Matrice de Householder

En algèbre linéaire, la matrice de Householder (en) associée à un vecteur non nul $v\in\R^n$ est la matrice définie par :

$H_v = I_n - 2 \frac{vv^T}{\|v\|^2}$

où $I n$ est la matrice identité de taille $n$ .

Propriétés

$H v$ est symétrique et orthogonale (donc involutive).

Démonstration

$\R^n$ étant muni de sa structure euclidienne canonique et $u$ désignant le vecteur unitaire $\frac{v}{\|v\|}$ , on a, pour tout vecteur $x$ ,

$H_v(x)=x-2(u.x)u~.$

$H v$ est donc la matrice, dans la base canonique, de la réflexion par rapport à l'hyperplan orthogonal à $v$ . En particulier, c'est la matrice d'une symétrie orthogonale :

$H_v=H_v^{-1}=H_v^T$ .

Si $v=a-b\ne 0$ avec $\|b\|=\|a\|$ alors $H v (a) = b$ . C'est sur cette propriété que se fondent toutes les applications des matrices de Householder (matrice de Hessenberg, tridiagonalisation ou décomposition QR).

Démonstration

$\|v\|^2=\|a\|^2-2a.b+\|b\|^2=2(\|a\|^2-a.b)=2v.a~,$ donc

$H_v(a)=a-2\frac{v.a}{\|v\|^2}v=a-v=b~.$

v · Matrices
Par forme	carrée • triangulaire • diagonale • tridiagonale • élémentaire • échelonnée • creuse • aléatoire • circulante • de Hankel • de Toeplitz • de Vandermonde
Transformée	transposée • conjuguée • adjointe • inverse • comatrice
En relation	équivalentes • semblables • congruentes
Par propriété	inversible • diagonalisable • trigonalisable • symétrique • antisymétrique • hermitienne • normale • orthogonale • unitaire • symplectique • de Hadamard • positive • définie positive • à diagonale dominante • nilpotente
Par famille	identité • de De Casteljau • de Cartan • de Hilbert • de Mueller • de Pauli • de Dirac • de Householder
Particulière	CKM
Associée	de permutation • de passage • compagnon • de Sylvester • d'adjacence • laplacienne • hessienne • jacobienne • génératrice • de contrôle • de corrélation • de Gram • de variance-covariance • d'inertie • de Jones • des gains • stochastique
Résultats	décompositions : LU • QR • Cholesky • polaire • valeurs singulières Diagonalisation • Trigonalisation • Réduction de Jordan • facteurs invariants
Voir aussi	Théorie des matrices • Algèbre linéaire • Algèbre bilinéaire

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Catégorie :

Matrice remarquable

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Matrice de Householder de Wikipédia en français (auteurs)

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