Trigonalisation

Trigonalisation

En algèbre linéaire, trigonaliser une matrice consiste à réduire celle-ci sous la forme d'une matrice triangulaire supérieure, ou inférieure. Ceci n'est possible que sous certaines conditions.

Dans la suite, on se donne n \geq 1 un entier naturel et \mathbb{K} un corps commutatif. M_n( \mathbb{K}) désignera l'ensemble des matrices à n lignes et n colonnes à coefficients dans \mathbb{K} .

Sommaire

Matrices triangulaires

Article détaillé : matrice triangulaire.

Une matrice triangulaire supérieure est une matrice dont tous les coefficients situés strictement en dessous de la diagonale sont nuls. En général, on note T_n^+(\mathbb{K}) l'ensemble des matrices triangulaires supérieures. C'est un espace vectoriel, et même mieux, c'est une sous-algèbre de M_n( \mathbb{K}) . Une matrice triangulaire supérieure T est donc de la forme :

T= \begin{bmatrix} a_{1,1} & \cdots & \cdots & a_{1,n} \\ 0 & \ddots & \ddots & a_{2,n}\\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & a_{n,n} \end{bmatrix}

Remarque : De la même manière, une matrice triangulaire inférieure est une matrice dont tous les coefficients situés strictement au-dessus de la diagonale sont nuls.

Endomorphismes et matrices trigonalisables

Soit M \in M_n( \mathbb{K}) , une matrice à n lignes et n colonnes à coefficients dans \mathbb{K} . On dit que la matrice M est trigonalisable s'il existe une matrice inversible P \in GL_n( \mathbb{K}) et une matrice T \in T_n^+( \mathbb{K}) triangulaire supérieure telles que :

M = PTP − 1 ou bien T = P − 1MP

Cela revient à dire que M est semblable dans M_n( \mathbb{K}) à une matrice triangulaire supérieure.

En particulier, toute matrice triangulaire supérieure est trigonalisable, bien évidemment. (Il suffit de choisir P = In où In est la matrice identité de dimension n.)

Soit E un espace vectoriel sur le corps \mathbb{K} , de dimension n et u un endomorphisme de E. On dit que u est trigonalisable s'il existe une base \mathcal{B} de E telle que M_{\mathcal{B}}(u) \in T_n^+( \mathbb{K}) , où M_{\mathcal{B}}(u) désigne la matrice de l'endomorphisme u dans la base \mathcal{B} . Autrement dit, un endomorphisme est trigonalisable s'il existe une base dans laquelle sa matrice associée est triangulaire supérieure.

De plus, un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si sa matrice dans au moins une base de E est trigonalisable ; dans ce cas, sa matrice dans n'importe quelle base de E est trigonalisable.

Il faut noter un théorème important dû à Schur :

Théorème de trigonalisation de Schur — Toute matrice carrée complexe est trigonalisable dans une base orthonormale.

Conditions de trigonalisation

Il existe plusieurs critères pour savoir si une matrice ou un endomorphisme sont trigonalisables :

En particulier, si \mathbb{K} est algébriquement clos, toute matrice de M_n( \mathbb{K}) est trigonalisable. Cet énoncé est aussi valable pour un endomorphisme de E, espace vectoriel de dimension n sur \mathbb{K} .
Cas particulier où \mathbb{K}= \mathbb{C}  : toute matrice de M_n( \mathbb{C}) est trigonalisable, car \mathbb{C} est algébriquement clos (voir théorème de d'Alembert-Gauss).
  • Un endomorphisme est trigonalisable s'il existe un drapeau de E stable par cet endomorphisme.

Exemples de trigonalisation

Matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels

Soit M=\begin{pmatrix} 1 & 3\\ -\frac{3}{4} & -2 \end{pmatrix} une matrice, son polynôme caractéristique est P_M(X)=\left(X+\frac{1}{2}\right)^2 qui a comme unique racine \frac{-1}{2} qui est donc l'unique valeur propre de M. L'espace propre associé à la valeur propre \frac{-1}{2} est E_{\frac{-1}{2}}=\left\{\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^2\;;\;M\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\frac{-1}{2}\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}\right\}=\left\{\begin{pmatrix}2x\\ -x\end{pmatrix}\;;\;x\in\mathbb{R}\right\}, E_{\frac{-1}{2}} est donc un sous espace vectoriel de dimension 1 qui a pour base le vecteur e_1^'=\begin{pmatrix}2\\ -1\end{pmatrix}. On peut alors compléter e_1^' avec par exemple le vecteur e_2^'=\begin{pmatrix}0\\ 1\end{pmatrix} de manière à ce que \mathfrak{B}'=(e_1^',e_2^') forme une base de l'espace \mathbb{R}^2 tout entier. On sait déjà que Me_1^'=\frac{-1}{2}e_1^' et on a facilement Me_2^'=\begin{pmatrix}3\\ -2\end{pmatrix}=\frac{3}{2}e_1^'-\frac{1}{2}e_2^', la matrice M dans la base \mathfrak{B}' s'écrit donc T=\begin{pmatrix}\frac{-1}{2} & \frac{3}{2}\\ 0 & \frac{-1}{2}\end{pmatrix}. On remarquera que la dimension de l'espace propre ne permettait pas ici de diagonaliser la matrice M. La matrice P telle que M = PTP − 1 n'est autre que la matrice de passage de la base canonique \mathfrak{B}=(e_1,e_2) à la base \mathfrak{B}', P est donc constituée des vecteurs de \mathfrak{B}' exprimés dans la base \mathfrak{B} donc P=\begin{pmatrix}2 & 0\\ -1 & 1\end{pmatrix}. De même, pour avoir la matrice P − 1 il suffit d'exprimer les vecteurs de \mathfrak{B} dans la base \mathfrak{B}', on a facilement e_1=\frac{1}{2}e_1^'+\frac{1}{2}e_2^' et e_2=e_2^' et donc P^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2} & 0\\ \frac{1}{2} & 1\end{pmatrix}.

Exemple de trigonalisation d'une matrice carrée d'ordre 3

Soit M=\begin{pmatrix}i & 2 & -1\\0 & i & 0\\0 & -1 & 2\end{pmatrix}\in M_3(\mathbb{C}) son polynôme caractéristique est P_M(X)=\left(i-X\right)^2(2-X). Comme dans l'exemple précédent on a après calculs : e_1^'=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\in E_{i} et e_2^'=\begin{pmatrix}1\\0\\i-2\end{pmatrix}\in E_{2} que l'on complète avec e_3^'=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} pour former une base \mathfrak{B'}=(e_1^',e_2^',e_3^') de \mathbb{C}^3. On remarque que Me_3^'=\frac{8-i}{5}e_1^'+\frac{2+i}{5}e_2^'+ie_3^'. La matrice M dans la base \mathfrak{B'} est donc T=\begin{pmatrix}i & 0 & \frac{8-i}{5}\\0 & 2 & \frac{2+i}{5}\\0 & 0 & i\end{pmatrix} et l'on a M = PTP − 1 avec P la matrice de passage de la base canonique \mathfrak{B} à la base \mathfrak{B}', P est donc constituée des vecteurs de \mathfrak{B'} exprimés dans la base \mathfrak{B} d'où P=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\\0 & i-2 & 0\end{pmatrix} et P^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 & \frac{2+i}{5}\\0 & 0 & \frac{-2-i}{5}\\0 & 1 & 0\end{pmatrix}.

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