Conditionnement (Analyse Numérique)

Conditionnement (analyse numérique)

Pour les articles homonymes, voir Conditionnement.

En général, les données d'un problème numérique dépendent de mesures expérimentales et sont donc entachées d'erreur.

Le conditionnement mesure la dépendance de la solution d'un problème numérique par rapport aux données du problèmes, ceci afin de contrôler la validité d'une solution calculée par rapport à ces données. Il s'agit le plus souvent d'une quantité numérique, parfois appelée nombre de conditionnement.

De façon plus générale, on peut dire le nombre de conditionnement associé à un problème est une mesure de la difficulté de calcul numérique du problème. Un problème possédant un nombre de conditionnement bas est dit bien conditionné et un problème possédant un nombre de conditionnement élevé est dit mal conditionné.

Conditionnement d'un système linéaire

Pour un système linéaire " $A x = b$ ", où les données sont la matrice $A$ et le vecteur second membre $b$ , le conditionnement donne une borne de l'erreur relative commise sur la solution $x$ lorsque les données $A, b$ sont perturbées. Il peut s'avérer que cette borne soit très grande, de sorte que l'erreur qui pourrait en découler rende la solution numérique inexploitable.

S'étant donné une norme vectorielle, notant $||\cdot||$ la norme matricielle subordonnée correspondante, le nombre de conditionnement d'une matrice inversible est défini par la formule :

$\kappa(A) = \Vert A^{-1}\Vert \cdot \Vert A\Vert$ .

Alors, le calcul effectif de l'inversion du système $A x = b$ , où la matrice $A$ est connue avec précision et où la valeur second membre $b$ est entachée d'une erreur $Δ b$ produira une erreur relative théorique (dans la mesure où on suppose que les calculs sont faits avec une précision infinie) sur la solution $x$ majorée par

$\kappa \frac{\Vert \Delta b\Vert}{\Vert b\Vert}$ .

Un exemple de matrice mal conditionnée

Soit la matrice

$A=\begin{pmatrix} 7 &1 & 11& 10\\ 2 & 6 & 5 & 2\\ 8 & 11 & 3 & 8\\ 6 & 9& 3&6\\ \end{pmatrix}$ ,

et le vecteur

$b=\begin{pmatrix} 29\\ 15\\ 30\\ 24\\ \end{pmatrix}$ .

La résolution du système $A x = b$ donne

$x=\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 1\\ \end{pmatrix}$ .

Si on substitue au second membre $b$ le second membre perturbé

$b'=b+\begin{pmatrix} 0.1\\ -0.1\\ 0.1\\ -0.1\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 29.1\\ 14.9\\ 30.1\\ 23.9\\ \end{pmatrix}$ ,

la solution $x'$ correspondante sera

$x'=A^{-1}b'\approx \begin{pmatrix} 6.222\\ 0.133\\ 1.633\\ -3.256\\ \end{pmatrix}.$

Les erreurs relatives de $b$ et $x$ sont respectivement de $0.004$ et $3.4108$ ce qui représente une multiplication par environ $860$ de l'erreur relative. Ce nombre est du même ordre que le conditionnement de la matrice $A$ qui est de $1425$ .

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