Matrice de Householder

En algèbre linéaire, la matrice de Householder (en) associée à un vecteur non nul $v\in\R^n$ est la matrice définie par :

$H_v = I_n - 2 \frac{vv^T}{\|v\|^2}$

où $I n$ est la matrice identité de taille $n$ .

Propriétés

$H v$ est symétrique et orthogonale (donc involutive).

Démonstration

$\R^n$ étant muni de sa structure euclidienne canonique et $u$ désignant le vecteur unitaire $\frac{v}{\|v\|}$ , on a, pour tout vecteur $x$ ,

$H_v(x)=x-2(u.x)u~.$

$H v$ est donc la matrice, dans la base canonique, de la réflexion par rapport à l'hyperplan orthogonal à $v$ . En particulier, c'est la matrice d'une symétrie orthogonale :

$H_v=H_v^{-1}=H_v^T$ .

Si $v=a-b\ne 0$ avec $\|b\|=\|a\|$ alors $H v (a) = b$ . C'est sur cette propriété que se fondent toutes les applications des matrices de Householder (matrice de Hessenberg, tridiagonalisation ou décomposition QR).

Démonstration

$\|v\|^2=\|a\|^2-2a.b+\|b\|^2=2(\|a\|^2-a.b)=2v.a~,$ donc

$H_v(a)=a-2\frac{v.a}{\|v\|^2}v=a-v=b~.$

v · Matrices
Par forme	carrée • triangulaire • diagonale • tridiagonale • élémentaire • échelonnée • creuse • aléatoire • circulante • de Hankel • de Toeplitz • de Vandermonde
Transformée	transposée • conjuguée • adjointe • inverse • comatrice
En relation	équivalentes • semblables • congruentes
Par propriété	inversible • diagonalisable • trigonalisable • symétrique • antisymétrique • hermitienne • normale • orthogonale • unitaire • symplectique • de Hadamard • positive • définie positive • à diagonale dominante • nilpotente
Par famille	identité • de De Casteljau • de Cartan • de Hilbert • de Mueller • de Pauli • de Dirac • de Householder
Particulière	CKM
Associée	de permutation • de passage • compagnon • de Sylvester • d'adjacence • laplacienne • hessienne • jacobienne • génératrice • de contrôle • de corrélation • de Gram • de variance-covariance • d'inertie • de Jones • des gains • stochastique
Résultats	décompositions : LU • QR • Cholesky • polaire • valeurs singulières Diagonalisation • Trigonalisation • Réduction de Jordan • facteurs invariants
Voir aussi	Théorie des matrices • Algèbre linéaire • Algèbre bilinéaire

Portail des mathématiques

Catégorie :

Matrice remarquable

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Matrice de Householder de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужен реферат?

Regardez d'autres dictionnaires:

Matrice de rotation — En mathématiques, et plus précisément en algèbre linéaire, une matrice de rotation Q est une matrice orthogonale de déterminant 1, ce qui peut s exprimer par les équations suivantes : QtQ = I = QQt et det Q = 1, où Qt est la matrice… … Wikipédia en Français
Matrice (mathématiques) — Pour les articles homonymes, voir Matrice. En mathématiques, les matrices sont des tableaux de nombres qui servent à interpréter en termes calculatoires et donc opérationnels les résultats … Wikipédia en Français
Matrice diagonalisable — Exemple de matrice diagonalisable sur le corps des complexes mais pas sur celui des réels, son polynôme caractéristique étant X2 + 1. En mathématiques, une matrice diagonalisable est une matrice carrée semblable à une matrice diagonale. Cette p … Wikipédia en Français
Matrice définie positive — En algèbre linéaire, la notion de matrice définie positive est analogue à celle de nombre réel strictement positif : une matrice définie positive est une matrice positive inversible (la réciproque est fausse). On introduit tout d abord les… … Wikipédia en Français
Matrice par bloc — En théorie des matrices, une matrice par bloc ou matrice partitionnée est une matrice pouvant être divisée en matrices rectangulaires de dimensions inférieures appelées blocs. On peut dire également que la matrice est écrite en termes de matrices … Wikipédia en Français
Matrice positive — Sommaire 1 Matrice positive 1.1 Définitions 1.2 Relation d ordre sur les matrices réelles 2 Matrices carrées positives … Wikipédia en Français
Matrice de contrôle — Une matrice de contrôle est un concept de théorie des codes utilisé dans le cas des codes correcteurs linéaires. Elle correspond à la matrice d une application linéaire ayant pour noyau le code. La notion de matrice de contrôle possède à la fois… … Wikipédia en Français
Matrice inversible — Pour les articles homonymes, voir Inverse (homonymie). En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice carrée A d ordre n est dite inversible ou régulière ou encore non singulière, s il existe une matrice B d ordre n… … Wikipédia en Français
Matrice nilpotente — Une matrice nilpotente est une matrice dont il existe une puissance égale à la matrice nulle. Elle correspond à la notion d endomorphisme nilpotent sur un espace vectoriel de dimension finie. Cette notion facilite souvent le calcul matriciel. En… … Wikipédia en Français
Matrice circulante — En algèbre linéaire, une matrice circulante est une matrice carrée dans laquelle on passe d une ligne à la suivante par permutation circulaire (décalage vers la droite) des coefficients. Une matrice circulante de taille n est donc de la forme où… … Wikipédia en Français

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Matrice de Householder

Propriétés

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Wikipédia en Français

Matrice de Householder

Propriétés

Regardez d'autres dictionnaires:

Share the article and excerpts

Direct link