Grandeur vectorielle

Pour les articles homonymes, voir Vecteur (homonymie).

Deux vecteurs et et le vecteur somme.

En mathématiques, le vecteur est un objet véhiculant plus d'informations que les nombres usuels et sur lequel il est possible d'effectuer des opérations.

À l’origine, un vecteur est un objet de la géométrie euclidienne. À deux points, Euclide associe leur distance. Or un couple de points porte une charge d'information plus grande. Ils définissent aussi une direction et un sens. Le vecteur synthétise ces informations.

La notion de vecteur peut être définie en dimension deux (le plan) ou trois (l'espace euclidien usuel). Elle se généralise à des espaces de dimension quelconque. Cette notion, devenue abstraite et introduite par un système d'axiomes, est le fondement de la branche des mathématiques appelée algèbre linéaire.

Le vecteur permet, en physique, de modéliser des grandeurs qui ne peuvent être complètement définies par un nombre ou une fonction numérique seuls. Par exemple, pour préciser un déplacement, une vitesse, une force ou un champ électrique, la direction et le sens sont indispensables. Les vecteurs s’opposent aux grandeurs scalaires décrites par un simple nombre, comme la masse, la température ou la densité.

Histoire

La notion de vecteur est le fruit d'une longue histoire, commencée voici plus de deux mille ans. Deux familles d'idées, d'abord distinctes, sont à l'origine de la formalisation. L'une d'elle est la géométrie, traitant de longueurs, d'angles et de mesures de surfaces et de volumes. L'autre correspond à l'algèbre, qui traite des nombres, de l'addition ou la multiplication et plus généralement d'ensembles munis d'opérations. Un vieux problème d'algèbre nous vient par exemple des Égyptiens et s'exprime de la manière suivante :

« On doit diviser 100 miches de pain entre dix hommes comprenant un navigateur, un contremaître et un gardien, tous trois recevant double part. Que faut-il donner à chacun ?^[1] »

Ces deux familles d'idées sont développées indépendamment, pour finir par converger vers la notion de vecteur.

Origines des deux concepts

Les Éléments formalise une structure géométrique initialement utilisé pour décrire l'ancêtre de l'espace vectoriel.

La civilisation grecque développe la géométrie à un niveau inégalé à cette époque. L'un des fleurons est le traité nommé les Éléments d'Euclide, datant du III^e siècle av. J.-C.. Il contient la formalisation, très rigoureuse pour l'époque, d'une géométrie, encore maintenant appelée euclidienne. On y trouve les définitions d'une droite, d'un plan ou de notre espace physique de dimension trois permettant de modéliser des volumes. Les propriétés des distances, des angles, des mesures de surfaces et de volumes sont étudiées. Les théorèmes fondateurs, comme ceux appelés Thalès ou Pythagore, sont explicités et démontrés.

L'algèbre y est peu développée et contient essentiellement de l'arithmétique. Les nombres entiers et rationnels sont étudiés ainsi que quelques irrationnels, c'est-à-dire les nombres qui ne s'écrivent pas sous forme d'une fraction d'entiers^[2]. Les nombres sont toujours strictement positifs.

les Neuf Chapitres sur l'art mathématique ont en Chine un rôle analogue aux Éléments d'Euclide en occident.

La Chine développe les premières idées algébriques à l'origine des vecteurs. Un vieux texte, datant probablement du I^e siècle av. J.-C.^[3] : les Neuf Chapitres sur l'art mathématique y consacre sa huitième partie. Elle s'intitule Fang cheng ou Disposition rectangulaire et traite d'un problème maintenant appelé système d'équations linéaires. Cette culture n'en reste pas là, Qin Jiushao (1202 - 1261) généralise cette étude à des nombres différents des entiers ou rationnels. Il utilise les congruences, inaugurant une démarche consistant à définir des vecteurs sur des ensembles de nombres exotiques. Il peut ainsi résoudre des problèmes liés au calendrier et aux alignements de planètes avec une très grande précision^[4]. La méthode utilisée ne sera connue qu'au XIX^e siècle en Occident, sous le nom de pivot de Gauss. Ce résultat est suffisamment étonnant pour que Libbrecht précise que :

« Nous ne devrions pas sous-estimer la percée révolutionnaire de Qin, en effet, depuis le théorème des restes chinois de Sun Zi, on passe sans intermédiaire à un algorithme plus avancé que la méthode de Gauss elle-même, et il n'y a pas la moindre indication d'une évolution graduelle. »^[5]

L'aspect géométrique n'échappe pas aux mathématiciens chinois. Le dernier chapitre, le Gou gu comporte un équivalent du théorème de Thalès et de Pythagore^[6].

Convergence de l'algèbre et de la géométrie

Illustration extraite du traité de perspective De prospectiva pingendi de Piero della Francesca, un peintre de la renaissance italienne.

L'existence de lien entre ce que l'on appelle maintenant l'algèbre et la géométrie est ancienne. Les Babyloniens connaissaient déjà la propriété algébrique de la diagonale d'un carré de côté de longueur un, à savoir que son carré est égal à deux. Ils savaient de plus calculer cette valeur avec une remarquable précision^[7]. Ce lien est aussi connu des Grecs et des Chinois.

Il faut cependant attendre la civilisation arabe pour observer un progrès significatif. Leurs mathématiciens connaissaient les travaux des Grecs, particulièrement ceux d'Euclide^[8]. Les notations utilisées laissent penser qu'ils avaient aussi accès à des travaux des premiers mathématiciens chinois^[9]. Le progrès déterminant consiste à associer au plan géométrique des coordonnées. Omar Khayyam (1048 - 1131) cherche les solutions d'un problème purement algébrique : trouver les racines d'un polynôme du troisième degré. Un système de coordonnées lui permet de visualiser ces racines comme les abscisses des intersections d'une parabole et d'une hyperbole^[10].

Le système des coordonnées est repris en Europe. La volonté de maitriser la perspective pousse les peintres italiens à étudier les mathématiques. Filippo Brunelleschi (1377 - 1446) découvre les lois de la perspective, issues d'une projection centrale^[11]. Ces résultats sont formalisés^[12] par Leon Battista Alberti (1404 - 1472). Les théoriciens de la perspective disposent de multiples talents. Ainsi Piero della Francesca (vers 1412 - 1492), auteur d'un traité sur la question^[13], est à la fois peintre et mathématicien. Giorgio Vasari (1511 - 1574) indique, à propos de ses talents de géomètre « il ne fut inférieur à personne de son époque et peut-être de tout temps. »^[14].

Apports de la physique

René Descartes utilise l'optique pour développer le concept de repère cartésien. L'illustration provient de son traité : Les Dioptriques.

La physique est le moteur suivant de la convergence entre géométrie et algèbre. En 1604, Galileo Galilei (1564 - 1642) établit^[15] la loi de la chute des corps. Les illustrations de ses notes montrent l'utilisation d'un repère. L'optique est la branche qui aboutit au progrès le plus marquant. Pierre de Fermat (1601 - 1665), qui connaissait les écrits de Galilée, et René Descartes (1596 - 1650) s'écrivent des lettres au sujet de la dioptrique (la manière dont la lumière se réfléchit sur un miroir) et à la réfraction (la déviation d'un rayon lumineux quand il change de milieu, par exemple en passant de l'air à l'eau)^[16]. Ils arrivent à la conclusion qu'un repère est une méthode systématique permettant d'appréhender tous les problèmes de géométrie euclidienne. Ces résultats sont consignés dans un traité de Descartes^[17]. Il écrit en introduction : « Comment le calcul d'arithmétique se rapporte aux opérations de géométrie ». Pour Descartes, calcul d'arithmétique signifie approximativement ce qui est maintenant appelé algèbre. Cette approche est particulièrement féconde pour l'étude d'une branche naissante des mathématiques : la géométrie analytique. Un exemple est donné par l'étude de la cycloïde. Cette courbe décrit la trajectoire d'un point de la surface d'une roue se déplaçant sans glissement sur un sol horizontal.

Isaac Newton (1643 - 1727) développe^[18] la géométrie analytique et l'utilise en astronomie. Cette application est l'origine^[19] de l'utilisation du terme vecteur. En 1704, un dictionnaire technique anglais indique :

« Une ligne dessinée depuis une planète, se déplaçant autour d'un centre ou du foyer d'une ellipse, jusqu'à ce centre ou ce foyer, est appelé Vecteur par quelques auteurs de la Nouvelle Astronomie, car cette ligne semble porter la planète autour du centre. »^[20]

Ce terme apparait en français sous la plume de Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) dans l'expression rayon vecteur^[21], encore dans un contexte astronomique. Il vient du latin vector et désigne le conducteur d’un chariot. Son origine est plus ancienne, elle provient de l'indo-européen *VAG, ou *VAGH et signifie chariot.

Ainsi, au XVII^e siècle, le contexte géométrique et algébrique du vecteur est présent. En revanche, aucune formalisation n'est proposée et le terme, s'il est utilisé, désigne encore une grandeur scalaire.

Formalisations

Giusto Bellavitis est un mathématicien italien auteur de la formalisation des vecteurs par la notion de bipoint et d'équipollence.

La première formalisation des vecteurs est le fruit d'un travail de plusieurs mathématiciens durant la première moitié du XIX^e siècle. Bernard Bolzano (1781 - 1848) publie un livre élémentaire^[22] contenant une construction axiomatique de la géométrie analogue à celle d'Euclide, fondée sur des points, droites et plans. Il adjoint les opérations algébriques d'addition et de multiplication. La géométrie projective, héritière du travail sur la perspective des peintres de la renaissance italienne, conduit Jean-Victor Poncelet (1788 - 1867) et Michel Chasles (1793 - 1880) à affiner ^[23],[24] les travaux de Bolzano. August Ferdinand Möbius (1790 - 1868) apporte sa pierre à l'édifice en développant le système de coordonnées barycentriques^[25]. Enfin, la formalisation encore actuellement enseignée, à partir des notions de bipoint et d'équipollence, est l'œuvre^[26] de Giusto Bellavitis (1803 - 1880).

Une autre voie est explorée, purement algébrique. William Rowan Hamilton (1805 - 1865) remarque que les nombres complexes représentent un plan euclidien. Il passe dix ans de sa vie^[27] à chercher un équivalent en dimension trois, et finit par trouver le corps des quaternions, de dimension quatre en 1843. Il propose deux nouvelles définitions pour les mots « vecteur » et « scalaire ». Un vecteur est pour lui un élément d'un sous-ensemble des quarternions, de dimension trois. Il écrit :

« Un vecteur est donc… une sorte de triplet naturel (suggéré par la géométrie) : et en conséquence nous verrons que les quaternions offrent une représentation symbolique simple sous forme trinomiale (i.x + j.y + k.z); ce qui ramène la conception et l'expression d'un tel vecteur à la forme la plus proche possible de celle obtenue avec les coordonnées cartésiennes et rectangulaires^[28]. »

Cette deuxième voie, qui donne pour la première fois une signification analogue aux formalisations modernes de la notion de vecteur, est ensuite précisée et enrichie. Elle consiste maintenant à définir un vecteur comme un élément d'un espace vectoriel.

Approche géométrique

La géométrie euclidienne est la géométrie du plan ou de l'espace fondée sur les axiomes d'Euclide. Les notions de point, de droite, de longueur, sont introduits par le biais d'axiomes. Le vecteur est alors un objet géométrique construit à partir des précédents.

Une visualisation intuitive d'un vecteur correspond à un déplacement d'un point, ou pour utiliser le terme mathématique précis, une translation. Ainsi un vecteur possède une longueur, la distance entre le point de départ et d'arrivée, une direction si le déplacement n'est pas nul, c'est la droite contenant le point de départ et d'arrivée et un sens, depuis le départ jusqu'à l'arrivée.

Définition

Les bipoints (A,B), (C,D), (E,F) sont équipollents. Ils constituent trois représentants d'un même vecteur. En effet, les quadruplets de points ABFE et ABDC définissent deux parallélogrammes.

Un vecteur est représenté par un segment orienté (une flèche) ayant pour extrémités un point de départ et un point d'arrivée. L’emplacement dans le plan ou l'espace n’a pas d’importance, deux déplacements de deux points d'origine distincts peuvent correspondre au même vecteur, seuls comptent sa longueur, sa direction et son sens. Il est donc possible de le faire glisser librement dans le plan, parallèlement à lui-même.

Une définition formelle utilise au préalable la notion de bipoint. Il est défini comme un couple de points. L’ordre a une importance : le premier point est appelé origine. Deux bipoints (A,B) et (C,D) sont dits équipollents lorsque ABDC est un parallélogramme. La relation d'équipollence constitue une relation d'équivalence sur les bipoints. Une classe d'équivalence contient tous les bipoints dont le deuxième membre est l'image du premier point par le déplacement.

La classe d'équivalence d'un bipoint (A,B) est appelée vecteur et est notée . Le bipoint (A,B) en est un représentant. Réciproquement, tout vecteur admet plusieurs bipoints représentants, dont aucun n'est privilégié. Si une origine est choisie, il existe un unique bipoint représentant un vecteur donné.

Ainsi deux bipoints (A,B) et (C,D) sont équipollents si et seulement s'ils représentent le même vecteur et on peut alors écrire l'égalité

Tous les bipoints constitués de la répétition d'un même point : (A,A), sont équipollents entre eux, ils sont les représentants d'un vecteur qualifié de nul. Il est noté

.

Les théories présentant les vecteurs comme une classe d'équivalence de bipoints les notent en général par une lettre surmontée d'une flèche^[29].

Longueur et angle

La longueur d'un bipoint (A,B) est définie comme la longueur du segment sous-jacent. Deux bipoints équipollents ont la même longueur. Tous les représentants d'un vecteur ont donc la même longueur, qui est appelée norme du vecteur et notée en général (on utilise aussi parfois simplement la ou les lettres désignant le vecteur sans la flèche, par exemple u ou AB). Un vecteur unitaire est un vecteur de norme 1. Le vecteur nul est de norme nulle, .

L’angle que forment deux vecteurs et est noté . Il est défini comme l'angle que font deux représentants de même origine. Ainsi si (A, B) est un représentant de et (A,C) un représentant de , alors

Dans le plan orienté, il est possible de définir la notion d'angle orienté de deux vecteurs. Ce n'est pas le cas dans l'espace.

Opérations

Des constructions géométriques permettent la définition de l'addition et de la multiplication par un scalaire. Le nom donnée aux opérations est la conséquence de la similarité avec les opérations sur les nombres (commutativité, associativité et distributivité, présence d'un élément neutre et absorbant). Pour cette raison, non seulement les noms des opérations mais les notations sont similaires.

Si et sont deux vecteurs, soit un couple (A, B) de points représentant et C le point tel que le couple (B, C) représente le vecteur . Alors un représentant du vecteur est le couple (A, C). Si est le vecteur nul, alors les points B et C sont confondus, la somme est alors égale à et le vecteur nul est bien l'élément neutre pour l'addition des vecteurs. Soit α un nombre, si est le vecteur nul, alors α. est aussi le vecteur nul, sinon il existe une unique droite contenant A et B, et un unique point C tel que la distance entre A et C soit égale à et le sens de (A,B) si α est positif, relativement au sens de , et l'inverse sinon.

Une fois équipée d'une structure d'espace vectoriel, les démonstrations de la géométrie euclidienne s’avèrent souvent simplifiées. Un exemple est donné par le théorème de Thalès.

Critique de la formalisation géométrique

David Hilbert propose une construction axiomatique de la géométrie euclidienne rigoureuse.

Cette formalisation est la plus intuitive et la plus simple. Pour cette raison, elle est utilisée pour présenter les vecteurs dans l'enseignement secondaire en France^[30].

Néanmoins, une telle approche n'est rigoureuse que si le plan ou l'espace, qualifié d'affine, est défini de manière parfaite. La construction d'Euclide, si elle est didactique, est parcellaire. Il manque des axiomes pour une caractérisation complète. Il est possible de contourner cette difficulté en utilisant, par exemple la construction de Hilbert pour définir le plan ou l'espace. Elle se fonde sur vingt axiomes riches et subtils, à la place des cinq définis par Euclide. Une approche rigoureuse met en conséquence à mal la simplicité d'une présentation initiale.

Ce n'est pas l'unique faiblesse de la formalisation géométrique. Le développement des mathématiques a élargi considérablement les domaines d'utilisation des vecteurs. La dimension deux du plan ou trois de l'espace n'est plus une contrainte systématiquement respectée. Il n'est pas rare d'utiliser des espaces de dimension quelconque, parfois infinie. La généralisation à des dimensions supérieures n'est pas l'unique enrichissement. Les scalaires ne sont pas toujours des réels. Il existe certains cas où les complexes ou même un ensemble fini de nombres sont plus adaptés. Une construction par les bipoints n'est pas la plus simple pour définir un vecteur dans toute sa généralité.

Une autre construction comble cette lacune. Elle est fondée sur deux ensembles : l'un contenant les scalaires, l'autre les vecteurs. Le deuxième est appelé espace vectoriel. Ces deux ensembles sont munis d'opérations et des axiomes sont vérifiés pour chacune des opérations. Dans le cas du plan ou de l'espace euclidien, les deux approches sont équivalentes. En revanche, la construction algébrique se généralise plus facilement pour des dimensions et des scalaires quelconques. En contre partie, elle est moins intuitive et procède d'une démarche plus complexe. Elle est enseignée dans le supérieur en France^[31]. Cette construction différente pour formaliser le même concept de vecteur est traitée dans l'article consacré aux espaces vectoriels.

Approche algébrique

Coordonnées et vecteurs colonnes

Dans un plan, deux vecteurs et non nuls et de directions différentes possèdent une propriété importante. Un vecteur quelconque est somme d'un multiple de et . Cela signifie qu'il existe deux uniques nombres u₁ et u₂ tel que :

est alors qualifié de combinaison linéaire de et . Comme tout vecteur du plan s'exprime de manière unique comme combinaison linéaire de et , la famille (, ) est qualifiée de base du plan et u₁, u₂ sont appelés composantes ^[32] du vecteur dans cette base. Cette définition correspond à celle d'un plan affine muni d'un repère. Une telle propriété est encore vraie dans l'espace. Cependant, deux vecteurs ne suffisent plus, toute base contient exactement trois vecteurs non nuls et dont les directions ne sont pas coplanaires (c'est-à-dire qu'il n'existe aucun plan contenant les trois directions). Si dans l'espace, les trois composantes d'un vecteur sont u₁, u₂ et u₃, il est d'usage de noter :

pour indiquer les composantes du vecteur. Le tableau est appelé vecteur-colonne et correspond à un cas particulier de matrice. Les opérations algébriques sur les vecteurs sont simples, avec une telle représentation. Additionner deux vecteurs revient à additionner chacune des composantes et la multiplication par un scalaire revient à multiplier chaque composante par le scalaire.

Dans un plan vectoriel, un vecteur s'identifie à un couple de scalaires, et dans l'espace à un triplet. Si les nombres choisis sont réels alors un plan (respectivement un espace) s'identifie à R² (respectivement à R³). Ici, R désigne l'ensemble des nombres réels.

Ébauche d'une construction algébrique

La logique précédente, appliquée pour une dimension égale à deux ou trois se généralise. Il est ainsi possible de considérer la structure Rⁿ où de manière plus générale Kⁿ avec K un ensemble de scalaires possédant de bonnes propriétés (précisément, K est un corps commutatif). Une telle structure possède une addition, et une multiplication scalaire définies comme au paragraphe précédent.

Il est possible de généraliser encore la définition d'un vecteur. Si un ensemble E possède une addition et une multiplication scalaire sur un corps commutatif et si ses opérations vérifient certaines propriétés, appelées axiomes et décrites dans l'article détaillé, alors E est appelé espace vectoriel et un élément de E vecteur.

De très nombreux exemples d'ensembles mathématiquement intéressants possèdent une telle structure. C’est le cas par exemple des espaces de polynômes, de fonctions vérifiant certaines propriétés de régularité, de matrices... Tous ces ensembles peuvent alors être étudiés avec les outils du calcul vectoriel et de l'algèbre linéaire.

La notion de dimension fournit le premier résultat de classification concernant les espaces vectoriels. Dans un espace vectoriel de dimension finie n, il est possible, moyennant le choix d'une base, de se ramener au calcul sur des vecteurs colonnes de taille n. Il existe également des espaces vectoriels de dimension infinie. L'ensemble des fonctions de R dans R est ainsi un espace vectoriel sur le corps des nombres réels, de dimension infinie. Vue sous cet angle, une telle fonction est un vecteur.

Construction algébrique et géométrie

Si les deux constructions, algébrique et géométrique sont équivalentes pour les structures vectorielles du plan et de l'espace usuel, la géométrie apporte en plus les notions de distance et d'angle.

La notion de produit scalaire permet de combler cette lacune. Un produit scalaire associe à deux vecteurs un réel. Si les deux vecteurs sont identiques le réel est positif. Il existe un produit scalaire tel que la norme du vecteur soit égale à la racine carrée du produit scalaire du vecteur avec lui-même. La géométrie euclidienne apparait alors comme l'étude d'un espace affine comprenant un espace vectoriel de dimension deux ou trois sur le corps des réels, muni d'un produit scalaire : plan affine euclidien ou espace affine euclidien.

Une fois équipée d'un produit scalaire, il devient possible de définir sur l'espace vectoriel des transformations classiques de géométrie euclidienne comme la symétrie, la rotation ou la projection orthogonale. La transformation associée aux espaces vectoriels laisse toujours invariant le vecteur nul. Les rotations permettent de définir la notion d'angle pour les vecteurs. L'angle est égal à si et seulement s'il existe une rotation qui envoie sur et sur . Cette définition, qui s'applique à une formalisation algébrique de la notion d'espace vectoriel, est équivalente à celle de la construction géométrique. Une telle approche simplifie parfois grandement les démonstrations, un exemple est le théorème de Pythagore.

L'approche algébrique permet de définir toutes les notions de la géométrie euclidienne, elle généralise cette géométrie à une dimension quelconque si les nombres sont réels. Dans le cas des nombres complexes une construction analogue, appelée espace hermitien, existe.

Utilisations des vecteurs

Les exemples cités dans cet article sont relativement simples et didactiques. D'autres cas, plus généraux sont présentés dans les articles théorème spectral et algèbre linéaire.

Mathématiques

Représentation graphique d'un point dans le plan complexe. Les coordonnées cartésiennes correspondent à celle d'un point dans le repère de centre zéro et de base les nombres un et le nombre imaginaire pur.

Une vaste partie des mathématiques utilise les vecteurs, en algèbre, en géométrie ou en analyse.

Un exemple archétypal en algèbre est la résolution d'un système d'équations linéaires. Un exemple de trois équations à trois inconnues correspond à la recherche des vecteurs de dimension trois, antécédents d'une application linéaire d'un vecteur donné. Le plan euclidien peut aussi être représenté par le plan complexe. La base canonique est composée de deux vecteurs l'unité des réels et le nombre imaginaire pur.

Les vecteurs offrent un outil efficace pour la résolution de nombreux problèmes de géométrie. Ils sont utilisés pour la détermination de propriétés de parallélisme ou d'orthogonalité de droites, plan ou segments. À travers l'utilisation des coordonnées barycentriques, les vecteurs forment un outil adapté pour caractériser le centre d'une figure géométrique et permettent une démonstration simple du théorème de Leibniz, du théorème de Ceva comme de nombreux résultats sur la géométrie du triangles. Le produit scalaire, qui s'exprime particulièrement simplement dans une base orthonormée, offre de nombreuses possibilités. Il permet, par exemple, de mesurer la distance d'un point à une droite ou à un plan. Une telle base permet d'exprimer aussi simplement des transformations géométriques comme la projection orthogonale sur un plan ou une droite.

L'analyse n'est pas en reste. L'espace vectoriel R ², copie du plan euclidien est le cadre naturel de représentation du graphe d'une fonction. Les vecteurs permettent par exemple de déterminer la droite perpendiculaire à une courbe en vue de déterminer les foyers d'une conique. La représentation graphique offre une solution pour déterminer une approximation d'une racine d'une équation dans le cas où une résolution par une méthode algébrique n'est pas connue^[33].

Physique

La trajectoire des planètes se modélise dans un langage vectoriel. Les travaux d'Isaac Newton sur cette question sont à l'origine du mot vecteur.

En présence d'un champ magnétique, des petites boussoles s'orientent, indiquant la direction et le sens des vecteurs du champ.

La physique est à l'origine du terme de vecteur, elle utilise toujours largement ce concept. La raison historique provient du fait qu'en physique classique l'espace qui nous entoure est bien modélisé comme espace affine (géométrie euclidienne) de dimension trois avec le temps (absolu) comme paramètre d'évolution. En physique, une addition de vecteurs ne peut avoir de sens que si leurs coordonnées respectives ont la même dimension.

La position d'un point est décrite par des coordonnées dans un repère, mais sa vitesse et son accélération sont des vecteurs. Pour établir la mécanique du point, c'est-à-dire l'étude des mouvements d'un point matériel, les vecteurs sont indispensables. La position d'un point se modélise par ses trois coordonnées (qui sont des nombres réels) dont chacune est une fonction du temps ; on peut aussi la décrire par le vecteur position allant de l'origine du repère au point : les composantes du vecteur sont alors identifiables aux coordonnées du point. Le vecteur vitesse est égal à la dérivée du vecteur position (c'est-à-dire : les composantes du vecteur vitesse sont les dérivées de celles du vecteur position), et c'est encore un vecteur. Il en est de même pour l'accélération, correspondant à la dérivée seconde.

Dans un référentiel galiléen, l'accélération d'un point est proportionnelle à la force qui lui est appliquée. Une force est équivalente à un vecteur. La trajectoire d'une planète est connue par la force qui lui est appliquée à chaque instant. Cette force est la conséquence de la gravitation, essentiellement due au Soleil. Ce phénomène est décrit par la donnée du champ gravitationnel. Ce champ associe un vecteur proportionnel à la force de la gravitation à chaque point de l'espace.

Cette modélisation s'accommode plus difficilement de la relativité restreinte du fait que les changements de référentiels n'y dépendent pas linéairement de la vitesse, et elle ne concerne pas la relativité générale qui n'utilise pas d'espace euclidien (sauf pour des approximations). En physique quantique les coordonnées ne peuvent être celles d'une particule qu'en tenant compte du principe d'incertitude, et les forces sont dues à des échanges de particules.

Généralisations

Mathématiques

Les applications linéaires sont des fonctions d'un espace vectoriel dans un autre et respectant l'addition et la multiplication externe. Elles s'additionnent et se multiplient scalairement, et disposent donc des propriétés qui font d'elles des vecteurs. Il en est de même pour les matrices. Une matrice possède toujours les propriétés d'un vecteur, même si elle n'est pas de type colonne.

Les deux exemples précédents correspondent à des cas où la structure est enrichie par une multiplication interne. Elle porte le nom d'algèbre, ses éléments sont appelés souvent vecteurs et parfois points. Des exemples sont données par l'ensemble des polynômes à coefficients réels ou encore une algèbre de Lie.

Dans d'autres cas, la structure est appauvrie. Un module est une structure analogue tel que les scalaires différents de zéro ne sont plus toujours inversibles. Le terme de vecteur est néanmoins toujours utilisé.

Physique

Selon le point d'application des forces, le solide bascule ou non. L'objet mathématique associé est un vecteur glissant.

Les lois établissant les mouvements d'un point s'applique aussi dans le cas d'un solide, les calculs deviennent néanmoins plus complexes. Si les vecteurs restent omniprésents, le point d'application de la force possède son importance. Selon sa position, le solide tourne en plus du déplacement de son centre de gravité. Pour tenir compte de ce phénomène, de nouvelles définitions sont proposées. Un vecteur lié ou pointeur est un couple composé d'un vecteur et d'un point appelé point d'application. La rotation du solide est la conséquence d'une grandeur physique appelé moment. Elle ne dépend pas de la position du vecteur sur une droite donnée. Pour cette raison, un vecteur glissant est un couple composé d'un vecteur et d'une droite affine. Dans ce contexte, et pour éviter toute ambigüité, un vecteur au sens classique du terme est appelé vecteur libre^[34].

Pour tenir compte à la fois de la rotation et du mouvement du centre de gravité, un être mathématique plus complexe est utilisé. Il porte le nom de torseur^[35]. Il correspond à un vecteur de dimension six, trois composantes décrivent le déplacement du centre de gravité et les trois autres la rotation du solide. Les torseurs possèdent en plus une loi de composition spécifique. La physique utilise d'autres généralisations, on peut citer le tenseur ou le pseudovecteur.

Informatique

Image vectorielle	Image matricielle

L'informatique utilise le terme de vecteur, à la fois pour des raisons géométriques et algébriques. Le codage d'une image sur un écran d'ordinateur utilise au choix deux techniques : matricielle et vectorielle. La première utilise des éléments graphiques définis points par point. À chaque pixel est associé la quantité de couleurs primaires associée. Si cette méthode est économique en termes de puissance de calcul et de mémoire, un agrandissement de la taille de l'image possède pour conséquence un effet d'escalier.

Un dessin vectoriel est une représentation composée d'objets géométriques (lignes, points, polygones, courbes…) ayant des attributs de forme, de position, de couleur, etc. À la différence de la technique précédente, il s'agit d'une méthode plus coûteuse en termes de puissance de calcul et de mémoire mais dans laquelle l'effet d'escalier n'existe pas^[36].

La représentation des données en informatique, pour les fonctions de mémoire ou de calcul, se fonde sur des tableaux d'octets. Si un octet est identifié à un scalaire, ce qui se conçoit car deux octets s'additionnent et se multiplient, alors un tel tableau s'apparente à une famille de composantes vectorielles. Pour cette raison, un tel tableau est appelé vecteur. Par extension, le terme de vecteur désigne aussi des tableaux dont les composantes sont autre chose que des nombres, par exemple des pointeurs ou des structures informatiques quelconques^[37].

Notes et références

Notes

Voir aussi

Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs	Colinéarité • Indépendance linéaire • Famille libre • Rang • Famille génératrice • Base • Théorème de la base incomplète
Sous-espace	Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension d'un espace vectoriel • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie	Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford
Enrichissements de structure	Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

Articles connexes

• Espace vectoriel

Liens externes

• (en) Premières utilisations connues des termes mathématiques par J. Miller
• (en) Abstract linear spaces Par l'Université de St Andrew

Références

Références historiques

• R. Mankiewicz, L’histoire des mathématiques Seuil 2001 (ISBN 2-02048-3068)
  Cet ouvrage est généraliste et traite la période hellénistique et en particulier Euclide.
• K. Chemla G. Shuchun, Les neuf chapitres: le classique mathématique de la Chine ancienne et ses commentaires, Paris, Dunod, 2004 (ISBN 2-10049-5895)
  Ce livre contient une traduction française avec des addenda détaillés et une édition commentée du texte chinois du livre et de son commentaire.
• (en) J.V. Field The Invention of Infinity: Mathematics and Art in the Renaissance Oxford University Press 1997 (ISBN 0198523947)
  Ce texte montre comment les artistes de la renaissance produisent des mathématiques qui, non seulement révolutionne leur métier mais contribuent aussi aux mathématiques pures.

Ouvrages de vulgarisation

• F. Casiro, A. Deledicq Pythagore et Thalès Les éditions du Kangourou 1998 (ISBN 2-87694-040-X)
  Ce texte est un ouvrage didactique sur les bases de la géométrie avec quelques éléments relatifs à l'histoire.
• R. Pouzergues Les Hexamys IREM de Nice IremOuvrage 1993 Cote : IM8974 Lire
  Ce petit livre de 89 pages présente la géométrie projective. Il est disponible sur le net.
• D. Lehmann et R. Bkouche Initiation à la géométrie PUF 1988, (ISBN 2130401600)
  Ce livre de géométrie commence simplement. Il couvre ensuite l'utilisation d'outils plus sophistiqués comme les formes quadratiques. Il contient un Appendice historique.

Ouvrages techniques

• Y. Sortais La Géométrie du triangle. Exercices résolus Hermann 1997, (ISBN 270561429X)
  Ce livre s'adresse essentiellement aux élèves de la seconde à la terminale, ainsi qu'à leur professeur. Il propose des exercices sur le théorème de Thalès, la projection orthogonale, l'homothétie, la symétrie et la rotation, le calcul barycentrique, le produit scalaire, ou encore la notion d'angle.

• Y. Ladegaillerie Géométrie pour le CAPES de mathématiques Ellipses Marketing 2002 (ISBN 2729811486)
  Ce livre traite de géométrie élémentaire au programme du CAPES. Il contient plus de 600 figures géométriques et couvre la géométrie affine euclidienne ainsi que l'algèbre linéaire élémentaire.

• J. Perez Mécanique physique Masson 2007 (ISBN 2225553416)
  Ce livre est un cours de physique a l'usage de la licence, il couvre les notions de torseur, vecteur lié, glissant et libre.

• M. B. Karbo Le graphisme et l'internet Compétence micro N° 26 2002 (ISBN 2912954959)
  Ce livre traite à la fois des aspects pratiques comme la force et la faiblesse des différentes techniques, des différents logiciels et formats disponibles sur les marché et des aspects théoriques

• H. Abelson, G.J. Sussman, J.Sussman Structure and Interpretation of Computer Programs 2nd Edition MIT Press (ISBN 0262011530)
  Cet livre est disponible sur le Web. Il traite des aspects théoriques de la programmation et des structures vectorielles de stockage des informations

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