Matrice Compagnon

Matrice compagnon

En algèbre linéaire, la matrice compagnon du polynôme unitaire

$p(X)=c_0 + c_1 X + \dots + c_{n-1}X^{n-1} + X^n\,$

est la matrice carrée définie de la façon suivante :

$C(p)=\begin{bmatrix} 0 & 0 & \dots & 0 & -c_0 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & -c_1 \\ 0 & 1 & \dots & 0 & -c_2 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 & -c_{n-1} \\ \end{bmatrix}.$

(il s'agit en réalité de la transposée de cette matrice).

Le polynôme caractéristique ainsi que le polynôme minimal de $C (p)$ sont égaux à p ; en ce sens, la matrice $C (p)$ est la « compagne » du polynôme p.

Si le polynôme $p (t)$ possède n racines distinctes $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ (les valeurs propres de C(p)), alors C(p) est diagonalisable de la façon suivante :

$V C(p) V^{-1} = \mbox{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\,$

où V est la matrice de Vandermonde associée à $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ .

Si A est une matrice d'ordre n dont les coefficients appartiennent à un corps $\mathbb{K}$ , alors les propositions suivantes sont équivalentes :

A est semblable à une matrice compagnon à coefficients dans $\mathbb{K}$
le polynôme caractéristique de A est le polynôme minimal de A
il existe un vecteur v dans $\mathbb{K}^n$ tel que ${v, A v, A 2 v,..., A n - 1 v}$ est une base de $\mathbb{K}$ .

Toutes les matrices carrées ne sont pas semblables à une matrice compagnon mais toute matrice est semblable à une matrice composée de blocs de matrices compagnons. De plus, ces matrices compagnons peuvent être choisies de telle sorte que leurs polynômes caractéristiques se divisent entre eux ; ils sont alors déterminés de façon unique par A. C'est la forme canonique rationnelle de A.

Voir aussi

Articles en rapport avec les matrices
Par forme	carrée • triangulaire • diagonale • tridiagonale • élémentaire • échelonnée • creuse • aléatoire • circulante • de Hankel • de Toeplitz • de Vandermonde
Transformée	transposée • adjointe • inverse • Comatrice
En relation	équivalente • semblable • congruente
Par propriété	inversible • diagonalisable • trigonalisable • symétrique • antisymétrique • hermitienne • normale • orthogonale • unitaire • symplectique • de Hadamard • définie positive • à diagonale dominante • nilpotente
Par famille	identité • de De Casteljau • de Cartan • de Hilbert • de Mueller • de Pauli • de Dirac
Particulière	CKM
Associée	de permutation • de passage • compagnon • de Sylvester • d'adjacence • laplacienne • hessienne • jacobienne • génératrice • de contrôle • de corrélation • de Gram • de variance-covariance • d'inertie • de Jones • des gains • stochastique
Résultats	décompositions : LU • QR • polaire • valeurs singulières Trigonalisation • Réduction de Jordan • facteurs invariants
Voir aussi	Théorie des matrices • Algèbre linéaire

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Catégorie : Matrice remarquable

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