Algebre multilineaire

Algebre multilineaire

Algèbre multilinéaire

En mathématiques, lalgèbre multilinéaire étend les méthodes de lalgèbre linéaire. Tout comme lalgèbre linéaire est bâtie sur le concept dun vecteur et développe la théorie des espaces vectoriels, lalgèbre multilinéaire est bâtie sur le concept dun tenseur et développe la théorie des espaces tensoriels. Dans les applications, de nombreux types de tenseurs surviennent. La théorie se veut exhaustive et comprend un certain nombre d'espaces et l'exposé de leurs relations.

Sommaire

Historique de lapproche vers lalgèbre multilinéaire

L'algèbre multilinéaire a des racines variées plongeant dans ce qui a été appelé au XIXe siècle lanalyse tensorielle ou le « calcul tensoriel des champs tensoriels ». Elle sest développée à partir de lutilisation des tenseurs dans la géométrie différentielle, la relativité générale et dans de nombreuses branches des mathématiques appliquées. Vers le milieu du XXe siècle, létude des tenseurs est reformulée plus abstraitement. Le traité du groupe Bourbaki, lAlgèbre multilinéaire, est particulièrement influenten fait le terme algèbre multilinéaire a probablement été inventé .

Une des raisons de cette nouvelle formulation est une nouvelle aire dapplication, lalgèbre homologique. Le développement de la topologie algébrique durant les années 40 donne une incitation additionnelle au développement dun traitement purement algébrique du produit tensoriel. Le calcul des groupes homologiques du produit de deux espaces topologiques utilise le produit tensoriel ; mais c'est seulement dans les cas les plus simples, tel que celui dun tore, que les groupes homologiques peuvent être calculés directement de cette façon (voir théorème de Künneth). Les phénomènes topologiques, assez subtils, sont à la source dune nouvelle réflexion sur les concepts fondamentaux du calcul tensoriel.

Le matériel à organiser est dense, incluant des idées allant jusquà Hermann Günther Grassmann, les idées venant de la théorie des formes différentielles qui avaient mené à la cohomologie de De Rham, ainsi quà des notions plus élémentaires telles que le produit extérieur qui généralise le produit vectoriel.

La description qui résulte du travail de Bourbaki, plutôt abstraite, rejette entièrement l'approche vectorielle (utilisée par exemple dans la construction des quaternions), cest-à-dire, dans le cas général, la relation entre les espaces tensoriels et les groupes de Lie. Les mathématiciens de Bourbaki suivent au lieu de cela une approche nouvelle basée sur la théorie des catégories, dans laquelle lapproche du groupe de Lie est vue comme une description secondaire. Puisque cela mène à un traitement beaucoup plus propre, il ny aura probablement plus de retour en arrière en termes mathématiques. (Strictement, lapproche de la propriété universelle fut invoquée ; ceci est un peu plus général que la théorie des catégories, et la relation entre les deux moyens alternatifs peut aussi être clarifiée, en même temps.)

En effet, ce qui a été fait est presque précisément pour expliquer que les espaces tensoriels sont les constructions requises dans le but de réduire les problèmes multilinéaires à des problèmes linéaires. Cette attaque purement algébrique ne transfère aucune intuition géométrique.

Le bienfait de cette formalisation est quen réexprimant des problèmes en termes dalgèbre multilinéaire, il y a une « meilleure solution » claire et bien définie : les contraintes que la solution exercent sont exactement celles dont on a besoin en pratique. En général il ny a pas de besoin dinvoquer une quelconque construction ad hoc, idée géométrique ou recours pour coordonner des systèmes. Dans le jargon catégoriel-théorique, tout est entièrement naturel.

Conclusion sur lapproche abstraite

En principe lapproche abstraite peut recouvrir tout ce qui est fait via lapproche traditionnelle. En pratique cela peut ne pas sembler si simple. Dautre part la notion de naturel est compatible avec le principe de la covariance générale de la relativité générale. Ce dernier fait affaire aux champs tensoriels (les tenseurs variant de point en point sur une variété, mais la covariance affirme que le langage des tenseurs est essentiel à la formulation propre de la relativité générale.

Quelques décennies plus tard le point de vue plutôt abstrait venant de la théorie des catégories fut noué avec lapproche qui avait été développée dans les années 1930 par Hermann Weyl (dans son livre célébré et difficile Les groupes classiques). Dune façon cela amena la théorie à pleins bords, reliant une fois encore le contenu des points de vue anciens et nouveaux.

Contenu de lalgèbre multilinéaire

Le contenu de lalgèbre multilinéaire a changé bien moins que la présentation, à travers les ans. Voici dautres pages qui y sont centralement pertinentes :

Du point de vue des applications

Consultez ces articles pour certains moyens dans lesquels les concepts de lalgèbre multilinéaire sont appliqués, dans diverses guises :

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