Hyperplan

Hyperplan

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, les hyperplans sont des sous-espaces vectoriels particuliers.

Sommaire

Définition

Soit E un \mathbb K-espace vectoriel et H un sous-espace vectoriel de E.

On dit que H est un hyperplan de E si H est de codimension 1 dans E.


Remarques :

  • Dans un espace de dimension finie n, les hyperplans sont donc les sous-espaces vectoriels de dimension n-1.
  • Dans \mathbb{R}^3, la notion d'hyperplan est confondue avec celle de plan, mais ce n'est plus vrai quand la dimension de l'espace est supérieure à 3.

Caractérisation

On montre l'équivalence des propriétés suivantes :

  • H est un hyperplan
  • Il existe une droite D telle que E=H \oplus D
  • \forall e \in E \backslash H, \quad E=H \oplus e \mathbb{K}

Lien avec les formes linéaires

On montre que les hyperplans sont exactement les noyaux des formes linéaires non nulles.

C'est-à-dire : H est un hyperplan de E \Longleftrightarrow \exists \phi \in E^*\backslash\{0\}, \ H=\ker \phi

Démonstration

Soit H un hyperplan de E. On cherche à construire une forme linéaire non nulle dont H est le noyau.

H est un hyperplan donc par définition il admet un supplémentaire dans E de dimension égale à 1. C'est donc une droite vectorielle engendrée par un x_o \in E-H (xo ne peut être nul car il n'appartient pas à H qui contient 0). On a donc

E=H \oplus x_o K

Tout vecteur x de E se décompose donc de la façon suivante:

x=\underbrace{x_H}_{\in H}+\underbrace{ \lambda x_o}_{\in x_o K}, \quad (\lambda \in K)

Posons une application \varphi: E \longrightarrow K qui a tout vecteur de E associe le scalaire associé à xo dans sa décomposition suivant H \oplus x_o K . Montrons alors que φ est linéaire: On prend deux vecteurs x et y quelconque de E qui se décomposent comme ci-dessus:

x=x_H+\lambda x_o \quad \mathrm{et} \quad y=y_H+\mu x_o

En prenant un scalaire a \in K quelconque on obtient:

\begin{array}{ll} \varphi(ax+y)&=\varphi \left(a(x_H+\lambda x_o)+(y_H+\mu x_o)\right)\\ &=\varphi ((\underbrace{ax_H+y_H}_{\in H})+(\underbrace{a\lambda + \mu )x_o}_{\in x_o K})\\ &=a\lambda + \mu\\ &=a\varphi(x)+\varphi(y) \end{array}

Ce qui montre que φ est linéaire, de plus son ensemble d'arrivée est K, c'est donc bien une forme linéaire. De plus elle n'est pas nulle (par exemple xo a pour image 1).

Prenons un x_H \in H. Par décomposition xH = xH + 0xo donc φ(xH) = 0 et donc x_h \in \ker \varphi. On a donc H \subset \ker \varphi.

Réciproquement, soit x \in \ker \varphi. Alors ce vecteur n'est pas engendré par xo et donc appartient à H. On a donc \ker \varphi \subset H et donc par double inclusion H = ker φ.


H est donc le noyau d'une forme linéaire non nulle.


Réciproquement, soit φ une forme linéaire non nulle et H son noyau. Montrons que H est un hyperplan de E. Pour cela, on va montrer que H admet un supplémentaire de dimension 1.

φ est non-nulle, il existe donc un vecteur xo de E non-nul tel que \varphi(x_0) \neq 0. Montrons alors que E=H\oplus x_o K. Soit x dans E. Comme \varphi (x_o) \neq 0, on peut écrire la tautologie suivante:

x=\underbrace{x-\frac{\varphi(x)}{\varphi(x_o)}x_o}_{=x_H} + \underbrace{ \frac{ \varphi(x)}{ \varphi(x_o)}x_o}_{=y}

Il est clair que y \in x_o K car \frac{ \varphi(x)}{ \varphi(x_o)} est bien dans K.

D'autre part:

\begin{array}{ll} \varphi(x_H)&=\varphi\left(x-\frac{\varphi(x)}{\varphi(x_o)}x_o\right)\\ &=\varphi(x)-\frac{\varphi(x)}{\varphi(x_o)}\varphi(x_o)\\ &=\varphi(x)-\varphi(x)\\ &=0 \end{array}

Donc x_H \in \ker\varphi=H. Autrement dit, tout vecteur de E se décompose en somme d'un élément de la droite vectorielle engendrée par xo et d'un élément du noyau H, ie E = H + xoK. Montrons maintenant que cette somme est directe.

Soit x \in H \cap x_o K. On peut donc écrire x = λxo avec \lambda \in K. Et donc φ(x) = λφ(xo). Mais comme x est dans H on a également φ(x) = 0. C'est-à-dire λ = 0 (car \varphi(x_o) \neq 0) et donc x=0. D'où H \cap x_o K = \{0\} et la somme est directe.

Par conséquent, E=H\oplus x_o K soit, par définition:


H est un hyperplan de E.


Interprétation de ce résultat dans le \mathbb{R}\,\!-espace vectoriel \mathbb{R}^3 :

Toutes les formes linéaires sur \mathbb{R}^3 peuvent s'écrire sous la forme suivante : \phi : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R},\ (x,y,z) \mapsto ax+by+cz avec (a,b,c) \in \mathbb{R}^3 fixé. Le résultat précédent nous indique que tout hyperplan de \mathbb{R}^3 peut s'écrire comme le noyau d'une forme linéaire. Autrement dit H=\{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 / \ \phi(x,y,z) = ax+by+cz=0\}

Ce lien entre hyperplan et noyau d'une forme linéaire exprime en fait la notion d'équation d'un hyperplan, donc ici d'un plan (vectoriel).

Exemples

  • Dans E=\mathcal M_n(\mathbb K) l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans \mathbb K. L'ensemble des matrices de trace nulle H=\{A \in E / \ \mathrm{Tr} A =0\} est un hyperplan de E.
  • Dans E=\mathbb K[X] l'espace vectoriel des polynômes à une indéterminée. L'ensemble des polynômes divisibles par X: H=\{P \in E / \ P(0)=0\} est un hyperplan de E.


Pour ces deux exemples, la démonstration est immédiate en utilisant le résultat sur les formes linéaires: le noyau d'une forme linéaire non nulle est un hyperplan.

Représentation des sous-espaces

Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie.

On peut représenter ce sous-espace comme une intersection finie d'hyperplans indépendants. Ce théorème est détaillé dans l'article espace dual.

v · d · m
Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité Mathématiques
Sous-espace Sous-espace vectoriel • Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

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Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Hyperplan de Wikipédia en français (auteurs)

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