Formule du binôme

Formule du binôme

Formule du binôme de Newton

La formule de Newton est une formule mathématiques donnée par Isaac Newton pour trouver le développement d'une puissance entière quelconque d'un binôme. Elle est aussi appelée formule du binôme de Newton, ou plus simplement formule du binôme.

Sommaire

Énoncé

Soit un binôme composé des termes x et y défini sur un anneau (par exemple deux nombres réels ou complexes, deux matrices, etc.) qui commutent (c'est-à-dire tels que xy = yx) et un entier naturel n,

(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k

où les nombres

{n \choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}

(parfois aussi notés C_n^k) sont les coefficients binomiaux.

Remplacer dans la formule y par -y revient à prendre le second terme comme négatif :

(x-y)^n=\Big(x+(-y)\Big)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k

Exemples :

\begin{array}{lcl}n=2,& (x + y)^2 &= x^2 + 2xy + y^2\\
n=3,& (x + y)^3 &= x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3\\
n=4,& (x + y)^4 &= x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4\\
n=7,& (x + y)^7 &= x^7+7x^6y+21x^5y^2+35x^4y^3+35x^3y^4+21x^2y^5+7xy^6+y^7\\
n=10,& (x + y)^{10} &= x^{10}+10x^9y+45x^8y^2+120x^7y^3+210x^6y^4\\&&\quad {}+252x^5y^5+210x^4y^6+120x^3y^7+45x^2y^8+10xy^9+y^{10}\\
\\

n=2,& (x - y)^2 &= x^2 - 2xy + y^2\\
n=3,& (x - y)^3 &= x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3\\
\end{array}

Démonstration

Soient x, y des éléments d'un anneau tels que xy=yx et n un entier naturel.

(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k

Démontrons cette formule par récurrence.

Initialisation

n=0~,\qquad(x+y)^0=1={0 \choose 0}x^0y^0
n=1~,\qquad(x+y)^1= x + y ={1 \choose 0}x^1y^0 + {1 \choose 1}x^0y^1

Caractère héréditaire

Soit n un entier supérieur ou égal à 1, montrons que si la relation est vraie pour n, elle l'est aussi pour n+1 :

Par hypothèse de récurrence :

(x+y)^{n+1}=(x+y)\cdot\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k,

Par distributivité de \cdot sur +  :

(x+y)^{n+1}=x^{n+1}+x\cdot\sum_{k=1}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k 
+y\cdot\sum_{k=0}^{n-1} {n \choose k} x^{n-k} y^k
+ y^{n+1}

Par factorisation :

(x+y)^{n+1} =x^{n+1}+\sum_{k=1}^n \left\lbrack {{n} \choose {k}} + {{n} \choose {k-1}} \right\rbrack x^{n-k+1} y^{k}+ y^{n+1}

En utilisant la formule du triangle de Pascal :

(x+y)^{n+1} =x^{n+1}+\sum_{k=1}^n {{n+1}\choose k}~x^{n-k+1} y^{k}+y^{n+1}
(x+y)^{n+1} =\sum_{k=0}^{n+1} {{n+1}\choose k}~x^{n-k+1} y^{k}

Ce qui termine la démonstration.

Variantes

Une ébauche de preuve beaucoup plus intuitive utilise le fait que le coefficient binomial {n \choose k} est le nombre de parties à k éléments dans un ensemble à n éléments. Quand on développe l'expression

(x+y)^n=(x+y)(x+y)\cdots(x+y)\qquad (n \text{ fois,})

on obtient une somme de monômes de la forme xpyqp et q représentent respectivement le nombre de fois qu'on a choisi x ou y en développant. On a forcément p + q = n, puisqu'à chaque fois qu'on ne choisit pas x, on choisit y. Enfin, comme il y a {n \choose k} manières différentes de choisir k fois la valeur x parmi les n expressions (x + y) multipliées ci-dessus, le monôme xkynk doit apparaître dans le développement avec le coefficient {n \choose k}.

On peut également déduire la formule du binôme de la Formule de Leibniz.

Anecdote

Le Professeur Moriarty, ennemi du célèbre Sherlock Holmes, aurait publié un article sur le binôme de Newton[1].

Notes et références

  1. Arthur Conan Doyle, Le Dernier problème, 1891

Articles connexes

  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Formule du bin%C3%B4me de Newton ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Formule du binôme de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Formule Du Binôme De Newton — La formule de Newton est une formule mathématiques donnée par Isaac Newton pour trouver le développement d une puissance entière quelconque d un binôme. Elle est aussi appelée formule du binôme de Newton, ou plus simplement formule du binôme.… …   Wikipédia en Français

  • Formule du binome de Newton — Formule du binôme de Newton La formule de Newton est une formule mathématiques donnée par Isaac Newton pour trouver le développement d une puissance entière quelconque d un binôme. Elle est aussi appelée formule du binôme de Newton, ou plus… …   Wikipédia en Français

  • Formule du binôme de newton — La formule de Newton est une formule mathématiques donnée par Isaac Newton pour trouver le développement d une puissance entière quelconque d un binôme. Elle est aussi appelée formule du binôme de Newton, ou plus simplement formule du binôme.… …   Wikipédia en Français

  • Formule Du Binôme Négatif — La formule du binôme négatif permet de développer une puissance entière strictement négative d une somme de deux termes, et apparaît comme un cas particulier de la formule du binôme généralisé. Énoncé Nous avons : où est un coefficient… …   Wikipédia en Français

  • Formule du binome negatif — Formule du binôme négatif La formule du binôme négatif permet de développer une puissance entière strictement négative d une somme de deux termes, et apparaît comme un cas particulier de la formule du binôme généralisé. Énoncé Nous avons :… …   Wikipédia en Français

  • Formule du binôme de Newton — La formule de Newton est une formule mathématique donnée par Isaac Newton[1] pour trouver le développement d une puissance entière quelconque d un binôme. Elle est aussi appelée formule du binôme de Newton, ou plus simplement formule du binôme.… …   Wikipédia en Français

  • Formule du binôme généralisée — La formule du binôme généralisée, publiée par Isaac Newton en 1685, permet de développer une puissance réelle ou complexe d une somme de deux termes sous forme d une somme de série et généralise la formule du binôme. Nous avons pour tous réels ou …   Wikipédia en Français

  • Formule du binôme négatif — La formule du binôme négatif permet de développer une puissance entière strictement négative d une somme de deux termes, et apparaît comme un cas particulier de la formule du binôme généralisé. Énoncé Nous avons : où est un coefficient… …   Wikipédia en Français

  • Binôme de Newton — Formule du binôme de Newton La formule de Newton est une formule mathématiques donnée par Isaac Newton pour trouver le développement d une puissance entière quelconque d un binôme. Elle est aussi appelée formule du binôme de Newton, ou plus… …   Wikipédia en Français

  • Binome generalise — Formule du binôme généralisée La formule du binôme généralisé permet de développer une puissance réelle ou complexe d une somme de deux termes sous forme d une somme de série et généralise la formule du binôme de Newton. Nous avons pour tous… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”