Espace hermitien

Charles Hermite en 1887

En mathématiques, un espace hermitien est un espace vectoriel sur le corps commutatif des complexes de dimension finie et muni d'un produit scalaire. La géométrie d'un tel espace est analogue à celle d'un espace euclidien. De nombreuses propriétés sont communes aux deux structures.

Ainsi les majorations caractéristiques comme l'inégalité de Cauchy-Schwarz et l'inégalité triangulaire sont toujours valables, l'existence de bases particulières, dites orthonormales, est assurée et la relation canonique entre l'espace et son dual est de même nature que celle de la configuration euclidienne.

Le caractère algébriquement clos du corps sous-jacent rend la diagonalisation des endomorphismes compatibles avec le produit scalaire plus générale. Le terme compatible signifie ici normal, c'est-à-dire commutant avec son adjoint.

Enfin, un espace hermitien de dimension n est aussi un espace euclidien de dimension 2n, en conséquence les propriétés topologiques sont exactement les mêmes.

Cette structure doit son nom au mathématicien français Charles Hermite (1822 - 1901).

Définition et premières propriétés

Définitions

Article détaillé : Forme sesquilinéaire complexe.

L'objectif est de généraliser la structure d'espace euclidien aux nombres complexes, qui offre l'avantage d'être un corps algébriquement clos. En contrepartie, il n'existe plus de relation d'ordre compatible avec les opérations du corps, et le carré d'un complexe est parfois négatif. Pour pallier cette difficulté, le produit scalaire n'est plus une forme bilinéaire mais une forme hermitienne.

Une forme hermitienne est une application définie sur E×E à valeur dans ℂ notée $\scriptstyle\langle .,.\rangle$ , telle que :

pour tout y fixé l'application $x \mapsto \langle x,y\rangle$ est ℂ-linéaire et
$\forall x,y \in E,\langle x,y\rangle=\overline{ \langle y,x\rangle}$ .

En particulier, $\langle x,x\rangle$ est réel, et $x\mapsto \langle x,x\rangle$ est une forme quadratique sur E vu comme ℝ-espace vectoriel.

Notons aussi qu'une forme hermitienne avec cette définition est sesquilinéaire à droite.

Ce qui amène les définitions suivantes :

Définition — Un produit scalaire sur un espace vectoriel complexe est une forme hermitienne telle que la forme quadratique réelle $x\mapsto \langle x,x\rangle$ soit définie positive.

Dans ces conditions, la partie réelle de $\langle x,y\rangle$ est un produit scalaire euclidien pour la structure d'espace vectoriel réel obtenu par restriction, et la partie imaginaire une forme bilinéaire alternée de rang maximum, autrement dit une forme symplectique.

Le terme produit hermitien est synonyme de produit scalaire sur un espace vectoriel complexe.

Définition — Un espace hermitien est un espace vectoriel complexe de dimension finie et muni d'un produit scalaire.

La donnée du produit scalaire permet de définir une norme et une distance :

Définition — L'application qui à un vecteur x associe la racine carrée du produit scalaire de x par lui-même, est une norme appelée norme hermitienne ; la distance associée, qui à deux vecteurs associe la norme de leur différence, est appelée distance hermitienne.

Dans toute la suite de l'article E désigne un espace vectoriel complexe de dimension n, C le corps des nombres complexes, $\scriptstyle \langle .,.\rangle$ un produit scalaire, choisi linéaire par rapport à la première variable et semi-linéaire par rapport à la seconde. La norme est notée $\scriptstyle {\|.\|}$ .

Exemples

L'espace vectoriel Cⁿ, muni du produit scalaire canonique

$\langle (x_1,x_2,\cdots,x_n) , (y_1,y_2,\cdots,y_n) \rangle = x_1\bar y_1 + x_2\bar y_2 + \cdots + x_n\bar y_n = \sum_{i=1}^n x_i\bar y_i$

est un espace hermitien appelé espace hermitien canonique de dimension n.

L'espace vectoriel des polynômes complexes de degré inférieur ou égal à n,

muni du produit scalaire canonique :

$\left\langle\sum_{i=0}^{n}a_iX^i , \sum_{i=0}^{n}b_iX^i\right\rangle = \sum_{i=0}^{n}a_i\bar b_i$

est un espace hermitien de dimension n + 1.

muni du produit scalaire :

$\langle P , Q\rangle = \int_0^1P(t)\overline {Q(t)}\ {\rm d}t$

est aussi un espace hermitien dont la norme et la distance associées sont différentes de la précédente. Ce produit scalaire est plus généralement défini sur l'espace des polynômes complexes, sans condition de degré (espace de dimension infinie).

muni du produit scalaire :

$\langle P , Q\rangle = \sum_{i = 0}^n P(x_i)\overline {Q(x_i)}$

(où x₀, ... x_n sont n + 1 complexes distincts) est aussi un espace hermitien dont la norme et la distance associées sont différentes des précédentes.

Inégalités et identités

A l'image de la situation réelle, les deux majorations classiques sont toujours vérifiées. Si x et y désignent deux vecteurs de E :

L'inégalité de Cauchy-Schwarz : $|\langle x,y\rangle|\le\|x\|.\|y\|$
L'inégalité triangulaire : $\|x+y\| \le \|x\| + \|y\|\,$

Cette dernière montre que le troisième axiome de la définition d'une norme, dit de sous-additivité est vérifié. Les deux autres (séparation et homogénéité) le sont de manière évidente.

Si R(λ) désigne la partie réelle du nombre complexe λ, le développement du carré de la norme d'une somme : $\|x+y\|^2 =\|x\|^2 + \|y\|^2 + 2 \mathfrak R \Big(\langle x,y\rangle\Big)$

permet d'établir le théorème de Pythagore : si x et y sont orthogonaux, alors $\|x+y\|^2 =\|x\|^2 + \|y\|^2$

A la différence de la situation euclidienne, la réciproque n'est plus vraie, en effet le carré de la norme somme de deux vecteurs est égal à la somme des carrés des normes si et seulement si la partie réelle du produit scalaire des deux vecteurs est nulle.

Le développement du carré de la norme de la somme de deux vecteurs montre la règle du parallélogramme : $\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2 \|y\|^2$

Ainsi que l'identité polaire : $\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 = 2\langle x,y\rangle + 2\langle y,x\rangle$
Elle prend aussi la forme suivante, appelée identité de polarisation : $\langle x,y\rangle=\frac14(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 + i\|x+iy\|^2 - i\|x-iy\|^2)$

Propriétés

Base orthonormale

Articles détaillés : Espace euclidien et Base orthonormale.

La situation est exactement la même que celle d'un espace euclidien. Ainsi, toute famille de vecteurs non nuls et orthogonaux deux à deux est libre. Une fois encore, si deux vecteurs x et y sont libres, alors les vecteurs x et y - <y , x>/<x , x> x sont non nuls et orthogonaux. Le procédé de Gram-Schmidt assure l'existence d'une base orthonormale.

Dans une base orthonormale la norme et le produit scalaire s'expriment facilement en fonction des coordonnées. Soit (e₁, ..., e_n) une base orthonormale notée B, x et y deux vecteurs quelconques de E de coordonnées (x₁, ..., x_n) et (y₁, ..., y_n) dans la base B. Les expressions suivantes fournissent la norme et le produit scalaire :

$\| x\| = \sqrt {\sum_{i=1}^n x_i\bar x_i} \quad \text{et} \quad \langle x \, , \, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i.\bar y_i$

En particulier, tout espace vectoriel hermitien de dimension n est isomorphe à Cⁿ, c'est-à-dire qu'il existe une application linéaire bijective de E dans Cⁿ, respectant les deux produits scalaires.

Dans une base orthonormale, les coordonnées d'un vecteur sont appelés coefficients de Fourier, ils prennent la forme suivante :

$x = \sum_{i=1}^n \langle x,e_i\rangle e_i$

Si une famille (f₁, ..., f_p) est orthonormale, la majoration suivante, dite inégalité de Bessel est vérifiée :

$\sum_{i=1}^p |\langle x,f_i\rangle |^2\le \|x\|^2$

L'égalité n'est obtenue que si x est une combinaison linéaire de la famille (f_i).

Dual, adjoint et produit tensoriel

Rappelons que dans cet article une forme hermitienne est une forme sesquilinéaire à droite et à symétrie hermitienne.

La configuration est encore une fois analogue à celle des espaces euclidiens. Le produit scalaire fournit une application canonique φ de E dans son dual E^* :

$\forall x, y \in E \quad \varphi_x : E \rightarrow \mathbb C \quad y\mapsto \varphi_x(y) = \langle y,x\rangle$

L'ordre est ici inversé par rapport à la convention choisie dans l'article sur l'espace euclidien. En effet, φ_x serait semi-linéaire dans le cas contraire, et on obtiendrait une bijection linéaire de E dans son antidual (espace vectoriel des formes semi-linéaires).

Avec l'ordre choisi, on a une bijection semi-linéaire de E dans son dual E^*.

Il est possible de construire de manière analogue deux bijections ψ₁ et ψ₂, de l'ensemble L(E) des endomorphismes de E dans l'espace $L_{3\over2}(E)$ des formes sesquilinéaires à droite :

$\forall a \in \mathcal L(E),\; \forall x, y \in E \quad \begin{cases} \psi_1(a) : E\times E \rightarrow \mathbb C \quad (x,y)\rightarrow \psi_1(a)(x,y) = \langle a(x),y\rangle \\ \psi_2(a) : E\times E \rightarrow \mathbb C \quad (x,y)\rightarrow \psi_2(a)(x,y) = \langle x,a(y)\rangle \end{cases}$

ψ₁ est linéaire et ψ₂ est semi-linéaire, donc la bijection composée de ψ₁ avec l'inverse de ψ₂ est semi-linéaire. À un endomorphisme a elle associe l'endomorphisme a^* appelée adjoint et défini par l'égalité suivante :

$\forall x, y \in E \quad \langle a(x),y\rangle =\langle x,a^*(y)\rangle$

Cette application semi-linéaire ( $L(E)\to L(E)\,\quad a\mapsto a^*$ ) est non seulement bijective (un semi-isomorphisme) mais involutive ( $\displaystyle (a^*)^*=a$ ), de valeurs propres 1 et -1 (une application semi-linéaire est $\mathbb{R}$ -linéaire, ce qui permet de parler de valeurs propres).

Les endomorphismes éléments de l'espace propre de valeur 1 sont appelés hermitiens ou autoadjoints et ceux de la valeur propre -1 antihermitiens (ou antiautoadjoints).

En écrivant a sous la forme

$a=\frac{a+a^*}{2}+ \frac{a-a^*}{2}$

on voit que tout endomorphisme s'écrit (d'une façon unique) comme somme d'un endomorphisme hermitien et d'un endomorphisme antihermitien.

Le produit scalaire hermitien de $\mathcal{L}(E)$ se définit de façon analogue au cas euclidien. On pose

$<a,b> = \mathrm{Tr}(a\circ b^*)$

Pour le produit scalaire euclidien associé, défini dans le paragraphe qui suit, les sous-espaces des endomorphismes hermitiens et antihermitiens sont orthogonaux.

Les démonstrations sont données dans l'article Espace Euclidien.

Exemples

On a $(i a) * = - i a *$ . Si a est hermitien, ia est antihermitien.
Si $A = (A) i j$ est la matrice de a par rapport à une base unitaire, celle de l'adjoint est $(A^*)_{ij}=\overline{ A_{ji}}$ .
Avec les mêmes conventions,

$<a,a>=\sum_{i,j=1}^n\vert(A)_{ij}\vert^2$

Espace euclidien, espace hermitien

Un espace hermitien E est aussi un espace vectoriel réel, si la multiplication externe est restreinte aux nombres réels. Dans ce paragraphe E_R désigne l'espace vectoriel réel associé. Plus précisément si B = (e₁, ...,e_n) est une base de E et si i désigne l'unité imaginaire, alors B_R = (e₁, ...,e_n, i.e₁, ...,i.e_n) est une base de E_R, qui est de dimension 2.n.

L'espace E_R est naturellement muni d'un produit scalaire <.,.>_R, il correspond à la partie réelle du produit scalaire de E.

$\forall x,y \in E \quad \langle x,y\rangle_{\mathbb R}=\mathfrak R{\langle x,y\rangle}$

De plus, si la base B est orthonormale, alors B_R est aussi orthonormale. Si F_R est l'espace vectoriel réel engendré par B, F_R et i.F_R sont deux sous-espaces supplémentaires.

Réciproquement, soit F un espace euclidien de dimension n et de base orthonormale (f₁, ...,f_n), il est possible de plonger F dans un espace hermitien F_C de dimension n. Une technique simple consiste à utiliser le produit tensoriel. Soit F_C = C $\scriptstyle \otimes$ F l'espace vectoriel réel des formes bilinéaire de CxF. Ici C l'ensemble des nombres complexes est considéré comme un espace vectoriel réel de dimension deux. Un élément de cet espace associe à tout couple de complexe et de vecteur un réel :

$\forall \varphi \in \mathbb C\otimes F \quad :\; \forall \lambda \in \mathbb C,\; \forall x \in F \quad (\lambda,x)\rightarrow \varphi(\lambda,x) \in \mathbb R$

Il existe une application bilinéaire canonique de CxF dans C $\scriptstyle \otimes$ F. A tout couple (λ, x) elle associe l'application λ $\scriptstyle \otimes$ x définie par :

$\forall \mu \in \mathbb C,\; \forall y \in F \quad \lambda\otimes x (\mu,y) = \lambda\cdot \mu \cdot \langle x,y\rangle_F$

Dans ce cas particulier, cette application est surjective, ce qui n'est pas toujours le cas avec les produits tensoriels . La multiplication externe par un complexe se définit naturellement :

$\forall \mu \in \mathbb C \quad \mu\cdot (\lambda\otimes x) = (\mu\lambda)\otimes x$

Cette multiplication confère à F_C le statut d'espace vectoriel complexe. La famille B_C = (1 $\scriptstyle \otimes$ f₁, ..., 1 $\scriptstyle \otimes$ f_n) est une base de F_C. Il est fréquent d'identifier les vecteurs f_i et 1 $\scriptstyle \otimes$ f_i. L'espace vectoriel C est équipé d'un produit scalaire hermitien naturel, F d'un produit scalaire euclidien, donc hermitien. Le produit tensoriel des deux produits scalaires est hermitien. Il est défini par :

$\forall \lambda\otimes x, \mu\otimes y \in F_{\mathbb C} \quad \langle \lambda\otimes x,\mu\otimes y\rangle_{F_{\mathbb C}} = \lambda . \bar \mu \cdot \langle x,y\rangle_F$

La base B_C ainsi que l'image de toute base orthonormale par l'application de F dans F_C qui à x associe 1 $\scriptstyle \otimes$ x est une base orthonormale de F_C^[1]. Une fois encore on remarque que la technique utilisée ne fait pas appel au caractère fini de l'espace vectoriel, à l'exception des résultats sur le cardinal des bases et du calcul du produit scalaire des endomorphismes à l'aide de la trace.

Identité de polarisation

Article détaillé : Identité de polarisation.

La situation est ici encore analogue à celle des espaces euclidiens. Ainsi la norme d'un produit scalaire le caractérise. Ce résultat est la conséquence de l'identité polarisation. Réciproquement une norme N satisfaisant la règle du parallélogramme est issue d'un produit scalaire. Ce résultat n'est pas uniquement vrai en dimension finie.

La démonstration est donnée dans l'article détaillé.

Références

Notes

↑ La méthode exposée ici est souvent employée lorsque l'auteur d'un ouvrage souhaite être formellement rigoureux. Une formalisation orientée vers la physique est donnée dans C. Semay B. Silvestre-Brac Introduction au calcul tensoriel, application à la physique Dunod 2007 (ISBN 978-2-10-050552-4)

Liens externes

(fr) Produit scalaire sur Cⁿ Par V. Hussin et A. Stancu de l'université de Montréal
(fr) Espaces hermitiens par les mathématiques.net C.Antonini, J.F. Quint, P. Borgnat, J. Bérard, E. Lebeau, E. Souche, A. Chateau, O. Teytaud 2001

Références

Serge Lang, Algèbre [détail des éditions]

Portail des mathématiques

Catégorie :

Algèbre bilinéaire

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