Decomposition polaire

Decomposition polaire

Décomposition polaire

Sommaire

Décomposition polaire d'une matrice réelle

 \left\{\begin{array}{lll}
O_n(\R)\times S_n^{++}(\R) &\to &GL_n(\R)\\
(Q,S) &\mapsto & QS
\end{array}\right.\quad
\left\{\begin{array}{lll}
O_n(\R)\times S_n^{++}(\R) &\to &GL_n(\R)\\
(Q,S) &\mapsto & SQ
\end{array}\right.

Autrement dit, toute matrice inversible réelle se décompose de façon unique en produit d'une matrice orthogonale et d'une matrice symétrique strictement positive.

  • Les applications suivantes sont surjectives mais en général non injectives :
 \left\{\begin{array}{lll}
O_n(\R)\times S_n^{+}(\R) &\to &\mathcal M_n(\R)\\
(Q,S) \mapsto QS
\end{array}\right.\quad
\left\{\begin{array}{lll}
O_n(\R)\times S_n^{+}(\R) &\to &\mathcal M_n(\R)\\
(Q,S) \mapsto SQ
\end{array}\right.

Décomposition polaire d'une matrice complexe

 \left\{\begin{array}{lll}
U_n(\mathbb C)\times H_n^{++}(\mathbb C) &\to &GL_n(\mathbb C)\\
(Q,S) &\mapsto & QS
\end{array}\right.\quad
\left\{\begin{array}{lll}
U_n(\mathbb C)\times H_n^{++}(\mathbb C) &\to &GL_n(\mathbb C)\\
(Q,S) &\mapsto  & SQ
\end{array}\right.

Autrement dit, toute matrice inversible complexe se décompose de façon unique en produit d'une matrice unitaire et d'une matrice hermitienne strictement positive.

  • Les applications suivantes sont surjectives mais en général non injectives :
 \left\{\begin{array}{lll}
U_n(C)\times H_n^{+}(C) &\to &\mathcal M_n(C)\\
(Q,S) \mapsto QS
\end{array}\right.\quad
\left\{\begin{array}{lll}
U_n(C)\times H_n^{+}(C) &\to &\mathcal M_n(C)\\
(Q,S) \mapsto SQ
\end{array}\right.

Remarque. Pour n=1, on retrouve l'écriture z = reiθ d'un nombre complexe non nul. C'est la raison du nom de décomposition polaire : c'est une sorte de généralisation des coordonnées polaires.

Références

R. Mneimné, F. Testard, Introduction à la théorie des groupes de Lie classiques, Hermann 1986, (ISBN 2-70566-040-2) (voir pages 18–20)

Voir aussi

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