Groupe De Symétrie

Un tétraèdre peut être placé dans 12 positions distinctes par une seule rotation. Celles-ci sont illustrées ci-dessus dans le format d'un graphe de cycle, avec des rotations à 180° par rapport à une arête (flèches bleues) et à 120° par rapport à un sommet (flèches rouges) qui permutent le tétraèdre à travers les positions. Les 12 rotations forment le groupe (de symétrie) de rotation de la figure.

Le groupe de symétrie d'un objet (image, signal, etc., e.g. en 1D, 2D ou 3D) est le groupe de toutes les isométries sous lesquelles il est invariant avec la composition en tant qu'opération. C'est un sous-groupe du groupe d'isométrie de l'espace concerné.

(Si cela n'est pas indiqué, nous considérons les groupes de symétrie dans la géométrie euclidienne ici, mais le concept peut aussi être étudié dans des contextes plus larges, voir ci-dessous).

Les "objets" peuvent être des figures géométriques, des images et des motifs, tel que les motif de papier-peint. La définition peut être rendue plus précise en précisant ce que l'on entend par image ou motif, e.g. une fonction de position avec des valeurs dans un ensemble de couleurs. Pour la symétrie des corps en 3D, par exemple, on peut aussi vouloir prendre en compte la composition physique. Le groupe des isométries de l'espace induit une action de groupe sur les objets à l'intérieur de lui.

Le groupe de symétrie est quelquefois appelé le groupe de symétrie complet afin de souligner qu'il inclut les isométries de changement d'orientation (comme les réflexions, les antitranslations et les rotations impropres) sous lesquelles la figure est invariant. Le sous-groupe des isométries qui conservent l'orientation (i.e. les translations, les rotations et les compositions de celles-ci) qui laissent la figure invariante est appelé son groupe de symétrie propre. Le groupe de symétrie propre d'un objet est égal à son groupe de symétrie complet si et seulement si l'objet est chiral (et ainsi, il n'existe pas d'isométries de changement d'orientations sous lesquelles il est invariant).

Tout groupe de symétrie dont les éléments ont un point fixe commun, ce qui est vrai pour tous les groupes de symétrie de figures limitées, peut être représenté comme un sous-groupe du groupe orthogonal O(n) en choisissant l'origine pour point fixe. Le groupe de symétrie propre est alors un sous-groupe du groupe orthogonal spécial SO(n), et par conséquent, il est aussi appelé le groupe de rotation de la figure.

Les groupes de symétrie discrets sont de trois sortes : (1) les groupes ponctuels de symétrie finis, qui incluent seulement les rotations, les réflexions, les inversions et les roto-inversion - ils sont en fait simplement des sous-groupes finis de O(n), (2) les groupes réseau infinis, qui incluent seulement les translations et (3) les groupes d'espace infinis qui combinent les éléments des deux sortes précédentes, et qui peuvent aussi inclure des transformations supplémentaires comme les similitudes directes et les antitranslations. Il existe aussi les groupes de symétrie continus, qui contiennent des rotations d'angles arbitrairement petits ou des translations de distances arbitrairement petites. Le groupe de toutes les symétries d'une sphère O(3) est un exemple de ceci, et en général, de tels groupes de symétrie continue sont étudiés comme des groupes de Lie. Avec une catégorisation de sous-groupes du groupe euclidien correspond une catégorisation de groupes de symétrie.

Deux figures géométriques sont considérées avoir le même type de symétrie si leurs groupes de symétries sont des sous-groupes conjugués du groupe euclidien E(n) (le groupe d'isométrie de Rⁿ), où deux sous-groupes H₁, H₂ d'un groupe G sont conjugué, s'il existe g ∈ G tel que H₁=g^-1H₂g. Par exemple :

• deux figures 3D ont une symétrie miroir, mais en respectant un plan miroir différent
• deux figures 3D ont une symétrie rotationnelle d'ordre 3, mais en respectant un axe différent
• deux motifs 2D ont une symétrie de translation, chacun dans une direction; les deux vecteurs de translation ont la même longueur mais une direction différente

Quelquefois, un concept plus large, le "même type de symétrie" est utilisé, par exemple dans les 17 groupes de papier-peint.

Lorsque l'on considère les groupes d'isométrie, on peut se limiter à ceux où pour tous les points, l'ensemble des images sous les isométries est topologiquement fermé. Ceci exclut, par exemple, dans le groupe 1D des translations par un nombre rationnel. Une "figure" avec ce groupe de symétrie est impossible à dessiner et arbitrairement homogène en détail, sans être réellement homogène.

Une dimension

Les groupes d'isométrie en une dimension où, pour tous les points, l'ensemble des images sous les isométries est topologiquement fermé sont :

• le groupe trivial C₁
• les groupes de deux éléments engendrés par une réflexion d'un point; ils sont isomorphes avec C₂
• les groupes discrets infinis engendrés par une translation; ils sont isomorphes avec Z
• Les groupes discrets infinis engendrés par une translation et une réflexion en un point; ils sont isomorphes avec le groupe diédral généralisé de Z, Dih(Z), aussi noté D_∞ (qui est un produit semi-direct de Z et C₂).
• Le groupe engendré par toutes les translations (isomorphes avec R); ce groupe ne peut pas être le groupe de symétrie d'un "motif" : il serait homogène, par conséquent il pourrait aussi être réfléchi. Néanmoins, un champ de vecteurs unidimensionnels uniforme a ce groupe de symétrie.
• Le groupe engendré par toutes les translations et réflexions en tous points; ils sont isomorphes avec le groupe diédral généralisé de R, Dih(R).

Voir aussi groupes de symétrie en une dimension.

Deux dimensions

Jusqu'à la conjugaison, les groupes de point discrets dans un espace bidimensionnel sont des classes suivantes :

• les groupes cycliques C₁, C₂, C₃, C₄,... où C_n est constitué de toutes les rotations autour d'un point fixé par des multiples de l'angle 360°/n
• les groupes diédraux D₁, D₂, , D₄,... où D_n (d'ordre 2n) est constitué des rotations dans C_n avec les réflexions de n axes qui passent à travers le point fixé.

C₁ est le groupe trivial contenant seulement l'opération identité, qui apparaît lorsque la figure n'a pas de symétrie du tout, par exemple la lettre F. C₂ est le groupe de symétrie de la lettre Z, C₃, celui d'un triskel, C₄ d'une svastika et C₅, C₆ etc. sont les groupes de symétrie de figures similaires à la svastika avec cinq, six etc. bras à la place de quatre.

D₁ est le groupe à 2 éléments contenant l'opération identité et une réflexion unique, qui apparaît lorsque la figure a seulement un seul axe de symétrie bilatéral, par exemple la lettre A. D₂, qui est isomorphe au groupe de Klein, est le groupe de symétrie d'un rectangle non-équilatéral, et D₃, D₄ etc. sont les groupes de symétrie des polygones réguliers.

Les groupes de symétrie actuels dans chacun de ces cas ont deux degrés de liberté pour le centre de rotation, et dans le cas des groupes diédriques, un de plus pour les positions des miroirs.

Les groupes d'isométrie restants en 2D avec un point fixé, où pour tous les points, l'ensemble des images sous les isométries est topologiquement clos, sont :

• Le groupe orthogonal spécial SO(2) constitué de toutes les rotations autour d'un point fixé ; il est aussi appelé le groupe cercle S¹, le groupe multiplicatif des nombres complexes de module 1. C'est le groupe de symétrie propre d'un cercle et l'équivalent continu de C_n. Il n'existe pas de figure qui a un groupe cercle de symétrie complet, mais pour un champ de vecteur, il peut être appliqué (voir le cas 3D ci-dessous).
• Le groupe orthogonal O(2) constitué de toutes les rotations autour d'un point fixé et des réflexions d'un axe quelconque à travers ce point fixé. C'est le groupe de symétrie d'un cercle. Il est aussi appelé Dih(S¹) comme c'est le groupe diédral généralisé de S¹.

Pour les figures non-limitées, les groupes d'isométrie supplémentaires peuvent inclure les translations; ceux qui sont clos sont :

• les 7 groupes de frise
• les 17 groupes de papier-peint
• pour chaque groupe de symétrie en 1D, la combinaison de toutes les symétries dans ce groupe à une direction, et le groupe de toutes les translations dans la direction perpendiculaire.

Trois dimensions

À une conjugaison près, l'ensemble des groupes de point 3D est constitué de 7 séries infinies et de 7 autres séparées. En cristallographie, ils sont restreints pour être compatibles avec les symétries discrètes de translation d'un réseau cristallin. Cette restriction cristallographique de la famille infinie de groupes généraux de point a pour résultat 32 groupes de point cristallographiques (27 à partir des 7 séries infinies et 5 des 7 autres).

Voir groupes de point en trois dimensions.

Les groupes de symétrie continue avec un point fixé incluent :

• la symétrie cylindrique sans une symétrie plane perpendiculaire à l'axe, ceci s'applique souvent à une bouteille, par exemple.
• la symétrie cylindrique avec une symétrie plane perpendiculaire à l'axe
• la symétrie sphérique

Pour les objets et les champs scalaires, la symétrie cylindrique impliques des plans verticaux de réflexion. Ce n'est pas le cas pour les champs de vecteur : en coordonnées cylindriques qui conserve un certain axe, a une symétrie cylindrique qui conserve l'axe si et seulement si A_ρ,A_φ, et A_z ont cette symétrie, i.e., ils ne dépendent pas de φ. De plus, il existe une symétrie de réflexion si et seulement si A_φ = 0.

Pour la symétrie sphérique, il n'existe pas de telle distinction, elle implique des plans de réflexion.

Les groupes de symétrie continue sans un point fixé incluent celles avec un axe hélicoïdal, telle qu'une hélice infinie. Voir aussi sous-groupes de groupe euclidien.

Groupes de symétrie en général

Dans des contextes plus larges, un groupe de symétrie peut être toute sorte de groupe de transformation, ou groupe d'automorphisme. Une fois que nous connaissons quelle sorte de structure mathématique nous avons affaire, nous devrions être capable de déterminer quelle applications conservent la structure. Inversement, en précisant la symétrie, on peut définir la structure, ou au moins clarifier ce que l'on entend par un invariant, langage géométrique avec lequel on parle; c'est une manière de voir dans le programme d'Erlangen.

Par exemple, les groupes d'automorphismes de certains modèles de géométries finies ne sont pas des "groupes de symétrie" dans le sens commun, bien qu'ils conservent la symétrie. Ils le font en conservant les familles d'ensembles de point plutôt que les "objets" eux-mêmes. Voir groupes de motifs.

Comme ci-dessus, le groupe d'automorphismes de l'espace induit une action de groupe sur les objets qu'il contient.

Pour une figure géométrique donnée dans un espace géométrique donné, on considère la relation d'équivalence suivante : deux automorphismes de l'espace sont équivalents si et seulement si les deux images de la figure sont les mêmes (ici "les mêmes" ne signifie pas quelque chose comme par exemple "le même à une translation et une rotation près", mais signifie "exactement le même"). Alors, la classe d'équivalence de l'identité est le groupe de symétrie de la figure et chaque classe d'équivalence correspond à une version isomorphe de la figure.

Il existe une bijection entre chaque paire de classes d'équivalence : l'inverse du représentant de la première classe d'équivalence, composé d'un représentant de la deuxième.

Dans le cas d'un groupe d'automorphisme fini d'un espace entier, son ordre est l'ordre du groupe de symétrie de la figure multiplié par le nombre de versions isomorphes de la figure.

Exemples :

• Isométries du plan euclidien, la figure est un rectangle : il existe une infinité de classes d'équivalence; chacune contient 4 isométries.
• L'espace est un cube avec une métrique euclidienne ; les figures incluent les cubes de la même taille que l'espace, avec des couleurs ou des motifs sur les faces; les automorphismes de l'espace sont les 48 isométries ; la figure est un cube dont une face a une couleur différente ; la figure a un groupe de symétrie de 8 isométries, il existe 6 classes d'équivalence de 8 isométries, pour 6 versions isomorphes de la figure.

Comparer le théorème de Lagrange et sa démonstration.

Voir aussi

• symétrie
• groupes de symétrie en une dimension
• groupe de permutation
• points fixés des groupes d'isométrie dans l'espace euclidien
• isométrie du plan euclidien
• action de groupe
• groupe ponctuel de symétrie
• système cristallin
• groupe d'espace

Liens externes

• Vue d'ensemble sur les 32 groupes de point cristallographiques - forme les premières parties (indépendamment du saut n=5) des 7 séries infinies et 5 des 7 groupes de points 3D séparés

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