Famille Génératrice

Famille génératrice

En algèbre linéaire, une famille génératrice est une famille de vecteurs d'un espace vectoriel dont les combinaisons linéaires permettent de construire tous les autres vecteurs de l'espace.

Définition

Une famille $F = ( f_1 , f_2 , \ldots, f_n )$ d'éléments d'un K-espace vectoriel E est dite génératrice de E si et seulement si :

$\forall x \in E,\ \exists ( \lambda_1 , \lambda _2 , \ldots , \lambda_n ) \in K^n,\ x = \sum_{k=1}^n \lambda_k f_k$ .

On note alors $E = \mathrm{Vect}( f_1 , f_2 , \ldots , f_n )$ .

En bref, une famille $\left(v_1,\ldots,v_n\right)$ est génératrice de $E$ si tous les vecteurs $v$ de l'espace $E$ s'expriment comme combinaisons linéaires des vecteurs $v_1,\ldots,v_n$ .

Si en plus la famille est libre, alors c'est une base de $E$ .

Voir aussi

Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs	Colinéarité • Indépendance linéaire • Famille libre • Rang • Famille génératrice • Base • Théorème de la base incomplète
Sous-espace	Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension d'un espace vectoriel • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie	Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford
Enrichissements de structure	Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

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Catégorie : Espace vectoriel

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