Matrice positive

Matrice positive

Sommaire

Matrice positive

Définitions

Une matrice A de type n \times p est dite positive lorsque tous ses éléments sont réels positifs ; on écrira alors  A \ge 0 . Elle est dite strictement positive lorsque tous ses éléments sont strictement positifs ; on écrira alors A > 0.

Relation d'ordre sur les matrices réelles

A et B étant 2 matrices réelles n \times p on définit une relation d'ordre partiel sur ces matrices en posant A\le B \quad \Leftrightarrow \quad B-A \ge 0.

Il est immédiat que cette relation d'ordre est compatible avec l'addition. De même elle est compatible avec la multiplication (à gauche ou à droite) par une matrice positive.

Matrices carrées positives

Graphe associé

À toute matrice carrée positive A\in \mathcal M _n(\mathbb R _+) nous associons le graphe (orienté) \mathcal G (A) défini par :

  • l'ensemble des sommets est {1,2,...,n},
  • un arc (orienté) joint le sommet i au sommet j si Ai,j > 0.

Rappelons par ailleurs qu'un chemin de longueur k\in\mathbb N est une suite de k arcs telle que l'extrémité de chaque arc soit l'origine du suivant. L'origine du premier arc est l'origine du chemin et l'extrémité du dernier arc est l'extrémité du chemin. On peut considérer qu'un chemin de longueur 0 relie chaque sommet à lui-même.

Il est aisé (par exemple en faisant une récurrence) de vérifier :

Lemmes — 

  • \mathcal G (A^k) est le graphe ayant les mêmes sommets que \mathcal G (A) et dans lequel un arc relie i à j s'il existe dans \mathcal G (A) un chemin de longueur k reliant i à j.
  • \mathcal G ((A+I)^k) est le graphe ayant les mêmes sommets que \mathcal G (A) et dans lequel un arc relie i à j s'il existe dans \mathcal G (A) un chemin de longueur \le k reliant i à j. (I désigne la matrice unité).


Rappelons qu'un graphe est fortement connexe si pour tout couple i,j de sommets il existe un chemin joignant i à j. Il résulte alors aisément par utilisation du second lemme ci-dessus que \mathcal G (A) est fortement connexe si et seulement s'il existe un naturel k tel que (A + I)k > 0.

Tout chemin dans un graphe peut être simplifié en supprimant les cycles (chemin dont l'origine coïncide avec l'extrémité) parcourus dans ce chemin. Par conséquent un tel chemin simplifié ne peut passer qu'une fois au plus par chaque sommet et est donc de longueur \le n-1 . Le graphe est donc fortement connexe si et seulement s'il existe un naturel k \le n-1 tel que (A + I)k > 0.

Matrice irréductible

Nous dirons que la matrice carrée positive A\in \mathcal M _n (\mathbb R_+) est irréductible si le graphe \mathcal G(A) est fortement connexe.

En particulier une matrice strictement positive est irréductible puisque chaque sommet i de \mathcal G (A) est relié à tout sommet j par un arc (chemin de longueur 1).

L'étude ci-dessus montre qu'une caractérisation des matrices positives irréductibles est la suivante : Il existe un naturel k\le n-1 tel que (A + I)k > 0.

On peut également caractériser ces matrices positives irréductibles par (A + I)n − 1 > 0.

Matrice réductible

Il s'agit évidemment d'une matrice carrée positive non irréductible. En plus des caractérisations évidentes obtenues par négation des caractérisations ci-dessus nous avons :

Lemme —  Soit une matrice carrée positive  A \in \mathcal M_n(\mathbb R_+)~~(n\ge 2). Il y a équivalence entre

  1. A est une matrice réductible.
  2. Il existe une partition de {1,2,...,n} en 2 parties non vides ~I,J~ telle que \forall i \in I~\forall j\in J\quad A{i,j}=0.
  3. Il existe une matrice de permutation S telle que {}^t S A S=S^{-1}AS~([1] \,) soit de la forme \begin{bmatrix}B&0\\D&C\end{bmatrix}B et C sont des matrices carrées de format non nul.

Propriétés spectrales des matrices irréductibles

Le théorème de Perron Frobenius

Théorème de Perron Fobenius —  Soit A une matrice positive irréductible.

  • Le rayon spectral ρ de A est une valeur propre simple de A et le sous-espace propre associé est une droite vectorielle engendrée par un vecteur (colonne) strictement positif.
  • Si s et S sont respectivement le minimum et le maximum des sommes des éléments de chaque ligne de A on a s \le \rho \le S.
    Si n\ge 2 alors ρ > 0.
  • Soit h le nombre de valeurs propres (complexes) de module ρ. Le spectre de A dans le plan complexe est invariant par la rotation de centre O et d'angle \frac {2 \pi} h ~{}. En outre si h > 1 il existe une matrice de permutation S telle que {}^tSAS=S^{-1}AS~([1]~)=\begin{bmatrix} 0&A_{1,2}&0&...&0\\0&0&A_{2,3}&...&0\\...\\0&0&0&...&A_{h-1,h}\\A_{h,1}&0&0&...&0\end{bmatrix} où les blocs diagonaux (nuls) sont carrés.

Voir l'article Théorème de Perron Frobenius

Matrice primitive

Définition :
Une matrice A\in \left (\mathbb R_+\right )^n irréductible de rayon spectral ρ est dite primitive si ρ > 0 [2] et si ρ est la seule valeur propre (complexe) de module maximal ρ.

Théorème —  Soit A une matrice primitive de rayon spectral ρ. Alors la suite \left(\left(\frac 1 {\rho}A\right)^m\right)_{m\in \mathbb N} est convergente.

Sa limite est une matrice strictement positive où toutes les colonnes appartiennent à la droite vectorielle sous-espace propre de A relatif à ρ. Plus précisément cette limite est \frac 1 {\Pi_1(\rho)}B(\rho)\Pi_1(\lambda)=\Pi(\lambda)/(\lambda-\rho),~\Pi(\lambda) étant le polynôme caractéristique de A et B(λ) la comatrice transposée de λIA.

Les lignes de la limite appartiennent de manière similaire au sous-espace propre à gauche de A relatif à ρ (formé des transposées des vecteurs colonne propres de tA relatif à ρ).

Théorème —  Soit A une matrice carrée positive. Il y a équivalence entre :

  1. A est primitive
  2. Il existe un naturel m tel que Am > 0

On remarque qu'en particulier une matrice strictement positive est primitive (c'est dans ce cas des matrices strictement positive qu'O. Perron a établi son théorème en 1907).


Une matrice carrée positive irréductible non primitive est dite imprimitive. Dans ce cas le nombre h de valeurs propres complexes de module maximal ρ est désigné par indice d'imprimitivité de A.

Propriétés spectrales des matrices carrées positives générales

Le théorème de Perron Frobenius ne s'applique pas aux matrices réductibles. Cependant il est possible d'en donner une forme affaiblie valable de manière générale.

Théorème — 

Soit A une matrice carrée positive. Elle possède une valeur propre positive (ou nulle) ρ et le sous-espace propre associé comporte au moins un vecteur propre positif. Toute autre valeur propre complexe de A est de module inférieur (ou égal) à ρ.

ρ est compris entre le minimum et le maximum des sommes des éléments des lignes de A.

Matrices réelles symétriques

Définitions

On note \mathcal{S}^n(\mathbb{R}), ou plus simplement \mathcal{S}^n s'il n'y a pas de confusion possible, l'ensemble des matrices carrées d'ordre n symétriques à coefficients réels. On note MI,J la sous-matrice de M\in\mathcal{S}^n formée de ses éléments avec indices de ligne dans I et indices de colonne dans J. L'opérateur déterminant est désigné par « det  ».

On dit qu'une matrice M\in\mathcal{S}^n est positive (ou semi-définie positive) si elle vérifie l'une des propriétés équivalentes suivantes :

  1. M est un élément positif (en) de \mathcal M _n(\R),
  2. la forme bilinéaire symétrique associée est positive : pour tout x\in\mathbb{R}^n, x^{\top} Mx \geq 0,
  3. les valeurs propres de M (qui sont nécessairement réelles) sont positives,
  4. tous les mineurs principaux de M sont positifs : pour tout I\subset\{1,\ldots,n\} non vide, \det M_{I,I}\geq0.

On note \mathcal{S}^n_+(\mathbb{R}), ou plus simplement \mathcal{S}^n_+ s'il n'y a pas de confusion possible, la partie de \mathcal{S}^n formée des matrices positives. Par l'expression 1, \mathcal{S}^n_+ peut se voir comme une intersection de demi-espaces (en nombre infini). Par l'expression 3 (exercice 4.1 chez Ben-Tal et Nemirovski (2001)[4]), \mathcal{S}^n_+ peut se voir comme un ensemble semi-algébrique de base (i.e., donné par un nombre fini d'inégalités polynomiales).

Une matrice symétrique réelle définie positive est une matrice symétrique réelle positive inversible.

Exemples

  • Étant donné un vecteur aléatoire (T_1,\dots, T_n) à valeurs dans \mathbb{R}^n dont chaque composante admet une variance, on définit sa matrice des covariances :

    \Gamma = \Big(\mathrm{cov}(T_i, T_j) \Big) \in \mathcal{S}^n.

    Celle-ci est positive. En effet, pour toute matrice colonne x à n éléments réels notés x_1,\dots, x_n :

    x^{\top} \Gamma x = \mathrm{Var}(x_1\, T_1 +\cdots + x_n\, T_n) \geq 0.

    Elle est définie positive si et seulement si la seule combinaison linéaire de T_1,\dots, T_n qui soit certaine est celle dont tous les coefficients sont nuls.
  • Pour toute matrice réelle A, la matrice A^{\!\top\!}A est une matrice symétrique positive. Cette dernière matrice est définie positive si et seulement si A est injective.

Propriétés

  • Toute matrice réelle symétrique positive admet une unique racine carrée réelle symétrique positive. Plus formellement :

     \forall\, S\in \mathcal{S}^n_+,\quad\exist\,!\, T\in \mathcal{S}^n_+,\quad T^2=S.

    Ce résultat se généralise aux racines n-ièmes.

Cône des matrices symétriques semi-définies positives

Les expressions définissant la semi-définie positivité montrent clairement que

\mathcal{S}^n_+ est un cône convexe fermé non vide de \mathcal{S}^n.

On note \mathcal{N}(A) le noyau de A\in\mathcal{S}^n. Le cône tangent à \mathcal{S}^n_+ en A\in\mathcal{S}^n_+ s'écrit

T_A\mathcal{S}^n_+=\{D\in\mathcal{S}^n:v^{\!\top\!} Dv\geq0, pour tout v\in\mathcal{N}(A)\}.

On note \mathcal{S}^n_-=-\mathcal{S}^n_+, \mathbb{R}\,A:=\{tA:t\in\mathbb{R}\} (pour A\in\mathcal{S}^n) et on suppose que l'espace vectoriel \mathcal{S}^n est muni du produit scalaire


(A,B)\in\mathcal{S}^n\times\mathcal{S}^n\mapsto\langle A,B\rangle=\operatorname{tr}(AB),

\operatorname{tr} désigne la trace. Alors, le cône normal à \mathcal{S}^n_+ en A\in\mathcal{S}^n_+ s'écrit

N_A\mathcal{S}^n_+=\{N\in\mathcal{S}^n_-:\langle A,N\rangle=0\}=\mathcal{S}^n_-\cap(\mathbb{R}\,A)^\perp.

Matrices complexes hermitiennes

On étend les propriétés et définitions précédentes aux matrices complexes hermitiennes.

Soit M une matrice hermitienne d'ordre n. Elle est dite positive si elle vérifie l'une des deux propriétés équivalentes suivantes :

1. Pour toute matrice colonne \ \textbf{z} à n éléments complexes, on a
\textbf{z}^{*} M \textbf{z} \geq 0 (où \textbf{z}^{*} désigne la matrice transconjuguée de \ \textbf{z}).
2. Toutes les valeurs propres de M sont positives, c'est-à-dire :
\ \mathrm{sp}(M)  \subset\, [0,\, +\infty[\,.

De la même manière une matrice hermitienne définie positive est une matrice hermitienne positive inversible.

Notes

  1. a et b Si σ est une permutation de {1,2,...,n} la matrice S associée est définie par Si,j = δi,σ(j) (~\delta symbole de Kronecker). La matrice tSAS s'obtient aussi à partir de A en effectuant la permutation σ sur les lignes et colonnes (équivalent respectivement à la multiplication à gauche par tS et à droite par S). Autrement dit (tSAS)i,j = Aσ(i),σ(j).
    On remarque que tSAS est strictement positive (resp.irréductible) si et seulement si A l'est. En effet les éléments de tSAS sont ceux de A et de plus comme {}^tS=S^{-1}, \quad \left ({}^tSAS+I\right )^{n-1}={}^tS (A+I)^{n-1}S.
  2. Si n\ge 2 on a nécessairement ρ > 0 (cf. P.F.)
  3. F.R Gantmacher. Théorie des matrices Ch.5 §4 (Ed. Jacques Gabay)
  4. (en) A. Ben-Tal, A. Nemirovski (2001). Lectures on Modern Convex Optimization – Analysis, Algorithms, and Engineering Applications. MPS-SIAM Series on Optimization 2. SIAM.
  5. L'exemple des fonctions constantes montre qu'elle n'est pas nécessairement définie positive

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Matrice positive de Wikipédia en français (auteurs)

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