Matrice a diagonale dominante

Matrice à diagonale dominante

En algèbre linéaire, une matrice est dite à diagonale dominante lorsque pour chaque ligne de la matrice, la somme en modules des termes d'une ligne (en dehors du terme sur la diagonale) est inférieure ou égale au module du terme de la diagonale de cette même ligne. Si $A=((a_{i,j})_{i,j \in [\![1,n]\!] })$ , on a alors

$\forall i \in [\![1,n]\!],\ \sum_{j=1 \atop j\neq i}^n |a_{i,j}|\leqslant|a_{i,i}|.$

De la même manière, $A$ est dite à diagonale strictement dominante lorsque

$\forall i \in [\![1,n]\!],\ |a_{i,i}|>\sum_{j=1 \atop j\neq i}^n |a_{i,j}|.$

Sommaire

1 Exemples
2 Lemme d'Hadamard
- 2.1 Enoncé
- 2.2 Démonstration
3 Voir aussi

Exemples

La matrice

$\mathbf A = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1\\ 1 & -3 & 2\\ -1 & 2 & 4\end{pmatrix}$

donne

$|a_{11}| \ge |a_{12}| + |a_{13}| \Rightarrow |3| \ge |-2| + |1|$

$|a_{22}| \ge |a_{21}| + |a_{23}| \Rightarrow |-3| \ge |1| + |2|$

$|a_{33}| \ge |a_{31}| + |a_{32}| \Rightarrow |4| \ge |-1| + |2|.$

C'est donc une matrice à diagonale dominante.

La matrice

$\mathbf B = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 1\\ 1 & 3 & 2\\ 1 & -2 & 0\end{pmatrix}$

donne

$|b_{11}| \ge |b_{12}| + |b_{13}| \Rightarrow |-2| \ge |2| + |1|$

$|b_{22}| \ge |b_{21}| + |b_{23}| \Rightarrow |3| \ge |1| + |2|$

$|b_{33}| \ge |b_{31}| + |b_{32}| \Rightarrow |0| \ge |1| + |-2|.$

Ce n'est donc pas une matrice à diagonale dominante.

La matrice

$\mathbf C = \begin{pmatrix} -4 & 2 & 1\\ 1 & 6 & 2\\ 1 & -2 & 5\end{pmatrix}$

donne

$|c_{11}| \ge |c_{12}| + |c_{13}| \Rightarrow |-4| > |2| + |1|$

$|c_{22}| \ge |c_{21}| + |c_{23}| \Rightarrow |6| > |1| + |2|$

$|c_{33}| \ge |c_{31}| + |c_{32}| \Rightarrow |5| > |1| + |-2|.$

C'est donc une matrice à diagonale strictement dominante.

Lemme d'Hadamard

Enoncé

Si $A=((a_{i,j})_{i,j\in [\![1,n]\!] })$ est une matrice à diagonale strictement dominante alors $A$ est inversible.

Démonstration

Par la contraposée. Supposons $A$ non inversible alors son noyau n'est pas réduit à zéro,
il existe donc : $X=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \neq 0$ tel que $A X = 0$ .
On a alors : $\forall i \in [\![1,n]\!],\ \sum_{j=1}^n a_{i,j}x_j =0 .$
Comme $X \neq 0$ , il existe $x_{i_0} \neq 0$ tel que $|x_{i_0}|=\max \left\{{|x_i|, i \in [\![1,n]\!]}\right\}$ .
On a : $-a_{i_0,i_0}x_{i_0}=\sum_{j=1 \atop j\neq i_0}^n a_{i_0,j}x_j$ , d'où $|a_{i_0,i_0}x_{i_0}|\leqslant \sum_{j=1 \atop j\neq i_0}^n |a_{i_0,j}x_j|$ ,
et comme : $\forall j \in [\![1,n]\!],\ \frac{|x_j|}{|x_{i_0}|}\leqslant 1$ ,
on obtient $|a_{i_0,i_0}|\leqslant \sum_{j=1 \atop j\neq i_0}^n |a_{i_0,j}|\frac{|x_j|}{|x_{i_0}|}\leqslant \sum_{j=1 \atop j\neq i_0}^n |a_{i_0,j}|$
Finalement, $|a_{i_0,i_0}|\leqslant \sum_{j=1 \atop j\neq i_0}^n |a_{i_0,j}|$ , ce qui termine la démonstration.

Voir aussi

Articles en rapport avec les matrices
Par forme	carrée • triangulaire • diagonale • tridiagonale • élémentaire • échelonnée • creuse • aléatoire • circulante • de Hankel • de Toeplitz • de Vandermonde
Transformée	transposée • adjointe • inverse • Comatrice
En relation	équivalente • semblable • congruente
Par propriété	inversible • diagonalisable • trigonalisable • symétrique • antisymétrique • hermitienne • normale • orthogonale • unitaire • symplectique • de Hadamard • définie positive • à diagonale dominante • nilpotente
Par famille	identité • de De Casteljau • de Cartan • de Hilbert • de Mueller • de Pauli • de Dirac
Particulière	CKM
Associée	de permutation • de passage • compagnon • de Sylvester • d'adjacence • laplacienne • hessienne • jacobienne • génératrice • de contrôle • de corrélation • de Gram • de variance-covariance • d'inertie • de Jones • des gains • stochastique
Résultats	décompositions : LU • QR • polaire • valeurs singulières Trigonalisation • Réduction de Jordan • facteurs invariants
Voir aussi	Théorie des matrices • Algèbre linéaire

Portail des mathématiques

Ce document provient de « Matrice %C3%A0 diagonale dominante ».

Catégorie : Matrice remarquable

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Matrice a diagonale dominante de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Regardez d'autres dictionnaires:

Matrice à diagonale dominante — En algèbre linéaire, une matrice carrée à coefficients réels ou complexes est dite à diagonale dominante lorsque le module de chaque terme diagonal est supérieur ou égal à la somme des modules des autres termes de sa ligne. Si , on a alors De la… … Wikipédia en Français
Matrice Diagonale — En algèbre linéaire, une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Les coefficients de la diagonale peuvent être ou ne pas être nuls. Ainsi, la matrice D = (di,j) est diagonale… … Wikipédia en Français
Matrice scalaire — Matrice diagonale En algèbre linéaire, une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Les coefficients de la diagonale peuvent être ou ne pas être nuls. Ainsi, la matrice D = (di … Wikipédia en Français
Matrice diagonale — En algèbre linéaire, une matrice diagonale est une matrice carrée dont les coefficients en dehors de la diagonale principale sont nuls. Les coefficients de la diagonale peuvent être ou ne pas être nuls. Ainsi, la matrice D = (di,j) est diagonale… … Wikipédia en Français
Matrice Diagonalisable — En algèbre linéaire, une matrice carrée M d ordre n ( ) à coefficients dans un corps commutatif K, est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale, c est à dire s il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D … Wikipédia en Français
Matrice par blocs — Matrice par bloc En théorie des matrices, une matrice par bloc ou matrice partitionnée est une matrice pouvant être divisée en matrices rectangulaires de dimensions inférieures appelées blocs. On peut dire également que la matrice est écrite en… … Wikipédia en Français
Matrice (algèbre) — Matrice (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Matrice. En mathématiques, les matrices servent à interpréter en termes calculatoire … Wikipédia en Français
Matrice (mathematiques) — Matrice (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Matrice. En mathématiques, les matrices servent à interpréter en termes calculatoire … Wikipédia en Français
Matrice carrée — Matrice (mathématiques) Pour les articles homonymes, voir Matrice. En mathématiques, les matrices servent à interpréter en termes calculatoire … Wikipédia en Français
Matrice Tridiagonale — En mathématiques, en algèbre linéaire, une matrice tridiagonale est une matrice telle que les coefficients qui ne sont pas sur la diagonale, sur la diagonale juste au dessous ou sur la diagonale juste au dessus sont tous nuls. Par exemple, la… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Matrice a diagonale dominante

Matrice à diagonale dominante

Sommaire

Exemples