Sous-espace caracteristique

Sous-espace caracteristique

Sous-espace caractéristique

Définitions

Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E. Soit \ \lambda \in \mathrm{sp}(u)

  • on appelle sous-espace caractéristique, sous-espace spectral, ou encore espace propre généralisé de \ u associé à la valeur propre \ \lambda le sous espace : N_{\lambda}(u) = \ker\left[ (u- \lambda Id)^m \right] , Id étant l'application identité et m la multiplicité de λ dans le polynôme caractéristique de l'endomorphisme u.


  • \vec{v} \ est un vecteur propre généralisé de u associé à la valeur propre λ s'il existe \ k\geq 1 \ tel que \ \vec{v}\in\ker\left(u-\lambda Id\right)^k\smallsetminus\{\vec{0}\}


Remarque : Cette définition implique que \vec{v}\in N_{\lambda}(u) \ \Longleftrightarrow \ \vec{v} \ est un vecteur propre généralisé de u associé à λ.


Intérêt

Les sous-espaces caractéristiques sont utilisés dans la caractérisation de la trigonalisation d'un endomorphisme. En effet un endomorphisme u d'un espace vectoriel E est trigonalisable si et seulement si E est la somme (directe) des sous-espaces caractéristiques de u, c'est-à-dire si et seulement si il existe une base de E formée de vecteurs propres généralisés de u. Cette caractérisation rejoint celle donnée à l'aide du polynôme caractéristique qui doit être scindé pour que l'endomorphisme soit trigonalisable.

Article détaillé : Réduction de Jordan.


Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs Colinéarité • Indépendance linéaire • Famille libre • Rang • Famille génératrice • Base • Théorème de la base incomplète Mathématiques
Sous-espace Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension d'un espace vectoriel • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford
Enrichissements de structure Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Sous-espace caract%C3%A9ristique ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Sous-espace caracteristique de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем решить контрольную работу

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Sous-espace caractéristique — Définitions Soient E un K espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E. Soit on appelle sous espace caractéristique, sous espace spectral, ou encore espace propre généralisé de associé à la valeur propre le sous espace  …   Wikipédia en Français

  • Sous-espace stable — En algèbre linéaire, un endomorphisme laisse stable un sous espace vectoriel F quand les éléments de F ont pour image un élément de F. La recherche de sous espaces stables est étroitement liée à la théorie de la réduction des endomorphismes.… …   Wikipédia en Français

  • Sous-espace supplementaire — Sous espace supplémentaire En mathématiques, un sous espace supplémentaire est un sous espace vectoriel défini par rapport à un autre sous espace qui, de manière intuitive (ne pas confondre avec la notion de complémentaire), sépare l espace en… …   Wikipédia en Français

  • Sous-espace propre — Valeur propre, vecteur propre et espace propre Fig. 1. Cette application linéaire déforme la statue de David. Les vecteurs bleus ont pour images les vecteurs verts. Ils gardent la même direction, ce sont des vecteurs propres. La valeur propre… …   Wikipédia en Français

  • Sous-espace vectoriel — En algèbre linéaire, étant donné un espace vectoriel E sur un corps K, un sous espace vectoriel de E est une partie non vide F de E stable par combinaisons linéaires. Autrement dit, cette partie doit vérifier : La somme vectorielle de deux… …   Wikipédia en Français

  • Sous-espace supplémentaire — En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, deux sous espaces vectoriels d un même espace vectoriel sont supplémentaires dans cet espace si tout vecteur de l espace se décompose de façon unique en une somme d un vecteur de chacun des… …   Wikipédia en Français

  • Espace et vecteurs propres généralisés — Sous espace caractéristique Définitions Soient E un K espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E. Soit on appelle sous espace caractéristique, sous espace spectral, ou encore espace propre généralisé de associé à la valeur… …   Wikipédia en Français

  • Espace propre généralisé — Sous espace caractéristique Définitions Soient E un K espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E. Soit on appelle sous espace caractéristique, sous espace spectral, ou encore espace propre généralisé de associé à la valeur… …   Wikipédia en Français

  • Espace propre généralisé et vecteurs propres — Sous espace caractéristique Définitions Soient E un K espace vectoriel de dimension finie et u un endomorphisme de E. Soit on appelle sous espace caractéristique, sous espace spectral, ou encore espace propre généralisé de associé à la valeur… …   Wikipédia en Français

  • ESPACE-TEMPS — La mécanique classique, sous la forme mathématique rigoureuse que lui a donnée Newton, repose sur les deux concepts fondamentaux d’espace et de temps absolus: un événement ponctuel est parfaitement déterminé lorsqu’on connaît sa position dans… …   Encyclopédie Universelle

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”