Matrice Antisymétrique

En mathématiques, et plus précisément en algèbre linéaire, une matrice antisymétrique est un type de matrice carrée.

Sommaire 1 Définition 2 Exemple 3 Propriétés 4 Voir aussi

Définition

Une matrice carrée A à coefficients dans un anneau quelconque est dite antisymétrique si sa transposée est égale à son opposée ; c'est-à-dire si elle satisfait à l'équation :

^tA = -A

c’est-à-dire si elle est écrite avec des coefficients sous la forme A = (a_i,j):

pour tout i et j, a_i,j = - a_j,i

Exemple

Par exemple, la matrice suivante est antisymétrique:

Le cas où les coefficients de la matrices sont à valeurs dans un corps de caractéristique 2 est très particulier. Dans ce cas, − A = A et donc une matrice est antisymétrique si elle est symétrique. Dans tout ce qui suit, les coefficients de la matrices sont à valeurs dans un corps de caractéristique différente de 2.

Propriétés

• Toutes les entrées de la diagonale principale d'une matrice antisymétrique ont un zéro: en effet il faut que chaque élément de la diagonale vérifie aussi a_i,j = - a_j,i et le seul nombre ayant cette caractéristique est 0 ; ainsi, la trace d'une matrice antisymétrique est nulle.

• L'espace des matrices symétriques et celui des matrices antisymétriques sont supplémentaires dans l'espace des matrices carrées. En effet, toute matrice carrée se décompose de façon unique de la façon suivante :

.

• Ces espaces sont même orthogonaux si on munit l'espace des matrices carrés du produit scalaire canonique dont une des expressions est justement :

• Les matrices antisymétriques de type (n,n) forment un espace vectoriel de dimension (n² - n)/2. La base canonique est la famille de matrices A_ij qui comportent un à la ième ligne et jème colonne et moins un à la jème ligne et ième colonne.

• Dans le cas réel :

Cet espace vectoriel est l'espace tangent au groupe orthogonal O(n). Dans ce sens, nous pouvons assimiler les matrices antisymétriques à des « rotations infinitésimales ».

Toute matrice antisymétrique réelle est diagonalisable sur le corps des complexes et ses valeurs propres sont imaginaires pures. En fait, si A est antisymétrique réelle, iA est matrice hermitienne.

En fait, les matrices antisymétriques de type (n, n) forment une algèbre de Lie utilisant le crochet de Lie

et c'est l'algèbre de Lie associée au groupe de Lie O(n).

Une matrice G est orthogonale et a un déterminant égal à 1, c'est-à-dire est un élément de la composante connexe du groupe orthogonal où se trouve la matrice unité, si et seulement si il existe une matrice antisymétrique A telle que:

Voir aussi

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Par forme	carrée • triangulaire • diagonale • tridiagonale • élémentaire • échelonnée • creuse • aléatoire • circulante • de Hankel • de Toeplitz • de Vandermonde
Transformée	transposée • adjointe • inverse • Comatrice
En relation	équivalente • semblable • congruente
Par propriété	inversible • diagonalisable • trigonalisable • symétrique • antisymétrique • hermitienne • normale • orthogonale • unitaire • symplectique • de Hadamard • définie positive • à diagonale dominante • nilpotente
Par famille	identité • de De Casteljau • de Cartan • de Hilbert • de Mueller • de Pauli • de Dirac
Particulière	CKM
Associée	de permutation • de passage • compagnon • de Sylvester • d'adjacence • laplacienne • hessienne • jacobienne • génératrice • de contrôle • de corrélation • de Gram • de variance-covariance • d'inertie • de Jones • des gains • stochastique
Résultats	décompositions : LU • QR • polaire • valeurs singulières Trigonalisation • Réduction de Jordan • facteurs invariants
Voir aussi	Théorie des matrices • Algèbre linéaire

• matrice symétrique
• Pseudovecteur

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