- Lemme des noyaux
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En algèbre linéaire, le lemme des noyaux est un résultat sur la réduction des endomorphismes. Dans un espace vectoriel E sur un corps K, si un opérateur u de E est annulé par un polynôme P(X) à coefficients dans K, alors ce lemme prévoit une décomposition de E comme somme directe de sous-espaces vectoriels stables par u. Ces derniers se définissent comme noyaux de polynômes en u, les projecteurs associés étant eux-mêmes des polynômes en u.
La démonstration traduit l'identité de Bezout portant sur les polynômes à des sous-espaces vectoriels. Résultat fondamental, le lemme des noyaux conduit à la décomposition de Dunford puis à la décomposition de Jordan. Plus modestement, le lemme des noyaux montre qu'un opérateur u est diagonalisable s'il est annulé par un polynôme à racines simples.
Sommaire
Enoncé
Lemme des noyaux — Soit E un espace vectoriel sur un corps commutatif K et soit f un endomorphisme de E. Si
![P_1,\ldots,P_n \in K[X]](2/192527f1c86d44ab5e67ee58757eb75c.png)
(avec 
) sont premiers entre eux deux à deux, alors les sous-espaces vectoriels Vi = ker(Pi(f)) (où 
) sont en somme directe etDe plus, la projection de la somme directe sur Vi parallèlement à
est la restriction de Qi(f) pour un polynôme Qi.Démonstration
Réduction au cas n = 2
On montre d'abord par récurrence sur n que si le lemme est vrai pour n = 2, il est vrai pour tout n. Il n'y a rien à montrer pour le cas n = 1 (la projection mentionnée est l'identité, qui est Q(f) avec Q le polynôme constant 1). Si n > 2 on pose
alors 
et Q est premier avec Pn (car d'après le théorème de Bachet-Bézout chacun des facteurs Pi de Q est inversible modulo Pn, et leur produit Q l'est donc aussi). Alors le cas n = 2 dit que 
, avec les projections correspondantes données par des polynômes en l'endomorphisme f; l'hypothèse de récurrence permet de décomposer 
commer somme directe des 
pour 
, et les projections de sur ces facteurs se composent avec celle sur pour donner des projections requises 
.Le cas n = 2
On voit sans problème que l'espace V = ker(P1P2)(f) contient les espaces
pour i = 1,2, et donc aussi leur somme; il s'agit de montrer que la somme V1 + V2 est directe et égale à V tout entier (avec des projections polynômes en 
). D'après le théorème de Bachet-Bézout, il existe ![Q_1,Q_2 \in K[X]](3/213ec71c5566f54610e89067d66f8792.png)
tel que P1Q1 + P2Q2 = 1, et par conséquent (P1Q1 + P2Q2)(f) = idE (l'application identité de E). Notons
,
donc
et 
.Pour voir que la somme V1 + V2 est directe, on considère
. On a 
, et la somme est directe.Pour voir que V1 + V2 = V on considère
. On a 
avec 
car
,
et on a
pour des raisons similaires. On conclut que 
et donc V = V1 + V2.Finalement, les projections de
sur les facteurs sont 
et 
: on a déjà vu que l'image de 
est contenue dans Vi, et qu'il s'annule sur l'autre facteur, donc il reste à voir que est l'identité sur Vi. Pour 
on a 
, donc c'est vérifié.Applications
Le lemme des noyaux sert pour la réduction des endomorphismes. Par exemple :
Réduction à une forme diagonale par blocs — Soit E un espace vectoriel de dimension finie sur un corps K et soit f un endomorphisme de E. Soit
![P\in K[X]](a/4facb36da11821b818abd66b424a6a76.png)
un polynôme annulateur de f (par exemple son polynôme minimal, ou son polynôme caractéristique d'après le théorème de Cayley-Hamilton) et 
la factorisation de P avec les polynômes Pi irréductibles et distincts. Alors il existe une base 
de E et des matrices 
telles queoù
(en fait la partie de correspondant au bloc Ai est une base de 
), et 
.DémonstrationPar hypothèse ker P(f) = E, donc, d'après le lemme des noyaux :
Chaque sous-espace
est stable par f, donc la matrice de f dans n'importe quelle base de E adaptée à la décomposition précédente en sous-espaces stables, est diagonale par blocs comme souhaité.
![\bigoplus_{i=1}^n \ker \left[ P_i(f) \right] = \ker \left[ \left( \prod_{i=1}^n P_i \right)(f) \right].](4/ba40b11861f53424230392d973cac669.png)
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