Theorie des matrices

En mathématiques, la théorie des matrices est une branche des mathématiques qui s'intéresse à l'étude des matrices. À l'origine, la théorie des matrices était considérée comme une branche secondaire de l'algèbre linéaire, mais s'agrandit pour bientôt couvrir des sujets relatifs à la théorie des graphes, à l'algèbre, à la combinatoire et aux statistiques.

Les matrices sont maintenant utilisées pour de multiples applications et servent notamment à représenter les coefficients des systèmes d'équations linéaires ou à représenter les applications linéaires ; dans ce dernier cas les matrices jouent le même rôle que les coordonnées d'un vecteur pour les applications linéaires.

Sommaire 1 Histoire 2 Introduction élémentaire 3 Matrice et graphe 4 Quelques théorèmes 5 Voir aussi 6 Liens externes

Histoire

L'étude des matrices est tout à fait ancienne. Les carrés latins et les carrés magiques ont été étudiés depuis très longtemps. Leibniz, l'un des deux fondateurs de l'analyse, a développé la théorie des déterminants en 1693 pour faciliter la résolution des équations linéaires. Cramer a approfondi cette théorie, en présentant la méthode de Cramer en 1750. Dans les années 1800, la méthode d'élimination de Gauss-Jordan fut mise au point. Ce fut James Sylvester qui utilisa pour la première fois le terme « matrice » en 1850. Cayley, Hamilton, Hermann Grassmann, Frobenius et John von Neumann comptent parmi les mathématiciens célèbres qui ont travaillé sur la théorie des matrices.

En 1925, Werner Heisenberg redécouvre le calcul matriciel en fondant une première formulation de ce qui allait devenir la mécanique quantique. Il est à ce titre considéré comme l'un des pères de la mécanique quantique.

Introduction élémentaire

Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres. Une matrice peut être identifiée à une application linéaire entre deux espaces vectoriels de dimension finie. Ainsi la théorie des matrices est habituellement considérée comme une branche de l'algèbre linéaire. Les matrices carrées jouent un rôle particulier, parce que l'ensemble des matrices d'ordre n (n entier naturel non nul donné) possède des propriétés de « stabilité » des opérations.

Les concepts de matrice stochastique et de matrice doublement stochastique sont des outils importants pour étudier les processus stochastiques, en probabilité et en statistique.

Les matrices définies positives apparaissent dans la recherche de maximum et minimum de fonctions à valeurs réelles, et à plusieurs variables.

Il est également important de disposer d'une théorie des matrices à coefficients dans un anneau. En particulier, les matrices à coefficients dans l'anneau des polynômes sont utilisées en théorie de la commande.

En mathématiques pures, les anneaux de matrices peuvent fournir un riche champ de contre-exemples pour des conjectures mathématiques.

Matrice et graphe

En théorie des graphes, à tout graphe étiqueté correspond la matrice d'adjacence. Une matrice de permutation est une matrice qui représente une permutation ; matrice carrée dont les coefficients sont 0 ou 1, avec un seul 1 dans chaque ligne et chaque colonne. Ces matrices sont utilisées en combinatoire.

Dans la théorie des graphes, on appelle matrice d'un graphe la matrice indiquant dans la ligne i et la colonne j le nombre d'arêtes reliant le sommet i au sommet j. Dans un graphe non orienté, la matrice est symétrique. La somme des éléments d'une colonne permet de déterminer le degré d'un sommet. La matrice Mⁿ indique dans la ligne i et la colonne j le nombre de chemins à n arêtes joignant le sommet i au sommet j.

Quelques théorèmes

• Théorème de Cayley-Hamilton

Voir aussi

• décomposition de Jordan
• élimination de Gauss-Jordan
• décomposition LU
• décomposition QR
• Lemme de Schur
• Décomposition en valeurs singulières

Liens externes

• A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory (Brève histoire de l'algèbre linéaire et de la théorie des matrices)

Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs	Colinéarité • Indépendance linéaire • Famille libre • Rang • Famille génératrice • Base • Théorème de la base incomplète
Sous-espace	Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension d'un espace vectoriel • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie	Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford
Enrichissements de structure	Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

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