ces polynômes, à multiplication par des inverses près, caractérise entièrement la classe de similitude de A : ce sont les invariants de similitude. L'existence d'une telle matrice B repose sur la structure de \mathbb{K}[X]-module de type fini, induite sur l'espace vectoriel \mathbb{K}^n par la multiplication à gauche par les polynômes en A, et l'application à cette structure du théorème des facteurs invariants : les invariants de similitude se trouvent être les facteurs invariants de cette structure de \mathbb{K}[X]-module.

Le calcul de ces invariants de similitude est effectif par des algorithmes du type pivot de Gauss.

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