Rayon De Convergence

Rayon De Convergence

Rayon de convergence

Le rayon de convergence d'une série entière est le nombre réel :

R = \sup\left\{|z|: z\in \mathbb{C}, \sum a_n z^n \text{ converge simplement }\right\}\in\, [0,+\infty] = \overline{\R^+}.

Si R est le rayon de convergence d'une série entière, alors la série converge sur le disque ouvert de convergence (c'est-à-dire que si la série est réelle, il y a convergence sur l'intervalle ouvert ] − R;R[ ).

Propriétés du rayon de convergence dans \mathbb{R}

Si la série entière \sum^{\infty }_{n=0}{a_{n}x^{n}}\subset\mathbb{R} a pour rayon de convergence R alors :

  • \forall x\in\mathbb{R} tq | x | < R, \sum^{\infty }_{n=0}{a_{n}x^{n}} converge.


  • \forall x\in\mathbb{R} tq | x | > R, \sum^{\infty }_{n=0}{a_{n}x^{n}} diverge.


  • Si | x | = R, on ne peut rien dire sur la convergence de la série entière.


  • Si R > 0 alors \sum^{\infty }_{n=0}{a_{n}x^{n}} converge uniformément dans l'intervalle fermé [ − r, + r] où 0 < r < R


  • R=\cfrac{1}{\limsup_{k\to\infty}(|a_{k}|)^{1/k}}


  • Lorsque | x | < R, on peut regrouper les termes de n'importe quelle manière. Par exemple :
    • \sum^{\infty }_{n=0}{a_{n}x^{n}}= \sum^{\infty }_{n=0}{a_{2n}x^{2n}} + \sum^{\infty }_{n=0}{a_{2n+1}x^{2n+1}}

    • \sum^{\infty }_{n=0}\sum^{\infty}_{k=0}{a_{n}b_{k}x^{n+k}}= \sum^{\infty }_{n=0}{a_{n}x^{n}} \cdot \sum^{\infty }_{k=0}{b_{k}x^{k}} \ \ \forall |x|<\min(R_{1},R_{2}), où R1 et R2 sont les rayons de convergence des deux séries entières.


  • Si f(x)=\sum^{\infty }_{n=0}{a_{n}x^{n}}, \ x\in]-R,+R[ est la limite d'une série entière de rayon de convergence R > 0 alors :
    • f est infiniment continument dérivable sur l'intervalle ] − R, + R[
    • f^{(k)}(x)=\sum^{\infty }_{n=k}{\cfrac{n!}{(n-k)!}a_{n}x^{n-k}}


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