- Grandeur sans dimension
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En physique, une grandeur sans dimension (ou grandeur adimensionnelle) est une quantité permettant de décrire une caractéristique physique sans dimension ni unité explicite d'expression. Elle est constituée du produit ou rapport de grandeurs à dimensions, de telle façon que le rapport des unités équivaut à un. L'analyse dimensionnelle permet de définir ces grandeurs sans dimension. L'unité SI dérivée associée est le nombre 1[1]. On trouve parmi ces grandeurs l'indice de réfraction ou la densité par exemple.
Ces grandeurs sans dimension interviennent particulièrement en mécanique des fluides et pour la description de phénomène de transfert lorsqu'on utilise la similitude de modèles réduits ou théorie des maquettes et construit l'interprétation des résultats d'essais. Elles portent le nom de nombres sans dimension, nombres adimensionnels, ou encore de nombres caractéristiques.
Sommaire
Des nombres caractéristiques utiles
Le domaine d'application par excellence des nombres adimensionnels est la mécanique des fluides. Il existe des centaines de nombres dont une grande partie réservée à des sujets très spécialisés[2],[3],[4],[5]. Une liste non-exhaustive est donnée ci-après des nombres adimensionnels les plus courants.
Liste commune
Liste des nombres adimensionnels Nom Symbole Domaines d'utilisation Type de rapport Nombre d'Abbe V Optique angle de réfraction/angle de dispersion Nombre d'absorption Ab Transfert de masse temps d'exposition/temps d'absorption Nombre d'accélération Ac Mécanique des fluides force d'accélération/force de gravité Nombre d'Alfven Al Magnétohydrodynamique vitesse du fluide/vitesse de l'onde d'Alfven Nombre d'Archimède Ar Mécanique des fluides force de gravité*force d'inertie/force visqueuse2 Nombre d'Arrhénius γ Cinétique chimique énergie d'activation/énergie potentielle Nombre d'Atwood At Mécanique des fluides différence de densités/somme de densité Nombre de Bagnold Ba Rhéologie énergie dissipée par frottement visqueux/énergie dissipée par choc Nombre de Bansen Ba Transfert thermique énergie transférée par radiation/capacité thermique du fluide Nombre de Bejan Be Mécanique des fluides, transfert thermique, thermodynamique entropie générée par transfert de chaleur /entropie totale générée Nombre de Bingham Bm Rhéologie limite d'élasticité/force visqueuse Nombre de Biot Bi Transfert thermique, de masse transfert à la surface du corps/transfert dans un corps Nombre de Blake Bl Mécanique des fluides force d'inertie/force visqueuse (nombre de Reynolds pour lit de particule) Nombre de Bodenstein Bo Transfert de masse, mécanique des fluides transfert de masse convectif/transfert de masse par dispersion Nombre de Boltzmann Bo Transfert thermique Equivalent au nombre de Thring Nombre de Bond Bo Mécanique des fluides Equivalent au nombre d'Eötvös Nombre de Bouguer Bg Transfert thermique transfert de chaleur par radiation dans un gaz chargé de poussières Nombre de Boussinesq Bq Mécanique des fluides force d'inertie/force de gravité Nombre de Brinkman Br Transfert thermique, rhéologie chaleur produite par dissipation des forces visqueuses dissipée/chaleur transférée par conduction Nombre de Bulygin Bu Transfert thermique énergie utilisée pour évaporer le liquide/énergie utilisée amener le liquide à ébullition Nombre capillaire Ca Mécanique des fluides force visqueuse/tension superficielle Nombre de capillarité Cap Mécanique des fluides force capillaire/force de filtration Nombre de Carnot Ca Energie Efficacité du cycle de Carnot Nombre de Cauchy Ca Rhéologie force d'inertie/force élastique Nombre de cavitation σc Mécanique des fluides différence de pression/pression dynamique Nombre de Clausius Cl Transfert thermique énergie cinétique/transfert thermique par conduction Facteur J de Colburn jH, jM Transfert thermique, de masse, de moment Nombre de condensation Co Transfert thermique force visqueuse/force de gravité Nombre de Courant Co Mathématiques, informatique Nombre de Cowling Co Magnétohydrodynamique vitesse de l'onde d'Alfven/vitesse du fluide Nombre de Crocco Cr Mécanique des fluides vitesse d'un gaz/vitesse maximale d'un gaz détendu à 0 K isentropiquement Nombre de Damköhler Da Cinétique chimique vitesse de réaction chimique/vitesse de transfert des réactifs Nombre de Dean D Mécanique des fluides force d'inertie/force visqueuse (nombre de Reynolds pour tube courbe) Densité d Physique, chimie, biologie masse volumique du corps/masse volumique du corps de référence (Pression et Température identiques pour des corps gazeux) Nombre de Deborah De Rhéologie temps de relaxation d'un corps/temps de l'expérience Nombre de Debye Dy Mesure longueur de Debye/diamètre de la sonde de mesure Nombre de Deryagin De Mécanique de fluides épaisseur du film/longueur capillaire Nombre de Dufour Du2 Transfert thermique Chaleur transférée par diffusion/Chaleur transférée par convection (lorsque transfert par diffusion et par conduction sont égaux) Nombre de Dulong Du Mécanique des fluides Equivalent au nombre d'Eckert Nombre d'Eckert Ec Mécanique des fluides énergie cinétique/enthalpie du fluide Nombre d'Einstein Ei Magnétohydrodynamique Equivalent au nombre de Lorentz Nombre d'Ekman Ek Mécanique des fluides force visqueuse/force de Coriolis Nombre d'Ellis El Mécanique des fluides Nombre d'Elsasser El, Λ Magnétohydrodynamique force de Lorentz/force de Coriolis Nombre d'Eötvös Eo Mécanique des fluides force de gravité/tension superficielle Nombre d'Ericksen Er Rhéologie Nombre d'Euler (physique) Eu Mécanique des fluides force de pression/force d'inertie Nombre d'évaporation E Transfert thermique Nombre d'explosion E Explosion Nombre de Fedorov Fe Mécanique des fluides flux de particules/flux gaz porteur (lit fluidisé) Nombre de Fliegner Fn Mécanique des fluides Nombre de Fourier Fo Transfert thermique, de masse transfert thermique par conduction/accumulation d'énergie Nombre de Fresnel F Optique Nombre de Froude Fr Mécanique des fluides force d'inertie/force de gravité Nombre de Früh Mécanique des fluides Nombre de Galilée Ga Mécanique des fluides force de gravité/force visqueuse Nombre de Gay-Lussac Gc Transfert thermique différence de température/coefficient d'augmentation de pression isochore Nombre de Goucher Go Mécanique des fluides (force de gravité/tension superficielle)0.5 Nombre de Graetz Gz Transfert thermique capacité thermique du fluide/chaleur transférée par conduction Nombre de Grashof Gr Mécanique des fluides force d'inertie*poussée d'Archimède/force visqueuse2 Nombre de Gukhman Gu Transfert thermique critère pour transfert thermique convectif par évaporation Nombre de Hagen Ha Mécanique des fluides Nombre de Hartmann Ha Magnétohydrodynamique force de Laplace/force visqueuse Nombre de Hatta Ha Cinétique chimique vitesse de réaction chimique sans transfert de masse/transfert de masse Nombre de Hedström He Rhéologie limite de plasticité*force d'inertie/force visqueuse2 Nombre de Helmholtz He Acoustique longueur caractéristique/longueur d'onde Nombre de Hersey Hs Tribologie force de charge/force visqueuse Nombre de Hodgson Ho Mesure constante de temps du système/période de pulsation Nombre de Hooke Ho Rhéologie Equivalent au nombre de Cauchy Nombre de Jakob Ja Transfert thermique chaleur latente/chaleur sensible (vaporisation) Nombre de Jakob Ja Transfert thermique chaleur sensible/chaleur latente (vaporisation) Nombre de Jeffreys Je Mécanique des fluides, géophysique force de gravité/force visqueuse Nombre de Joule Jo Magnétisme énergie thermique par effet Joule/énergie du champ magnétique Nombre de Karlovitz Ka Mécanique des fluides temps chimique/temps de Kolmogorov Nombre de Karman Ka Mécanique des fluides, magnétohydrodynamique Mesure de la turbulence dans un flux Nombre de Keulegan-Carpenter KC Mécanique des fluides Nombre de Kirpichev Ki Transfert thermique, de masse transfert en surface/ transfert dans le solide Nombre de Kirpitcheff Kir Mécanique des fluides flux en présence de corps immergés Nombre de Knudsen Kn Mécanique des fluides distance libre/longueur caractéristique Nombre de Kossovitch Ko Transfert thermique énergie d'évaporation/énergie de chauffer le solide mouillé Nombre de Kronig Kr Transfert thermique force électrostatique/force visqueuse Nombre de Kutateladze Ku Transfert thermique, arc électrique Nombre de Lagrange La Mécanique des fluides force de pression/force visqueuse Nombre de Laplace La Mécanique des fluides tension superficielle et forces d'inertie/forces visqueuse (cf. nombre d'Ohnesorge) Nombre de Laval La Mécanique des fluides vitesse linéaire/vitesse du son critique Nombre de Leroux Ler Mécanique des fluides Equivalent au nombre de cavitation Nombre de Leverett J Mécanique des fluides longueur caractéristique d'une courbe/dimension caractéristique d'un pore Nombre de Lewis Le Transfert de masse et thermique diffusivité massique/diffusivité thermique Nombre de Lorentz Lo Magnétohydrodynamique vitesse/vitesse de la lumière Nombre de Luikov Lu Transfert thermique et de masse diffusivité massique/diffusivité thermique (dans solide poreux) Nombre de Lukomskii Lu Transfert thermique et de masse Nombre de Lundquist Lu Magnétohydrodynamique vitesse d'Alfvén/vitesse de diffusion résistive Nombre de Lyashchenko Ly Mécanique des fluides (force d'inertie)/(force visqueuse*force de gravité) Nombre de Lykoudis Ly Magnétohydrodynamique Nombre de Mach Ma Mécanique des fluides vitesse du fluide/vitesse du son Nombre de Marangoni Mg Transfert thermique, mécanique des fluides Nombre de Margoulis Ms Transfert thermique, transfert de masse Equivalent au nombre de Stanton Nombre de Margulis Mr Transfert thermique, transfert de masse Equivalent au nombre de Stanton Nombre de Merkel Me Transfert de masse masse d'eau transférée par unité de différence d'humidité/masse de gaz sec Nombre de Miniovich Mn Porosité taille des pores/porosité Nombre de Mondt Mo Transfert thermique chaleur transférée par convection/chaleur transférée par conduction longitudinale dans surface d'échange Nombre de Morton Mo Mécanique des fluides Nombre de Nahme Na Rhéologie Nombre de Naze Na Magnétohydrodynamique vitesse d'Alfven/vitesse du son Nombre de Newton Ne Mécanique des fluides force de résistance/force d'inertie Nombre de Nusselt Nu Transfert thermique transfert thermique total/transfert thermique par conduction Nombre d'Ocvirk Oc force de charge sur roulement à billes/force visqueuse Nombre d'Ohnesorge Oh Mécanique des fluides force visqueuses/tension superficielle Nombre de Péclet Pe Transfert thermique et de masse transfert par convection/transfert par diffusion ou conduction Nombre de Peel Nombre de pipeline pn Mécanique des fluides pression due au coup de bélier/pression statique Nombre de plasticité Np Rhéologie Equivalent au nombre de Bingham Nombre de Poiseuille Ps Mécanique des fluides force de pression/force visqueuse Nombre de Pomerantsev Pm Transfert thermique Equivalent au nombre de Damköhler Nombre de Posnov Pn Transfert thermique et de masse Nombre de Prater Nombre de Prandtl Pr Mécanique des fluides, transfert thermique diffusivité de moment/diffusivité thermique Nombre de Predvoditelev Pd Transfert thermique changement de température d'un fluide/changement de température d'un corps immergé dans le fluide Nombre de pression Kp Mécanique des fluides pression absolu/différence de pression à travers une surface Nombre de puissance Np Mécanique des fluides force d'entraînement(agitateur)/force d'inertie Nombre de radiation Nr Transfert thermique Nombre de Ramzin Ks Transfert thermique Nombre de Rayleigh Ra Mécanique des fluides convection naturelle/diffusion Nombre de Reech Re Mécanique des fluides inverse du nombre de Froude Nombre de Reynolds Re Mécanique des fluides force d'inertie/force visqueuse Nombre de Richardson Ri Mécanique des fluides poussée d'Archimède/force turbulente Nombre global de Richardson BRN Météorologie Énergie potentielle de convection disponible/cisaillement vertical des vents dans un orage Nombre de Romankov Ro Transfert thermique Nombre de Roshko Ro Mécanique des fluides Equivalent au nombre de Stokes Nombre de Rossby Ro Mécanique des fluides force d'inertie/force de Coriolis Nombre de Rouse R Mécanique des fluides, transport sédimentaire vitesse de chute/vitesse de frottement Nombre de Russell Ru Mécanique des fluides force d'inertie/poussée d'Archimède Nombre de Sachs Sa Explosion Nombre de Sarrau Sa Mécanique des fluides Equivalent au nombre de Mach Nombre de Schiller Sch Mécanique des fluides force d'inertie/(force visqueuse*coefficient de traînée) Nombre de Schmidt Sc Mécanique des fluides, transfert de masse diffusivité de moment/diffusivité massique Nombre de Semenov Sm Transfert de masse et thermique Equivalent au nombre de Lewis Nombre de Sherwood Sh Transfert de masse transfert massique total/transfert massique par diffusion Nombre de Smoluckowski Mécanique des fluides inverse du nombre de Knudsen Nombre de Sommerfeld S Mécanique des fluides force visqueuse/force de charge Nombre de Spalding B Nombre de Stanton St Transfert thermique et de masse transfert total/transfert par convection Nombre de Stefan Se Transfert thermique chaleur sensible/chaleur latente (fusion) Nombre de Stewart St, N Magnétohydrodynamique force magnétique/force d'inertie Nombre de Stokes S Mécanique des fluides force d'inertie particule/force d'entraînement(fluide) Nombre de Strouhal Sr Mécanique des fluides vitesse de vibration/vitesse de translation Nombre de Stuart St, N Magnétohydrodynamique Equivalent au nombre de Stewart Nombre de Suratman Su Mécanique des fluides Equivalent au nombre de Laplace Nombre de Taylor Ta Mécanique des fluides force centrifuge/force visqueuse Nombre de Thiele mT, ϕ Cinétique chimique, transfert de masse vitesse de réaction chimique/flux diffusif des réactifs vers le catalyseur Nombre de Thoma σT Mécanique des fluides différence de pression due à la cavitation/différence de pression due à la pompe Nombre de Thomson Th Mécanique des fluides Equivalent au nombre de Strouhal Nombre de Thring Th Transfert thermique capacité thermique du fluide/chaleur transférée par radiation Nombre de Toms To Aéronautique débit de carburant/force de frottement Nombre de Weber We Mécanique des fluides forces d'inertie/tension superficielle Nombre de Weissenberg Wi Rhéologie temps de relaxation d'un corps/temps de l'expérience Nombre de Womersley Wo Mécanique des fluides force d'inertie stationnaire/force visqueuse Nombre adimensionel en cosmologie
- Paramètre de densité
- Redshift
Similitude des modèles réduits
Généralités
Divers domaines d'études conduisent à des expériences sur des modèles réduits, ce qui pose le problème de leur réalisme : les phénomènes aux deux échelles doivent être semblables. Par exemple, dans l'étude d'un écoulement autour d'un obstacle le sillage doit comporter, à l'échelle près, le même système de tourbillons ou de turbulence sur le modèle et sur le prototype.
Dire que les phénomènes sont semblables revient à dire que certains invariants doivent être conservés lorsqu'on change d'échelle. Ces invariants sont donc des nombres sans dimension qui doivent être construits à partir des grandeurs dimensionnelles qui caractérisent le phénomène. Dans ce qui suit, le cas des problèmes mécaniques, dans lesquels les trois grandeurs fondamentales sont la masse M, la longueur L et le temps T, sera seul considéré.
Dans ces conditions, toute grandeur physique est homogène à une expression de la forme Mα Lβ Tγ. Pour un nombre sans dimension, les exposants de chaque grandeur doivent être nuls.
Le premier problème consiste à déterminer quelles sont les grandeurs qui régissent le phénomène et celles qui sont négligeables (l'oubli d'une grandeur essentielle peut conduire à des résultats totalement erronés). Une fois que cette liste est établie, il faut en déduire les nombres sans dimension dont la conservation assurera la similitude.
Parmi ces nombres sans dimension, certains sont des rapports de longueurs : leur conservation caractérise la similitude géométrique qui n'appelle pas de commentaires particuliers. Seuls ceux qui font intervenir des grandeurs physiques présentent ici un intérêt.
Exemples
Si on considère l’écoulement d’un fluide dont la caractéristique essentielle est la compressibilité, l’expérience montre que les deux seuls paramètres significatifs, en plus de la géométrie, sont la vitesse V de l’écoulement non perturbé et un paramètre lié à la compressibilité, le plus simple étant la célérité du son dans le fluide notée a. Ces deux grandeurs ayant la même dimension, le nombre sans dimension à conserver s’en déduit immédiatement, c’est le nombre de Mach :
.Si le fluide possède une surface libre, la compressibilité étant maintenant supposée négligeable, le problème se complique légèrement. Les paramètres en cause sont la vitesse V de dimension LT-1, une caractéristique linéaire D de dimension L et la pesanteur, qui maintient la surface libre, caractérisée par la grandeur g de dimension LT-2. Il faut alors chercher un nombre sans dimension de la forme
VαDβgγ = (LT − 1)αLβ(LT − 2)γ. Pour que ce produit soit sans dimension, il faut que les exposants des deux grandeurs fondamentales L et T soient nulles (la masse M n’intervient pas) :
.Dans ces deux équations à trois inconnues, l’exposant 1 est choisi arbitrairement pour la vitesse, ce qui conduit au nombre de Froude :
.Si, alors qu’il n’y a plus de surface libre, la viscosité ne peut plus être négligée, outre V et D, il faut introduire la masse spécifique ρ du fluide et sa viscosité μ. Un calcul analogue au précédent conduit au nombre de Reynolds :
..
Commentaire
Dans une expérience pratique, il est souvent impossible de satisfaire simultanément plusieurs conditions de similitude. Ainsi, lors du déplacement d'une maquette de navire, il faudrait en principe respecter la similitude de Reynolds pour décrire les frottements sur la coque et la similitude de Froude pour décrire le sillage sur la surface libre. Une inspection rapide des formules montre qu'une réduction de l'échelle devrait entraîner à la fois une réduction et une augmentation de la vitesse – sauf à pouvoir jouer sur la masse spécifique du fluide, sa viscosité ou la gravité. Dans ce cas il faut respecter la similitude la plus importante, généralement la similitude de Froude. Si les contraintes, essentiellement financières, permettent d'atteindre une échelle suffisamment grande pour que l'effet d'échelle lié au non-respect de la similitude de Reynolds soit faible, le problème est ignoré. Sinon, il faut appliquer aux résultats une correction numérique déduite d'autres expériences.
Interprétation des résultats d'essais
Dans ce qui précède, les nombres sans dimension sont considérés comme des marqueurs d'un phénomène bien déterminé : si l'un d'entre eux est modifié, les résultats doivent en principe changer. Quand des essais systématiques sont effectués pour obtenir des lois expérimentales, la présentation la plus efficace consiste à donner les résultats sous la forme d'une loi qui relie un nombre sans dimension à d'autres nombres sans dimension.
Une analyse plus approfondie peut même donner une idée sur la forme des lois à rechercher. Cette analyse peut s'appuyer sur le théorème de Buckingham mais une méthode plus élémentaire, due à lord Rayleigh, peut être utilisée dans les cas simples. On trouvera ci-dessous le canevas du calcul pour le problème classique de la force exercée sur un obstacle par l'écoulement d'un fluide que l'on supposera visqueux mais incompressible et sans surface libre. Les variables en cause, qui ne dépendent que de la masse M, de la longueur L et du temps T, sont
- la force F de dimension MLT-2,
- une dimension D caractéristique de l'obstacle, de dimension L,
- l'incidence θ de l'écoulement par rapport à l'obstacle, qui ne dépend d'aucune des variables de base,
- la vitesse V de l'écoulement, de dimension LT-1,
- la masse spécifique ρ du fluide, de dimension ML-3,
- sa viscosité μ de dimension ML-1T-1.
Il faut exprimer la force comme une fonction inconnue des autres variables :
Cette fonction peut être considérée comme une sorte de série contenant des monômes dans lesquels les différentes grandeurs sont élevées à des puissances inconnues multipliés par un coefficient k sans dimension :
Une identification analogue à celle qui a été évoquée pour le nombre de Froude élimine trois des exposants et conduit à écrire la formule sous la forme :
qui contient deux paramètres indéterminés. La série se transforme en une fonction qui s'écrit sous la forme habituelle faisant intervenir une aire A caractéristique à la place du produit D2 :
Cette formule ne signifie pas que la force est proportionnelle au carré de la vitesse. En effet, celle-ci intervient à travers le nombre de Reynolds et, en d'autres circonstances, elle pourrait dépendre aussi du nombre de Mach et du nombre de Froude. Il existe des cas dans lesquels cette proportionnalité est bien vérifiée mais c'est une conséquence des expériences, pas de l'analyse dimensionnelle. Celle-ci ne peut qu'indiquer la forme la plus efficace pour décrire les lois physiques mais pas leur contenu.
Pour mettre en forme des résultats d'essais, cette formule s'écrit comme un nombre sans dimension fonction de deux autres nombres sans dimension :
Notes et références
- Site du Bureau international des mesures
- Bernard Stanford Massey, Measures in science and engineering : their expression, relation and interpretation, Halsted Press, 1986, 216 p. (ISBN 0853126070)
- (en) Carl W. Hall, Laws and Models: Science, Engineering, and Technology, CRC Press, 2000, 524 p. (ISBN 0849320186)
- (en) John P. Catchpole et George Fulford, « DIMENSIONLESS GROUPS », dans Industrial & Engineering Chemistry, vol. 3, no 58, 1966, p. 46-60 [lien DOI (page consultée le 26 avril 2010)]
- N.S. Lang, « A compilation of nondimentional numbers » sur NASA, 1972. Consulté le 28 avril 2010
Voir aussi
Wikimedia Foundation. 2010.
