Matrice Adjointe

Matrice adjointe

En algèbre linéaire, une matrice adjointe (aussi appelée matrice transjuguée) d’une matrice M sur les complexes est la matrice transposée de la matrice conjuguée de M.

La matrice adjointe est traditionellement dénotée $M^*\$ mais il arrive couramment de renconter d’autres notations :

$M^*\$ ou $M^\mathrm{H} \,\!$ sont communément utilisés en algèbre linéaire, la seconde notation étant aussi appelée conjuguée hermitienne et plus fréquente dans le cas d’algèbres sur des espaces linéaires de fonctions ou de distributions (de dimension finie ou non).
$M^\dagger\$ est la notation utilisée universellement en mécanique quantique, le plus souvent sur des algèbres de dimensions infinies, et souvent en association avec la notation bra et ket symbolisant les vecteurs d’états et matrices de transformation et simplifiant l’écriture et l’interprétation des expressions .
La notation $M^+\$ est parfois utilisée aussi, bien que ce symbole soit plutôt utilisé communément pour désigner le pseudo-inverse de Moore-Penrose.

On a donc : $M^* = {}^t\bar{M} = \overline{{}^tM}\$ .

Note : L'expression matrice adjointe est parfois utilisée dans un sens différent pour désigner la comatrice. On utilise dans ce cas la notation $a d j (M)$ .

Propriétés

Théorème de Binet-Cauchy :

$(M^T N)^* = (N^*)^T . M^*\$

Autres propriétés

Si $A\in\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})$ alors

$\det(A^{*}) = \overline{det A}$

Exemple

Si :

$A = \begin{pmatrix} 3+i & 5 \\ 2-2i & i \\ \end{pmatrix}$

alors :

$A^* = \begin{pmatrix} 3-i & 2+2i \\ 5 & -i \\ \end{pmatrix}.$

Voir aussi

Articles en rapport avec les matrices
Par forme	carrée • triangulaire • diagonale • tridiagonale • élémentaire • échelonnée • creuse • aléatoire • circulante • de Hankel • de Toeplitz • de Vandermonde
Transformée	transposée • adjointe • inverse • Comatrice
En relation	équivalente • semblable • congruente
Par propriété	inversible • diagonalisable • trigonalisable • symétrique • antisymétrique • hermitienne • normale • orthogonale • unitaire • symplectique • de Hadamard • définie positive • à diagonale dominante • nilpotente
Par famille	identité • de De Casteljau • de Cartan • de Hilbert • de Mueller • de Pauli • de Dirac
Particulière	CKM
Associée	de permutation • de passage • compagnon • de Sylvester • d'adjacence • laplacienne • hessienne • jacobienne • génératrice • de contrôle • de corrélation • de Gram • de variance-covariance • d'inertie • de Jones • des gains • stochastique
Résultats	décompositions : LU • QR • polaire • valeurs singulières Trigonalisation • Réduction de Jordan • facteurs invariants
Voir aussi	Théorie des matrices • Algèbre linéaire

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Catégorie : Matrice

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