Volume

Pour les articles homonymes, voir Volume (homonymie).

Le volume, en sciences physiques ou mathématiques, est une grandeur qui mesure l'extension d'un objet ou d'une partie de l'espace.

En physique, le volume d'un objet mesure « l'extension dans l'espace physique » qu'il possède dans les trois directions en même temps, de même que l'aire d'une figure dans le plan mesure « l'extension » qu'elle possède dans les deux directions en même temps.

En mathématiques, le volume d'une partie de l'espace géométrique est sa mesure au sens de la théorie de la mesure de Lebesgue.

Mesure du volume

Le volume physique se mesure en mètre cube dans le système international d'unités. On utilise fréquemment le litre, notamment pour des liquides et pour des matières sèches. Ainsi, on considère le volume comme une grandeur extensive et la grandeur intensive thermodynamique associée est la pression.

En mathématique, et plus précisément en géométrie euclidienne, le volume du parallélépipède engendré par 3 vecteurs non coplanaires $(\vec v_1, \vec v_2, \vec v_3)$ se calcule grâce au produit mixte des trois vecteurs :

$V = |\det( \vec v_1, \vec v_2, \vec v_3)|$

Les calculs de volume ont évolué au cours de l'histoire en suivant les progrès du calcul infinitésimal. C'est ainsi que les premiers volumes ont été calculés grâce à la méthode d'exhaustion, puis en utilisant le principe de Cavalieri et pour finir en calculant des intégrales triples.

Pour les solides simples (parallélépipède et objets de révolution), il existe des formules mathématiques permettant de déterminer leur volume d'après leurs dimensions caractéristiques.

Unités de volume

L'unité de volume du système international est le mètre cube (m³) et ses dérivés (dm³, cm³, mm³). Mais d'autres unités de volume persistent surtout dans les pays anglo-saxons (voir Conversion des unités).

Les volumes de matière liquide ont souvent leurs unités propres (litre, pinte, baril). La mise en place du système métrique a grandement simplifié le nombre d'unités de volume utilisées qui dans l'Ancien Régime en comptait plus de vingt (voir Unités de mesure de l'Ancien Régime).

Pour les gaz où l'on veut connaître la quantité de matière (nombre de molécules) contenue dans un volume donné quelles que soient la pression et la température, deux définitions de correction existent :

le mètre cube dit normal exprimé en m³(n) correspondant à un volume de gaz ramené sous une pression de 1 013,25 hPa (pression d'une atmosphère normale ou 1 atm) et une température de 0 °C.
le mètre cube dit standard exprimé en m³(s) correspondant à un volume de gaz ramené sous une pression de 1 013,25 hPa (pression d'une atmosphère normale ou 1 atm) et une température de 25 °C.

Les volumes décrit ci-dessus correspondent à des volumes dit corrigés. Le volume qui ne tient pas compte de ces corrections est dit brut. On rencontre ces volumes dans l'élaboration des débits (voir débit) et du pouvoir calorifique des gaz.

Dans l'Union européenne, de nombreux volumes (et masses), sur les produits de consommation, sont indiqués en quantité estimée. Ils sont marqués comme tel, d'un « e » minuscule.

En mathématiques, l'unité de volume n'apparaît pas dans les formules. Elle est implicitement donnée par le volume du cube unité. Si, par exemple, pour des questions d'échelle, le cube unité a pour arête 2 cm, un volume de X (cube unité) correspond à 8X cm³.

Article détaillé : Unité de volume.

Quelques formules

Dans la suite on notera

$V$ le volume
$B$ et $b$ les aires de la grande base et de la petite base
$H$ la hauteur (ou distance séparant les deux faces)
$D$ ou $d$ le diamètre
$R$ ou $r$ le rayon
$a$ l'arête
$L$ ou $l$ la longueur et la largeur d'un rectangle

Les solides de Platon

Ce sont les cinq seuls polyèdres réguliers. Si l'arête du polyèdre est $a$ , son volume est donné par les formules du tableau suivant:

polyèdre	volume
Pour le tétraèdre :	$V = \frac{1}{12}\sqrt{2}a^3$
Pour le cube :	$V = a^3\,$
Pour l'octaèdre :	$V = \frac{1}{3}\sqrt{2}a^3$
Pour le dodécaèdre régulier :	$V = \frac 14(15 + 7\sqrt 5)a^3$
Pour l'icosaèdre :	$V = \frac 56\varphi^2a^3$ où $φ$ est le nombre d'or

Les prismes et cylindres

La formule générale est toujours : $V =B \times H$ (volume = aire de la base × hauteur), que le prisme ou le cylindre soit droit ou pas.

En particulier,

pour le parallélépipède rectangle ou pavé : $V = L\times\ell\times H$ ,
pour le cylindre de révolution : $V=\pi\times R^2\times H$ .

Les pyramides et cônes

La formule générale est toujours : $V = \frac 13 B \times H$

Le cône de révolution : $V = \frac{\pi}{3}R^2H$
La pyramide tronquée par un plan parallèle à la base : $V=\frac H3 (B+b+\sqrt{Bb})$

La boule

La boule a pour volume $V = {4 \over 3} \pi R^3$ ou $V = \pi {D^3 \over 6}$
Pour une calotte sphérique, $V = \frac{\pi}{3}H^2(3R-H)$ ou $V = \frac{\pi}{2}H(\frac{H^2}{3}+r^2)$ où $R$ est le rayon de la boule, $r$ est le rayon de la calotte et $H$ la hauteur de la calotte.
Le volume de la boule percée d'un cylindre (rond de serviette) ne dépend pas du rayon de la boule mais seulement de la hauteur H du cylindre: $V = \frac{\pi}{6} H^3$
Le secteur sphérique (intersection entre un cône de sommet O et la boule de centre O : $V = \frac 23 \pi R^2H$ où $H$ est la hauteur de la calotte et $R$ le rayon de la boule.

Solides de révolution

Article détaillé : théorème de Guldin.

Le théorème de Guldin (ou règle de Pappus) permet de calculer le volume d'un solide de révolution engendré par la révolution d'un élément de surface $S$ plane autour d'un axe situé dans son plan et ne le coupant pas, pour peu que l'on connaisse le centre de gravité $G$ de l'élément de surface $S$ .

$V = 2\pi R\cdot S$ où

R

est la distance séparant le point

G

de l'axe de rotation.

Cette formule permet de déterminer les volumes suivants :

le tore : $V = 2π 2 R r 2$ où $r$ est le rayon du cercle de centre $G$ tournant autour de l'axe $(Δ)$ et où $R$ est la distance de $G$ à $(Δ)$ .
le tonneau : Kepler donne une formule approchée pour le volume d'un tonneau, qui se révèle exacte lorsque le tonneau est engendré par une sphère, une pyramide, un hyperboloïde à une nappe, un paraboloïde elliptique, un ellipsoïde de révolution. Si $B 1$ et $B 2$ sont les surfaces des bases et $B 3$ la surface de la section à mi-hauteur alors

$V = \frac h6 (B_1 + B_2 + 4B_3)$

Autres

Le conoïde circulaire droit (exemple l'incisive) : $V = \frac 12 \pi R^2H$ où $R$ est le rayon du cercle de base et $H$ la hauteur du conoïde.
Le lingot (hexaèdre formé de deux bases rectangulaires parallèles et de 4 faces latérales trapézoïdales) . On retrouve la formule de Kepler : $V = \frac h6(B_1+B_2+4B_3)$ où $B 1$ et $B 2$ sont les surfaces des deux bases rectangulaires et $B 3$ la surface de la section à mi-hauteur. Cette formule est très employée en génie civil dans les calculs de volume de terrassement et plus particulièrement pour les mouvements de terres dans le domaine des travaux publics.

Volume et calcul intégral

Article détaillé : intégrale multiple.

Si $\mathcal D$ est une partie bornée de $\R^2$ , le volume du cylindre ayant pour génératrice la frontière de $\mathcal D$ , délimité par le plan $z = 0$ et la surface d'équation $z = f (x, y)$ – avec $f$ positive et continue sur $\mathcal D$ – est :

$V = \iint_\mathcal D f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$

Dans le cas où le domaine $\mathcal D$ est défini par des conditions simples $x 1 < x < x 2$ , $y 1 (x) < y (x) < y 2 (x)$ , ce calcul se ramène à :

$V = \int_{x_1}^{x_2}\!\int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y)\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x$

Si $\mathcal A$ est une partie bornée de $\R^3$ et si la fonction constante 1 est intégrable sur $\mathcal A$ , le volume de $\mathcal A$ est alors

$V = \iiint _\mathcal A \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z$

Dans le cas où le domaine $\mathcal A$ est défini par des conditions simples $x 1 (z, y) < x (z, y) < x 2 (z, y)$ , $y 1 (z) < y (z) < y 2 (z)$ et $z 1 < z < z 2$ , ce calcul se ramène à :

$V = \int_{z_1}^{z_2}\!\int_{y_1(z)}^{y_2(z)}\!\int_{x_1(z,y)}^{x_2(z,y)}\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z$

Par linéarité de l'intégration, un domaine difficile à définir peut être partitionné en plusieurs sous-domaines exprimables eux en conditions simples.

Si le domaine $\mathcal A$ s'exprime mieux en coordonnées cylindriques par des conditions simples $\mathcal A'$ , le calcul peut s'exprimer par

$V = \iiint _{\mathcal A'} r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,dz$ où $\mathcal A'$ est une partie bornée de $\R_+\times [0,2\pi] \times \R$

Si le domaine $\mathcal A$ s'exprime mieux en coordonnées sphériques par des conditions simples $\mathcal A''$ , le calcul peut s'exprimer par

$V = \iiint _{\mathcal A''} r^2\sin(\phi)\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\phi$ où $\mathcal A''$ est une partie bornée de $\R_+\times [0,2\pi]\times [0,\pi]$ .

Dans le cas où le domaine $\mathcal A$ est un solide de révolution dont la frontière est engendrée par la rotation d'une courbe d'équation $y = f (x)$ autour de l'axe $(O x)$ , le calcul du volume se réduit à une intégrale simple

$V = \pi \int_{x_1}^{x_2}f^2(x)\,\mathrm{d}x$

Enfin, le théorème de flux-divergence permet de réduire le calcul de volume à une intégrale de surface

$V = \iiint _A \mathrm{d}V = \frac 13 \iint_{\part\mathcal A} (x,y,z)\vec n\,\mathrm{d}S$

où $\part\mathcal A$ est la frontière de $\mathcal A$ , et $\vec n$ le vecteur unitaire normal à $d S$ dirigé vers l'extérieur de $\mathcal A$ . en math

Voir aussi

Regardez d'autres dictionnaires:

volume — [ vɔlym ] n. m. • XIIIe; lat. volumen « feuilles manuscrites enroulées », rad. volvere « rouler » I ♦ 1 ♦ (1270) Réunion d un certain nombre de cahiers (notamment imprimés) brochés ou reliés ensemble. ⇒ 1. livre. La bibliothèque royale « s… … Encyclopédie Universelle
Volume ! — Volume ! La revue des musiques populaires Ex Copyright Volume ! (2001 2008) Pays … Wikipédia en Français
Volume — Vol ume, n. [F., from L. volumen a roll of writing, a book, volume, from volvere, volutum, to roll. See {Voluble}.] 1. A roll; a scroll; a written document rolled up for keeping or for use, after the manner of the ancients. [Obs.] [1913 Webster]… … The Collaborative International Dictionary of English
volume — VOLUME. s. m. Livre relié. Ce livre fera un juste volume. un beau volume. gros volume. grand volume. il y a vingt volumes sur cette tablette. On appelle, Livre en grand volume, Un livre in folio. Et on appelle, Livres en petit volume, Les livres… … Dictionnaire de l'Académie française
Volume I — Studioalbum von Queensberry Veröffentlichung 2008 Label Starwatch Music Format … Deutsch Wikipedia
Volume 1 (I¨s) — Iori (également le nom d un personnage du manga) est le nom du volume 1 du manga I¨s. Résumé Séto est amoureux en secret de Iori, qui est dans le même lycée que lui et qui fait du théâtre. Suite à une ancienne histoire d amour (où il avait révélé … Wikipédia en Français
Volume 1 (i¨s) — Iori (également le nom d un personnage du manga) est le nom du volume 1 du manga I¨s. Résumé Séto est amoureux en secret de Iori, qui est dans le même lycée que lui et qui fait du théâtre. Suite à une ancienne histoire d amour (où il avait révélé … Wikipédia en Français
Volume 4 — mey refer to: *Black Sabbath Vol 4, Black Sabbath s fourth studio album from 1972 *Led Zeppelin IV (official name ), Led Zeppelin s fourth studio album (released November 8, 1971): sometime called Led Zeppelin Volume 4 *Volume 4 (Yu Gi Oh! Set),… … Wikipedia
Volume I — (Fabrizio De André) Volume I Album par Fabrizio De André Sortie 1967 Enregistrement 18 juillet 1964 25 juillet 1964 Durée 30 min 29 sec … Wikipédia en Français
Volume 1 — DVD de Mushroomhead Publicación 9 de agosto de 2005 Grabación 2001 2004 Género(s) Industrial Metal Duración … Wikipedia Español
Volume 2 — DVD de Mushroomhead Publicación 28 de octubre de 2008 Grabación 2006 2007 Género(s) Industrial Metal Duración … Wikipedia Español

Dictionnaires et Encyclopédies sur 'Academic'

Volume

Sommaire

Mesure du volume

Unités de volume