Convergence Absolue

Convergence absolue

En mathématiques, on dit qu'une série numérique $\sum u_n$ converge absolument lorsque la série des valeurs absolues (ou des modules) $\sum |u_n|$ est convergente. C'est une condition suffisante très utile de convergence pour la série $\sum u_n$ elle-même. Cette condition suffisante peut être étendue aux séries à valeurs dans un espace vectoriel normé complet.

De façon symétrique, on dit qu'une intégrale converge absolument si l'intégrale de la valeur absolue (du module ou de la norme) de l'intégrande est convergente.

L'absolue convergence des séries ou des intégrales est étroitement liée à la sommabilité (des familles ou des fonctions), et apporte des propriétés plus fortes que la convergence.

Sommaire

1 Série numérique absolument convergente
- 1.1 Comportement des séries à termes réels
- 1.2 Propriétés des séries absolument convergentes
2 Extension aux séries à valeurs vectorielles
3 Intégrale absolument convergente
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Série numérique absolument convergente

Une série à termes réels ou complexes $\sum a_n$ converge absolument quand la série de terme général $| a n |$ converge. Dans ce cas, la série $\sum a_n$ converge elle aussi et l'inégalité triangulaire se généralise en

$\left|\sum_{n=0}^{+\infty} a_n \right|\leq \sum_{n=0}^{+\infty} |a_n|$

Si la série est convergente, mais non absolument convergente, elle est dite semi-convergente.

Exemple : la série harmonique alternée $\sum_{n\ge 1}\frac{(-1)^n}{n}$ est semi-convergente.

Comportement des séries à termes réels

Dans le cas où on a affaire à une série de réels, le théorème précédent possède une démonstration élémentaire, qui apporte des informations supplémentaires sur les comportements possibles.

Si les termes $a n$ de la série sont des réels, on peut séparer les termes positifs et négatifs. Il faut considérer pour cela les termes $a_n^+$ partie positive et $a_n^-$ partie négative du terme $a n$

$a_n^+=\max(a_n,0)\qquad a_n^-=\max(-a_n,0)$

Ces deux termes sont positifs, l'un est nul, et l'autre égal à la valeur absolue de $a n$ . De sorte que

$a_n = a_n^+-a_n^- \qquad |a_n| = a_n^++a_n^-$

Les séries $\sum a_n^+$ et $\sum a_n^-$ étant à termes positifs, leur suite des sommes partielles est croissante ; elle converge ou tend vers l'infini. Convergence absolue et semi-convergence peuvent être formulées à l'aide de ces deux séries.

Lorsque la série $\sum a_n$ converge absolument, par comparaison de séries positives, les séries $\sum a_n^+$ et $\sum a_n^-$ convergent toutes deux, donc par linéarité la série $\sum a_n$ aussi.
Lorsque la série $\sum a_n$ est semi-convergente, nécessairement les deux séries $\sum a_n^+$ et $\sum a_n^-$ divergent (chacune a une somme infinie). La convergence se fait donc par compensation entre les termes positifs et négatifs.

La propriété « absolue convergence implique convergence » peut ensuite être étendue aux séries à valeurs complexes en séparant de la même façon parties réelle et imaginaire.

Propriétés des séries absolument convergentes

Si une série est absolument convergente, elle jouit de propriétés particulières, valables pour les sommes finies, mais fausses pour les séries en général

généralisation de la commutativité : la convergence et la valeur de la somme ne dépendent pas de l'ordre des termes. Ainsi, si σ est une permutation de ${\mathbb N}$ , il est possible d'écrire

$\sum_{n=0}^{+\infty} a_{\sigma(n)}= \sum_{n=0}^{+\infty} a_n$

Si la série est au contraire semi-convergente un théorème de Riemann montre que changer l'ordre des termes peut conduire à une série divergente, ou à une série convergente de somme arbitrairement choisie.

généralisation de la distributivité : le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes converge, avec la formule

$\left(\sum_{p=0}^{+\infty} a_p\right)\left(\sum_{q=0}^{+\infty} b_q\right)= \sum_{s=0}^{+\infty} \left(\sum_{n=0}^s a_nb_{s-n}\right)$

Une autre façon d'obtenir ces propriétés pour des sommes infinies est de considérer la notion de famille sommable, très voisine de la propriété d'absolue convergence pour les séries numériques.

Extension aux séries à valeurs vectorielles

Le cadre est cette fois un espace vectoriel normé E. Une série à termes vectoriels $\sum a_n$ converge absolument quand la série de terme général $\| a_n \|$ converge.

Lorsque l'espace vectoriel E est complet, la convergence absolue fournit encore une condition suffisante de convergence : si la série converge absolument, elle converge et

$\left\|\sum_{n=0}^{+\infty} a_n \right\|\leq \sum_{n=0}^{+\infty} \|a_n\|$

Cette propriété se prouve en utilisant le critère de Cauchy pour caractériser ces convergences.

Il s'agit en fait d'une équivalence : si E est un espace vectoriel normé tel que toute série absolument convergente converge, alors E est complet.

Intégrale absolument convergente

De même, une intégrale:

$\int_A f(x)\,dx$

converge absolument si l'intégrale de sa valeur absolue correspondante est finie:

$\int_A \left|f(x)\right|\,dx<\infty.$

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