Solide de Platon

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La première rubrique n’expose pas seulement des propriétés de l’octaèdre et du cube. Elle compare certaines sections planes des deux solides à des sections de dodécaèdre. Elle prépare à l’étude des autres solides en expliquant des concepts utiles, par exemple la notion d’axe de certains objets, ou la notion de dual d’un solide. Grâce à la rubrique des contre-exemples, l’emploi des adjectifs « régulier » et « convexe » est plus compréhensible.

Octaèdre et cube

Nous interprétons l’image quand nous regardons l’octaèdre de dessus. L’octaèdre est régulier, nous dit la légende. Alors ses huit faces sont des triangles équilatéraux de la même taille. La perspective donne aux deux faces horizontales leur vraie forme et leur vraie grandeur, les images de ABC et HLU sont superposables – isométriques –.  Les douze arêtes sont égales, mais le dessin en rapetisse une sur deux. N’importe quel sommet du solide est commun à quatre faces. Le solide est supposé opaque, il présente à notre regard trois faces de sommet A. L’arête cachée [LU ] est en pointillé, ainsi le veut une règle de géométrie descriptive.

En élévation, les quatre sommets du contour représentent les six sommets du solide, un simple point représente l’arête [LU ] ou [BC ]. Un même triangle est l’image de deux faces, l’une devant le solide, l’autre derrière. Une arête située derrière n’est pas tracée en pointillé, parce que son image est confondue avec le trait plein d’une autre arête, devant le solide.

Sans le mot « convexe », cette phrase serait fausse : un polyèdre convexe est un octaèdre régulier si et seulement si ses arêtes sont les côtés de trois carrés, dont chaque paire a une diagonale commune. L’épure montre les carrés en trois couleurs différentes. Par exemple, [LB ] est la diagonale commune des carrés vert et bleu LUBC et LABH. N’importe quel carré a des diagonales perpendiculaires, donc les diagonales des trois carrés de l’épure sont perpendiculaires deux à deux.

Les noms des points et les couleurs des faces et des arêtes ne changent pas entre les épures 1 et 2.

Épure n^o 1.
Un octaèdre régulier vu en élévation et vu de dessus. Ses faces ABC et HLU sont horizontales.

Épure n^o 2.
Quel que soit le sens de rotation, un quart de tour autour de (CS ) ou un tiers de tour autour de (TS ) transforme l’octaèdre en lui-même, et conserve aussi ses sections planes perpendiculaires à l’axe de rotation.

Une diagonale d’un polyèdre est une droite ou un segment qui joint deux de ses sommets, sans être ni un côté ni une diagonale d’une face. Les diagonales des carrés bleu, vert et rouge sont les trois diagonales de l’octaèdre. Ce sont des diamètres de sa sphère circonscrite – la sphère qui passe par tous ses sommets –. Le centre S de la sphère est le centre commun des carrés. En effet, on appelle centre d’un rectangle ou d’un polygone régulier le centre de son cercle circonscrit. N’importe quel solide de Platon est inscriptible dans une sphère, dont le centre s’appelle le centre du solide.

L’information sur T serait très partielle si nous regardions seulement l’épure n^o 2, ou seulement la vue en élévation n^o 1. Le point T est le centre de ABC : le centre de son cercle circonscrit.

Considérons la sphère circonscrite à l’octaèdre. Son intersection avec le plan d’une face triangulaire est le cercle circonscrit à cette face. La section de la sphère par le plan d’un carré en couleur est un grand cercle de la sphère, le cercle circonscrit au carré. Dans les plans obliques des carrés, aucun des trois grands cercles n’est tracé dans les épures, ni aucun cercle circonscrit à une face. L’épure n^o 4 montre en bleu deux grands cercles verticaux.

Cette situation sera fréquente dans les figures géométriques, un point de l’espace sera à égale distance des sommets d’une face ou d’une section plane d’un solide. Il sera le centre d’une sphère passant par tous les sommets de la face ou de la section polygonale.

Étant donné un cercle, ou un rectangle, ou un polygone régulier, son axe est la droite perpendiculaire au plan de l’objet au centre de l’objet. C’est l’ensemble des points à égale distance des points du cercle, ou des sommets du polygone. C’est aussi l’axe de certaines rotations qui transforment l’objet en lui-même.

Par exemple, la face supérieure de l’octaèdre est le triangle horizontal ABC, dont l’axe (TS ) est vertical. On obtient le même triangle équilatéral en faisant tourner ABC d’un tiers de tour dans un sens ou dans l’autre autour de (TS ).

Si une pyramide a les sommets d’un polygone régulier, plus un dernier sommet sur l’axe du polygone, alors cette pyramide est dite régulière. Si une rotation autour de l’axe du polygone régulier laisse inchangé le polygone, cette rotation conserve aussi la pyramide. On dit que l’axe du polygone est un axe de la pyramide. Nous verrons un solide de Platon posséder plusieurs axes.

Quelle que soit l’épure, chaque vue est une perspective cavalière. C’est l’image plane d’une figure de l’espace par une projection orthogonale sur un plan. Pour la vue de dessus n^o 1 ou pour la perspective n^o 2, le plan de la projection est n’importe quel plan horizontal. Dans les deux perspectives, la direction et le sens de la projection sont les mêmes : la direction verticale de (TS ) et le sens de T vers S. Les points distincts T et S sont représentés par un même point quand l’octaèdre est vu à la verticale. Il n’y aura pas de vue de dessous.

Le centre d’un rectangle est son centre de symétrie. Chaque carré de centre S est conservé par la symétrie de centre S. Cette symétrie transforme donc l’octaèdre en lui-même. Deux arêtes, deux faces ou deux sommets d’un octaèdre sont dits opposés s’ils sont symétriques l’un de l’autre par rapport au centre de l’octaèdre.

Par exemple, la symétrie de centre S transforme le centre d’une face en celui de la face opposée, elle transforme le centre V de la face inférieure en T, centre de la supérieure. Autrement dit, S est le milieu de [VT ].

Une projection orthogonale sur un plan respecte des rapports de longueurs mesurées sur une même droite ou sur des droites parallèles, quand leur direction n’est pas celle de la projection. Des milieux notamment restent des milieux dans une perspective. L’image de S est donc le centre de symétrie de l’image du solide dans toutes les vues.

Quand l’octaèdre est vu à la verticale, l’image de S est à la fois le centre des deux triangles équilatéraux, images des deux faces horizontales, et le centre de la symétrie qui transforme un triangle équilatéral en l’autre. Alors le contour du solide vu à la verticale est un hexagone régulier.

En élévation, le contour a des diagonales perpendiculaires en leur milieu, parce que S est le milieu de [AH ] et de [LB ] dans l’espace, et que la projection ne déforme pas l’angle droit formé par l’axe du carré vert et le plan du carré. Ce contour-là du solide est un losange.

Un plan contenant deux des diagonales d’un polyèdre est un plan diagonal du polyèdre. Par exemple, le carré vert est une section diagonale de l’octaèdre. Un plan diagonal d’un octaèdre en est un plan de symétrie. Il partage le solide en deux pyramides régulières carrées, symétriques l’une de l’autre par rapport au plan de leur base commune. L’axe commun aux deux pyramides est la diagonale de l’octaèdre perpendiculaire au plan de leur base commune. Par exemple, A et H sont symétriques l’un de l’autre par rapport au plan du carré vert, (AH ) est l’axe commun aux pyramides ALUBC et HLUBC.

Un tiers de tour autour de (VT ) dans un sens ou dans l’autre transforme chaque face horizontale en elle-même, donc transforme le solide en lui-même. Une telle rotation conserve aussi toute section horizontale du solide. Dans l’épure 2, des plans qui ne passent pas par S coupent le solide. Tracé en six traits ocres dont trois en pointillé, l’hexagone est horizontal.

N’importe quelle section horizontale de l’octaèdre a six côtés, qui sont parallèles deux à deux, parce que tous deux parallèles à deux arêtes opposées horizontales. Le plan médiateur commun à deux arêtes horizontales est un plan de symétrie du solide, et un plan de symétrie de la section. En un tiers de tour autour de (VT ), un côté de la section en devient un autre qui lui est égal, et dont le plan médiateur est un autre plan de symétrie. Conservée par un tiers de tour ou un autre autour de (VT ), la section hexagonale est inscriptible dans un cercle horizontal. Ses sommets sont ceux de deux triangles équilatéraux de même taille et même centre. Ces triangles équilatéraux ne sont pas tracés dans l’épure, ni leur cercle circonscrit.

Rangeons dans un ensemble ℱ tous les hexagones convexes qui ont les sommets de deux triangles équilatéraux de même taille et même centre. La forme d’un élément de ℱ est déterminée par le rapport des longueurs de deux de ses côtés adjacents. On obtient un hexagone de ℱ en coupant par un plan approprié un octaèdre, un dodécaèdre ou un cube. La forme de l’hexagone varie avec la distance du plan de section au centre du solide. Un solide d’une des trois sortes est symétrique par rapport à son centre, et si deux sections sont symétriques l’une de l’autre par rapport au centre du solide, alors elles sont isométriques. Étant donnés un hexagone de ℱ et un solide d’une des trois sortes, au moins une section du solide est semblable à l’hexagone donné.

Les épures n^o 1 et n^o 3 exhibent le même hexagone blanc. Son plan horizontal passe par le centre S du solide. L’intersection de ce plan avec un carré diagonal est un axe de symétrie du carré, parallèle à ses côtés horizontaux, et passant par les milieux de ses côtés obliques. Ces deux milieux sont symétriques l’un de l’autre par rapport à S, quel que soit le carré diagonal considéré. Alors l’hexagone blanc est symétrique par rapport à S.

L’hexagone blanc horizontal appartient à l’ensemble ℱ, ses sommets sont ceux de deux triangles équilatéraux de même taille et même centre. Sa symétrie par rapport à S en fait un hexagone régulier.

Un plan passant par le centre d’un polyèdre régulier est appelé un plan équatorial du polyèdre. L’hexagone blanc et les trois sections diagonales carrées sont quatre sections équatoriales de l’octaèdre, qui sont quatre polygones réguliers. Parmi les sections parallèles à une face de l’octaèdre, seules les sections équatoriales sont des polygones réguliers. Un côté quelconque de ces quatre hexagones joint les milieux de deux côtés d’une face. Parallèle au troisième côté, il mesure    la moitié d’une arête.

Autour de quatre axes différents de l’octaèdre, communs chacun à deux faces opposées, des tiers de tour conservent un octaèdre régulier. Une rotation d’un quart de tour autour de (CS ) dans un sens ou dans l’autre conserve n’importe quel point de l’axe de rotation, et conserve aussi la section diagonale bleue, la grande section carrée bleue. Un tel quart de tour conserve l’octaèdre, et laisse inchangé le petit carré bleu.

Une infinité de sections du solide sont des carrés. Quatre carrés sont dessinés dans l’épure 2, l’un est une réduction de la section diagonale bleue par une homothétie de centre C. Les deux carrés bleus homothétiques l’un de l’autre ont le même axe (CS ), qui est la diagonale commune aux deux autres carrés diagonaux. Les plans de ces carrés rouge et vert sont à la fois perpendiculaires l’un à l’autre, et perpendiculaires aux plans des deux carrés bleus.

Épure n^o 3.
Les centres des huit faces et l’hexagone blanc, vus dans la direction d’une diagonale de l’octaèdre.

Un quart de tour autour de n’importe quelle diagonale conserve l’octaèdre. L’épure 2 attire l’attention sur des quarts de tour autour de (CS ), et l’épure 3 sur des quarts de tour autour de (AS ). Malgré l’absence de lettres dans l’épure 3, l’octaèdre est reconnaissable grâce aux couleurs des faces et des arêtes. Et on peut quand même désigner les points par leurs noms.

Autour d’une diagonale de l’octaèdre, un demi-tour équivaut à deux quarts de tour successifs dans le même sens. Une rotation de 180 ° est une symétrie par rapport à l’axe du demi-tour. Les diagonales de l’octaèdre en sont trois axes de symétrie.

Dans l’épure 3, le carré vert est le contour du solide. Sur l’axe du carré vert, H est derrière le solide, son image est confondue avec celles de A et S. Les seuls pointillés du dessin représentent les trois côtés consécutifs de l’hexagone blanc qui sont derrière le solide. La perspective représente deux faces par un même triangle, et les centres des deux faces au centre d’une même cible. Peints sur une face triangulaire, les deux cercles orangés d’une cible sont déformés par la perspective. Le centre d’un triangle équilatéral en est aussi l’orthocentre. La projection déforme toutes les faces, et les symboles d’angles droits aux pieds des douze hauteurs.

À partir du centre d’une face, on obtient les centres de trois autres faces par trois quarts de tour successifs dans le même sens autour de (AS ). Les centres des cibles représentent les sommets de deux carrés d’axe (AS ), dans deux plans parallèles distincts. En tournant autour d’une autre diagonale de l’octaèdre, des quarts de tour auront le même effet. Par conséquent, les centres des faces triangulaires sont les sommets d’un polyèdre de six faces carrées. Ce polyèdre est un cube contenu dans l’octaèdre.

Épure n^o 4.
Les centres des faces du même octaèdre sont les sommets d’un cube.

Dans l’espace, un sommet du cube est au tiers de chaque médiane d’une face équilatérale. Une épure le représente au tiers des images des médianes. L’épure 3 permet de comparer la longueur d’une arête de l’octaèdre et celle d’une diagonale d’une face du cube. En effet, la dimension du contour vert de l’octaèdre est la longueur de ses arêtes. Et une diagonale d’une face du cube est en vraie grandeur si elle est parallèle à un côté du carré vert. Ce rapport de longueurs apparaît aussi dans l’épure 4, qui montre le cube en élévation dans le même octaèdre. Par exemple, le centre K de ALU est un sommet du cube. Avec des sommets de mêmes noms et des faces de mêmes couleurs, ce cube est étudié jusque dans la prochaine rubrique.

Étant donné un solide de Platon de p sommets et q faces, son dual est un solide de Platon de q sommets et p faces, avec le même nombre d’arêtes. Quand on dit que cube et octaèdre sont duaux l’un de l’autre par exemple, ou quand on parle « du » dual de l’octaèdre avec un article défini, sans avoir précisé davantage de quel solide il s’agit, alors on désigne par « cube » ou par « octaèdre » l’ensemble des polyèdres réguliers en nombre infini, tous semblables entre eux, qui ont huit sommets dans un cas, huit faces dans l’autre.

À partir d’un octaèdre régulier, comment obtenir un dual de même centre ? L’épure 4 montre une construction possible. On peut aussi construire les faces d’un dual, au lieu de construire ses sommets. Les plans des faces carrées de cet autre cube sont perpendiculaires en leurs extrémités aux diagonales de l’octaèdre. Les arêtes de ce cube-là sont égales aux diagonales de l’octaèdre. Les sommets de l’octaèdre initial sont alors les centres des six carrés construits. Le cube et l’octaèdre duaux l’un de l’autre sont ainsi disposés dans la prochaine rubrique, épure 8.

Deux solides de Platon sont des duaux canoniques l’un de l’autre quand les sommets de l’un sont les centres des faces de l’autre. Tout solide de Platon est un dual canonique de deux autres, semblables entre eux. Le centre commun des trois solides est le centre des homothéties qui transforment l’un en l’autre les solides semblables. Par exemple, les centres des faces du cube de l’épure 4 sont les sommets d’un octaèdre régulier, homothétique du premier octaèdre.

L’octaèdre et le cube de l’épure 4 ont le même centre S. Les quatre diagonales d’un cube ont le même milieu, qui est le centre du cube : son centre de symétrie, et le centre de sa sphère circonscrite. Les quatre arêtes du cube parallèles à (AH ) sont en vraie grandeur. Deux des quatre ont leurs images confondues, avec S représenté au milieu. Pour mieux montrer le cube, l’épure 4 laisse vides les volumes des sphères et de l’octaèdre. La perspective ne déforme pas le cercle de diamètre [VT ] dans le plan vertical (ATH ). Avec ce cercle on imagine la sphère inscrite dans l’octaèdre, tangente à ses huit faces. C’est aussi la sphère circonscrite au cube.

Présente seulement dans l’épure 4, la lettre t désigne la hauteur d’une face équilatérale. Rapportée à la longueur d’une arête de l’octaèdre, la distance entre deux arêtes opposées du cube est :

La vue en élévation numéro 1 ou 4 n’altère pas la longueur AH d’une diagonale de l’octaèdre. Quand les sommets du cube sont les centres des faces de l’octaèdre, une arête du cube mesure le tiers d’une diagonale de l’octaèdre :
VK = =

Certains plans de symétrie d’un cube ou d’un octaèdre régulier contiennent le centre du polyèdre et deux arêtes opposées, ce sont des plans diagonaux du cube ou de l’octaèdre. Un plan diagonal d’un cube le partage en deux prismes droits triangulaires. Par exemple, le plan vertical (ATH ) est un plan de symétrie du cube et de l’octaèdre. En vraie grandeur dans l’épure 4, VKTE est en même temps le contour du cube et sa section par (ATH ). L’axe de VKTE est un axe de symétrie de l’octaèdre et du cube. Il passe par les milieux de deux arêtes opposées du cube, et par les milieux de [BU ] et [LC ], deux arêtes opposées de l’octaèdre.

Dans l’épure 4, le contour du cube est semblable au format A4 ou à un format de papier semblable, A3 par exemple. Les images rectangulaires des faces du cube sont des réductions de VKTE à l’échelle , elles représentent chacune deux faces du cube.

Épure n^o 6.
Un demi-cube en élévation et de dessus. Une diagonale du cube initial est verticale comme dans l’épure n^o 4.

Dans la présente rubrique et dans la prochaine, h est le tiers de la longueur d’une diagonale du cube. h √3 est alors la longueur d’une arête du cube, et h √6 la distance entre deux arêtes opposées.

De nombreux logos commerciaux représentent un cube par un pavage d’hexagone régulier. Dans l’épure 6, le cube initial est vu de dessus comme un hexagone régulier, avant d’être tronqué. Pourquoi un hexagone régulier ? Quand une diagonale du cube est verticale, ses arêtes toutes égales franchissent la même dénivellation h. Alors elles ont toutes la même inclinaison. Projetées orthogonalement sur un plan horizontal, leurs douze images sont donc égales.

Un cube possède quatre diagonales et six plans diagonaux. La droite d’intersection de deux plans diagonaux du cube est soit une diagonale du cube, soit un axe de symétrie du cube, l’axe commun à deux faces opposées. Des quarts de tour ou des demi-tours autour d’un tel axe conservent le cube. Perpendiculaire à un tel axe, une section plane du cube est un carré de même dimension qu’une face. Mais si l’intersection de deux plans diagonaux est une diagonale du cube, un tiers de tour autour de la diagonale conserve la figure. Deux plans diagonaux d’un cube forment un angle de 60 °.

Dans l’épure 6, le cube est amputé de sa moitié inférieure. Le cube tronqué a sept faces. Trois faces sont des triangles rectangles isocèles, tous de la même taille. Trois triangles de cette forme et cette taille-là prolongent les faces pentagonales, afin de reconstituer trois faces carrées du cube initial. On retrouve le cube initial en ajoutant au demi-cube son image par la symétrie de centre S. Cette symétrie transforme K en E par exemple.

Autour d’une diagonale d’un cube, une rotation d’un tiers de tour conserve le cube, et toute section du cube par un plan perpendiculaire à la diagonale. Une telle section est soit un triangle équilatéral, soit un hexagone de l’ensemble ℱ, dont la forme varie avec la distance du plan de section au centre du cube. La section est un hexagone régulier si et seulement si la section est équatoriale. La vue de dessus n^o 6 ne déforme pas la face horizontale du demi-cube, qui est un hexagone régulier. La vue de dessus donnerait sa vraie forme à toute section plane horizontale, un hexagone de ℱ, aux côtés parallèles aux arêtes horizontales du demi-cube.

γ apparaît dans l’épure 4 comme l’inclinaison de [AH ] ou [VK ]. C’est l’inclinaison de n’importe quelle diagonale de l’octaèdre, ou n’importe quelle arête du cube contenu dans l’octaèdre, puisque la figure est conservée quand on la fait tourner autour de (TS ) de 120 ° dans un sens ou dans l’autre. Entre une diagonale et une face d’un cube, l’angle mesure γ.

Visible dans l’épure n^o 1, l’angle entre une diagonale et une face d’un octaèdre mesure γ. Le supplément de  ( 2 γ )  est l’angle de deux faces adjacentes. Quand un octaèdre régulier a deux faces horizontales, le complément de γ est l’inclinaison de ses six arêtes obliques, ou l’inclinaison de ses trois plans diagonaux. La lettre γ désigne la même mesure d’angle sous le prochain titre.

Cube et tétraèdre

Épure n^o 7.
En élévation et de dessus, un cube tronqué posé sur sa face horizontale KMN. Trois troncatures de plus, et on obtient le tétraèdre régulier TKMN.

Épure n^o 8.
Deux tétraèdres réguliers ont leurs arêtes à la surface d’un même cube. Leur intersection est un octaèdre régulier, dont les sommets sont les centres des faces du cube.

Épure n^o 9.
Les arêtes d’un tétraèdre régulier et d’un cube, en élévation et de dessus. Le centre commun S des deux solides est l’origine d’un repère orthonormé. Les axes du repère sont en trois couleurs différentes, chacun est l’axe de symétrie d’une paire d’arêtes orthogonales du tétraèdre.

Un tétraèdre régulier est une pyramide régulière triangulaire, dont les six arêtes sont égales. Avec quatre faces et quatre sommets, ce tétraèdre est son propre dual. Par exemple, les centres de ses faces sont les sommets d’un solide semblable concentrique.

On peut obtenir un tétraèdre régulier en tronquant un cube quatre fois. Un sommet d’un cube est commun à trois faces carrées de même dimension. Les six diagonales des trois carrés sont égales. Trois des six forment un triangle équilatéral, la base d’une pyramide régulière telle que ETMN. Dans l’épure n^o 7 la diagonale (VT ) du cube est verticale, comme à la rubrique précédente dans l’épure n^o 4 ou n^o 6, ou dans l’épure n^o 9 de cette rubrique-ci. Les arêtes du cube issues de V sont égales, et l’axe du triangle KMN passe par V. Ainsi chaque sommet du cube est le sommet d’une pyramide régulière, dont l’axe est une diagonale du cube. Trois faces de la pyramide sont des triangles rectangles isocèles isométriques, ses quatre sommets sont des sommets du cube.

Pour abréger disons que le cube de l’épure n^o 7 est amputé de la seule pyramide de sommet V. Le tétraèdre TKMN résulterait de trois troncatures supplémentaires, celles des pyramides de sommets E, F, et G. En amputant le cube entier initial des quatre pyramides de sommets T, K, M, et N, on obtient le tétraèdre régulier concentrique VEFG. Et en amputant le cube entier des pyramides de ses huit sommets, on obtient l’intersection de ces deux tétraèdres, soit le dual canonique du cube dessiné dans l’épure n^o 8. Le centre commun aux quatre solides de cette épure est le centre de symétrie du cube et de l’octaèdre. La symétrie de centre S transforme l’un des tétraèdres en l’autre.

L’épure n^o 7 représente en bleu des lignes de la sphère circonscrite au tétraèdre et au cube initial. L’un des deux grands cercles de la sphère est horizontal, l’autre est dans le plan vertical passant par S et perpendiculaire à la direction de la vue en élévation. R est le centre du cercle circonscrit à KMN.

L’épure 9 ne représente aucune face ni aucun volume, seulement des lignes dans l’espace. Les arêtes du cube sont des lignes grises semi-transparentes, et celles de TKMN sont opaques. De dessus, les trois arêtes obliques de TKMN cachent les arêtes du cube issues de V.

Si deux diagonales de deux faces opposées d’un cube sont orthogonales, ce sont deux arêtes opposées d’un même tétraèdre. L’épure n^o 9 attribue la même couleur à une arête horizontale de TKMN, à l’arête opposée oblique, et à celle des trois droites (Sx ), (Sy ) ou (Sz ), qui passe par les milieux des deux arêtes opposées et qui leur est perpendiculaire. Ces trois droites portent les axes d’un repère orthonormé d’origine S. Les six plans perpendiculaires aux trois droites, contenant chacun une arête du tétraèdre, sont les plans des faces du seul cube ayant à sa surface toutes les arêtes du tétraèdre.

(Sx ), (Sy ) et (Sz ) sont trois axes de symétrie du tétraèdre et du cube. Par exemple la rotation de 180 ° autour de (Sx ) transforme T en K et K en T, et intervertit M et N.

S est le centre de symétrie du cube, mais TKMN n’a pas de centre de symétrie. Une transformation géométrique qui conserve le cube ne conserve pas nécessairement le tétraèdre. En faisant tourner la figure de l’épure n^o 9 d’un tiers de tour dans un sens ou dans l’autre autour d’une diagonale du cube, on retrouve la même figure, et le même tétraèdre. Perpendiculaire à une face du tétraèdre, l’axe d’une telle rotation est une hauteur du tétraèdre.

Les points T, S, R et V appartiennent à la hauteur verticale (TS ) de TKMN. Les quatre lettres sont absentes de la vue de dessus n^o 9, elles encombreraient la zone centrale de l’hexagone régulier, qui est l’image du cube vu à la verticale. Dans cette vue une rotation d’un tiers de tour autour de (TS ) fait tourner les couleurs des arêtes du tétraèdre, et conserve le tétraèdre.

Une rotation de 120 ° n’est pas une symétrie. Malheureusement, certains auteurs appellent (TS ) un axe de symétrie de TKMN, ou nomment groupe des symétries d’un solide un groupe de transformations qui le conservent. Les appellations « groupe des isométries » et « groupe des déplacements » d’un solide sont pourtant claires. L’expression « symétrie rotationnelle » est déplorable.

Le plan vertical contenant (Sz ) est le plan bissecteur de l’angle droit formé par [Sx ) et [Sy ). C’est le plan d’une symétrie du groupe des isométries du cube, ou du groupe des isométries du tétraèdre.

L’angle entre deux faces d’un tétraèdre régulier mesure 2 γ. La vue en élévation n^o 9 montre en vraie grandeur l’inclinaison γ de (Sz ) sur un plan horizontal. C’est aussi l’inclinaison de (Sx ) ou (Sy ), puisque la figure est conservée par une rotation de 120 ° autour de la verticale (TS ), dans un sens ou dans l’autre.

À cause de la même inclinaison γ des trois axes du repère, le coefficient de proportionnalité cos γ est le même entre les longueurs des segments parallèles à un axe du repère, et les longueurs de leurs projections sur un plan horizontal. Dans l’épure n^o 7 ou n^o 9, la vue de dessus est une perspective isométrique. La valeur de γ peut se déduire de l’égalité :
cos( 2 γ ) =

Le point de concours S des quatre hauteurs de TKMN est l’isobarycentre des quatre sommets du tétraèdre. Le centre de n’importe quel solide de Platon est l’isobarycentre de ses sommets. Les quatre solides de l’épure n^o 8 partagent l’isobarycentre de leurs sommets.

Si on prend les demi-droites précédentes [Sx ), [Sy ), et [Sz ) comme axes d’un repère orthonormé, dont l’unité de longueur est la distance de S à une face du cube, ou à une arête du tétraèdre, les trois coordonnées de T sont alors égales à 1. Les sommets de VEFG n’ont pas leurs coordonnées inscrites dans l’épure, mais la symétrie de centre S transforme simplement les coordonnées d’un point en leurs opposées. Elle transforme par exemple K ( +1 ; –1 ; –1 ) en E ( –1 ; +1 ; +1 ).

S est le centre des sphères inscrite et circonscrite à TKMN. La position de S est la même sur les quatre hauteurs du tétraèdre. En élévation, l’épure n^o 9 montre les deux sphères centrées au quart de [TR ] à partir de la base correspondante. Les trois coordonnées de R sont égales à l’opposé d’un tiers. La sphère inscrite dans TKMN est trois fois plus petite que la circonscrite. Son diamètre h est égal à , avec l’unité de longueur choisie dans l’épure.

Dodécaèdre de Platon

Est-il possible que douze pentagones réguliers convexes, tous isométriques entre eux, aient leurs vingt sommets sur une sphère, chaque sommet étant commun à trois des pentagones ? En construisant un objet, on prouve qu’il existe. Le premier sujet de cette rubrique est la construction géométrique d’un dodécaèdre de Platon, à partir de deux demi-patrons idéalisés. Chaque demi-patron contient six faces. L’épure n^o 10 montre à plat un demi-patron gris. Au polygone gris de vingt côtés s’ajoutent les plis de la feuille : les cinq côtés de la face centrale RSUVW. Une fois pliée, la feuille devient dans l’espace une vasque de six faces. Son bord dentelé a dix sommets, son fond en a cinq. Au cas où nous pourrions fermer la vasque par une vasque identique en guise de couvercle, obtiendrions-nous un polyèdre inscriptible dans une sphère ?

Épure n^o 10.
Un contour du solide en perspective est construit en géométrie plane à partir de six faces dépliées du solide.

Dans toute la rubrique, a sera la longueur des trente arêtes du solide, et d celle des soixante diagonales des douze faces. Par exemple dans l’épure n^o 10, UV = a. Et WS = φ a = d, où la lettre φ désigne le nombre d'or :

D’abord fut tracé le pentagone régulier convexe KLMNP, qui contient les six faces dépliées. En construisant son symétrique par rapport à son centre, on obtient le décagone régulier étoilé KFNCLAPEMB, de même centre G. Ses côtés contiennent ceux d’un décagone régulier convexe, en trait brun épais, dont H est un sommet.

Imaginons une vue animée de la feuille. La face centrale est fixe, une autre face tourne autour d’un pli. Imaginons l’animation obtenue en projetant la feuille orthogonalement sur le plan fixe de la face centrale. Si le seul pli qui fonctionne est [UV ], et si le plan fixe (RUV ) est horizontal, alors les trois sommets mobiles se déplacent dans des plans verticaux, sur trois cercles de même axe (UV ). Nommons J le sommet mobile qui se projette en K dans le dessin animé. Le plan (JUV ) tourne autour de [UV ], et J décrit un arc de cercle dans le plan médiateur de [UV ]. Son projeté K se déplace dans l’animation sur la médiatrice (RG ) de [UV ].

Dans ce mouvement, les images de deux sommets mobiles se déplacent sur deux droites parallèles tracées en vert, symétriques l’une de l’autre par rapport à (RG ). Sur l’un des deux trajets verts parallèles, un arc de cercle orangé entoure le point de départ. Une flèche prolonge l’arc de cercle, dirigée vers la fin du trajet. Quand ce point cerclé se déplace sur son trajet vert, perpendiculaire à (UV ), il bouge en même temps que K. Quand (LJ ) tourne dans l’espace, L est fixe sur la droite fixe du pli. Le point cerclé et K restent alignés avec le point fixe L tout le temps de leur mouvement dans le dessin.

Dans le cas où [VW ] est le seul pli utilisé, alors K est fixe. Le second point cerclé du dessin se déplace en même temps que L, leurs trajets parallèles sont perpendiculaires à (VW ). Le second point cerclé et L restent alignés avec le point fixe K pendant leur mouvement.

Plions maintenant les deux faces en même temps, en conservant leur symétrie par rapport au plan vertical fixe contenant (VE ). Les deux sommets représentés par les points cerclés se rencontrent en un point de ce plan de symétrie, quand les deux faces arrivent bord à bord. Le point d’arrivée des deux points cerclés est l’image d’un sommet du bord de la vasque, au point de concours des droites initiales (LC ), (KF ), et des deux trajets verts. Le point H est la position finale de K, à l’intersection de (LC ) et (RG ). Le décagone régulier en trait brun épais est le projeté du bord dentelé de la vasque sur (RUV ).

À partir du contour épais brun, on pourrait compléter le dessin de la vasque en ajoutant RSUVW et cinq segments, joignant chaque sommet de RSUVW au sommet le plus proche du contour. On dessine alors l’intérieur ou l’extérieur de la vasque, selon que le pliage a rapproché ou éloigné de nous les cinq faces mobiles pendant la formation de la vasque.

Autour de l’axe vertical de RSUVW, faire tourner la vasque d’un cinquième de tour transforme la vasque en elle-même, quel que soit le sens de rotation. Quelle que soit la face oblique de la vasque, son axe oblique coupe l’axe vertical de RSUVW au même point Ω, équidistant des quinze sommets de la vasque. Le projeté G de Ω sur le plan (RUV ) est le centre de symétrie du contour de la vasque, vue à la verticale dans l’épure n^o 10. Les épures 11 ou 12 montrent le même contour régulier dans leurs vues de dessus, et montrent en élévation l’égale répartition des dix sommets du bord de la vasque, dans deux plans horizontaux symétriques l’un de l’autre par rapport à Ω. Le calcul des trois hauteurs de Ω et des dix sommets du bord prouve cette symétrie en élévation. La conjonction des symétries centrales dans les deux projections, de dessus et en élévation, démontre la symétrie par rapport à Ω du bord dentelé de la vasque, dans l’espace à trois dimensions.

Les quinze sommets de la vasque appartiennent à une sphère de centre Ω. Une fois établie la symétrie du bord de la vasque par rapport à Ω, on ajoute à la figure le symétrique du fond de la vasque RSUVW par rapport à Ω. Et on obtient les vingt sommets du dodécaèdre sur une sphère de centre Ω. D’autres preuves de l’existence du dodécaèdre régulier convexe sont basées sur l’existence du cube, et des transformations géométriques qui le conservent. L’épure 12 montre deux cubes de même centre Ω que le dodécaèdre. Il sera question plus loin de ces deux cubes.

À partir de l’épure n^o 11, les lettres qui nommaient les sommets du décagone KFNCLAPEMB ne désignent plus dix points coplanaires, elles désignent dix sommets du dodécaèdre. Quand les lettres sont absentes d’une épure, on reconnaît quand même le solide grâce aux couleurs de ses faces, les points de la figure de l’espace ont quand même leurs noms. L’épure 14 ne respecte pas les couleurs des faces, afin de mieux montrer un pavage de triangles colorés.

Épure n^o 11.
Un dodécaèdre en élévation et de dessus. Deux faces du solide sont horizontales. La section équatoriale horizontale est le décagone régulier convexe aux côtés blancs.

Épure n^o 12.
En élévation et de dessus, le dodécaèdre dans un cube. Chaque face de ce cube contient une arête du dodécaèdre. Quelques sections planes sont tracées, qui sont des polygones réguliers.

Épure n^o 13.
Autour d’une droite passant par deux sommets opposés, une rotation d’un tiers de tour transforme le solide en lui-même, et conserve aussi l’hexagone régulier, dans le plan équatorial perpendiculaire à l’axe de rotation.

Épure n^o 14.
Vingt sections non équatoriales sont des hexagones réguliers, chaque section est perpendiculaire à une droite passant par deux sommets opposés.

Dans tous les contours du solide en perspective, au moins deux arêtes opposées ont leur distance en vraie grandeur. Entre deux arêtes symétriques l’une de l’autre par rapport à Ω, la distance φ d, ou φ² a, est aussi la distance entre les milieux des deux arêtes. Une droite passant par Ω et par le milieu d’une arête est un axe de symétrie du dodécaèdre.

En faisant tourner le dodécaèdre d’un cinquième de tour autour de l’axe commun de deux faces opposées, on obtient le même dodécaèdre. Une telle rotation conserve aussi toute section plane du solide par un plan perpendiculaire à l’axe de rotation, et parallèle à deux faces opposées. Un nombre infini de ces sections sont des pentagones réguliers convexes. Par exemple, le point T de l’épure n^o 12 appartient à l’axe de UVEKC. Si le rapport d’une homothétie de centre T est strictement compris entre 1 et φ, l’homothétie transforme la face opposée à UVEKC en une section régulière pentagonale. Quand une section parallèle à deux faces opposées n’est pas un pentagone, alors la section est un décagone convexe, conservé par une rotation d’un cinquième de tour autour de l’axe des deux faces. Ce décagone convexe a les sommets de deux pentagones réguliers isométriques et concentriques. Une telle section est un décagone régulier si et seulement si son plan passe par le centre du solide.

Dans l’épure n^o 11, le plan horizontal passant par Ω coupe dix arêtes en leurs milieux. La section équatoriale horizontale est le décagone régulier aux côtés blancs. L’intersection de la sphère circonscrite au solide et du plan horizontal de la face inférieure est en pointillé vert dans la vue de dessus, avec sa vraie forme de cercle circonscrit à la face inférieure.

Les arêtes d’un cube sont en gris clair épais dans l’épure 12. Chaque face carrée du cube contient une arête du dodécaèdre, parallèle à deux côtés du carré. Le milieu de l’arête est le centre du carré. À la surface de ce cube, quatre arêtes du dodécaèdre sont en vraie grandeur en élévation. Le plan vertical (ARΩ ) contient deux des quatre, [AR ] et son opposée. Les deux autres sont [FL ] et [PB ], symétriques l’une de l’autre par rapport à (ARΩ ). Deux arêtes du dodécaèdre à la surface du cube sont représentées par des points en élévation : les arêtes horizontales [VU ] et son opposée.

La même épure n^o 12 montre des carrés en trait fin jaune, un seul carré en élévation, non déformé par la perspective. Ce carré-là représente deux faces opposées d’un cube, dont les douze arêtes sont à la surface du dodécaèdre. Cinq cubes sont ainsi associés au dodécaèdre de Platon, tous de la même taille et de même centre Ω. Étant donné un tel cube à l’intérieur du dodécaèdre, une diagonale de chaque face du dodécaèdre est une arête du cube.

L’homothétie de centre Ω et de rapport φ agrandit le cube aux fines arêtes jaunes en l’autre cube aux grosses arêtes grises, qui contient le dodécaèdre. Alors plutôt que cinq cubes, associons cinq paires de cubes concentriques à un dodécaèdre de Platon.

La vue en élévation n^o 12 montre l’angle θ formé par deux faces d’un cube avec un plan horizontal. Dix arêtes du dodécaèdre communes à deux de ses faces obliques ont la même inclinaison. Des arcs de cercles indiquent deux angles adjacents de mesure θ. L’inclinaison d’une face oblique du dodécaèdre est le double de θ. L’angle de deux faces adjacentes est le supplément de  ( 2 θ ).  Deux lignes d’écriture inclinées renseignent sur θ. On peut déduire la valeur de θ de cette égalité : tan θ = φ – 1.

Dans les épures n^o 13 et n^o 14, la vue a la direction de (RΩ ). Deux sommets opposés du solide ont leurs images confondues avec celle de Ω. Le contour du dodécaèdre a douze côtés. Ce dodécagone est inscriptible dans un cercle, ses douze angles mesurent 150 °. En suivant le contour du solide, on rencontre une fois sur deux une arête en vraie grandeur, en alternance avec une image d’arête plus petite.

Deux sommets opposés du dodécaèdre sont les sommets opposés de deux cubes, qui ont leurs arêtes à la surface du dodécaèdre. Autour de leur diagonale commune, des rotations d’un tiers de tour dans un sens ou dans l’autre conservent chacun des cubes et le dodécaèdre. Étant donnée une droite passant par deux sommets opposés, tous les autres sommets du dodécaèdre peuvent être groupés en sommets de triangles équilatéraux, conservés par les tiers de tour autour de la droite. Par exemple autour de (RΩ ), des tiers de tour conservent les triangles équilatéraux ASW et BMV.

ASW est une face d’une pyramide régulière de sommet R, d’axe (RΩ ). Par un plan perpendiculaire à (RΩ ), ou parallèle à (ASW ), une section de la pyramide est aussi une section du dodécaèdre. C’est une réduction de ASW par une homothétie de centre R. Un tel triangle est tracé en vert dans l’épure n^o 12. Une infinité de sections du solide sont des triangles équilatéraux.

Un tiers de tour autour de (RΩ ) conserve toute section du solide par un plan perpendiculaire à (RΩ ). Toujours inscriptible dans un cercle, une telle section aurait sa vraie forme dans l’épure n^o 13 ou n^o 14. Ce serait soit un triangle équilatéral, derrière ou devant le solide, soit un hexagone. Par exemple, les deux dernières épures donnent sa vraie forme à l’hexagone BUVFMN, sans le tracer. Comme toutes les sections hexagonales perpendiculaires à une droite passant par un sommet et par le centre du dodécaèdre, BUVFMN est un hexagone de l’ensemble ℱ défini plus haut. Les éléments de ℱ sont des sections de trois sortes de solides différents par des plans idoines.

Parmi ces sections hexagonales, certaines sont des hexagones réguliers. Une même épure n^o 13 ou n^o 14 montre des hexagones réguliers de la même taille. Les vingt hexagones évoqués par la n^o 14 sont plus petits que les dix autres, dont les plans passent par Ω. Quand deux images d’arêtes de l’épure n^o 13 se coupent, l’une en trait plein et l’autre en pointillé, leur point d’intersection représente un sommet d’hexagone de l’épure n^o 14.

Le plan perpendiculaire en Ω à (RΩ ) coupe six arêtes du solide en leurs milieux, les sommets de l’hexagone rouge de l’épure n^o 13. L’un des hexagones réguliers de l’épure est déformé par la perspective, l’autre ne l’est pas.

Cette rubrique se termine en commentant l’épure n^o 14, jusqu’à conclure sur des icosaèdres. Afin de renseigner sur des rapports de longueurs, deux sortes de triangles pavent en partie une face du solide. Ils pourraient paver la face entière, ou toute la surface du solide. Tous ces triangles sont isocèles, deux d’une même sorte sont isométriques – superposables –.

Le plan d’une section partage six arêtes du solide dans le même rapport φ², ou φ + 1. La longueur du plus petit segment découpé est choisie comme longueur unité. Avec cette unité-là, 2 φ + 1 ou φ³ est la longueur des six côtés d’une section régulière.

La perspective déforme tous les triangles qui pavent une partie de RSUVW. Et l’unité de longueur indiquée en haut à droite a une image rapetissée. Mais en haut à gauche, le dessin montre les formes réelles de trois triangles assemblés en un pentagone régulier convexe, il montre la réelle unité de longueur. Avec cette unité-là un triangle bleu possède deux côtés de longueur φ, le nombre d’or, et un côté de longueur unité. Dans l’autre sorte de triangle, deux côtés mesurent l’unité de longueur, le troisième côté est de longueur φ.

L’hexagone mauve a sa vraie forme et sa vraie grandeur. Il représente deux sections symétriques l’une de l’autre par rapport à Ω. L’une est entièrement devant le solide, elle a un sommet commun avec l’hexagone vert. L’hexagone régulier vert a tous ses côtés rapetissés par la perspective. D’axe (LB ) comme l’hexagone vert, le symétrique de l’hexagone vert par rapport à Ω n’est pas dessiné. Il a un sommet derrière le solide représenté comme un sommet du mauve, à l’intersection des images d’une arête en pointillé et de [AM ] en trait plein.

Le nombre de ces sections-là est le nombre de sommets du solide. Les plans des vingt hexagones réguliers sont les plans des faces d’un dual du dodécaèdre : un icosaèdre de Platon. Ces vingt plans sont perpendiculaires aux dix droites passant par un sommet et par le centre du dodécaèdre. Ils sont parallèles aux faces de l’un ou l’autre dual canonique du dodécaèdre. Les trois icosaèdres concentriques sont deux à deux homothétiques dans des homothéties de centre Ω.

Icosaèdre de Platon

Contre-exemples

Pour qu’un polyèdre soit régulier, il faut que toutes ses faces soient des polygones réguliers isométriques – superposables –. Cette condition ne suffit pas. Par exemple, en ajoutant à un tétraèdre régulier son symétrique par rapport au plan d’une face, on obtient un hexaèdre dont les faces sont des triangles équilatéraux de même taille. Parfois appelé « diamant triangulaire », cet hexaèdre est convexe. Il n’est pas régulier, parce que l’un quelconque de ses sommets est commun soit à trois faces, soit à quatre. Pour qu’un polyèdre soit régulier, il faut et il suffit que ses faces soient des polygones réguliers isométriques, et qu’à chaque sommet les arêtes issues du sommet forment des figures isométriques. Non régulier, cet hexaèdre construit à partir d’un tétraèdre régulier n’est pas un solide de Platon.

Parce que les faces d’un polyèdre peuvent se couper, définir l’ensemble des arêtes d’un polyèdre ne suffit pas à définir le polyèdre. Par exemple, prenons un octaèdre régulier. Prenons ses trois carrés diagonaux et quatre de ses faces, de façon que deux faces triangulaires quelconques n’aient pas d’arête commune. Et voilà les sept faces d’un tétrahémihexaèdre, qui a les mêmes sommets et les mêmes arêtes que l’octaèdre initial. Ce polyèdre de sept faces n’est ni régulier, ni convexe. Ce n’est donc pas un solide de Platon. Nommer des sommets en partant d’un sommet quelconque et en suivant des arêtes, désigner l’octaèdre de l’épure n^o 1 par ABCHLU par exemple, ce serait incorrect parce que deux objets différents ne peuvent pas porter le même nom.