Solide de Johnson

La gyrobicoupole octogonale allongée (J₃₇), un solide de Johnson.

Ce cube composé de 24 faces carrées n'est pas un solide de Johnson parce qu'il n'est pas strictement convexe (il a des angles diédraux égaux à zéro.

Cet exemple à 24 triangles n'est pas un solide de Johnson parce qu'il est concave.

En géométrie, un solide de Johnson est un polyèdre strictement convexe dont chaque face est un polygone régulier et qui n'est pas un solide de Platon, un solide d'Archimède, un prisme ou un antiprisme. Il n'est pas nécessaire que chaque face soit un polygone identique, ou que les mêmes polygones se rejoignent autour de chaque sommet. Un exemple de solide de Johnson est la pyramide à base carrée avec des côtés triangulaires équilatéraux (J₁) ; il possède une face carrée et quatre faces triangulaires.

Comme dans un solide strictement convexe au moins trois faces se rencontrent à chaque sommet, le total de leurs angles est moindre que 360 degrés. Puisqu'un polygone régulier possède des angles supérieurs à 60 degrés, on en déduit que cinq faces au plus se rencontrent à un sommet quelconque. La pyramide pentagonale (J₂) est un exemple qui a un sommet de degré 5.

Bien qu'il n'existe pas de restriction évidente qu'un polygone régulier quelconque donné puisse être un solide de Johnson, il s'avère que les faces des solides de Johnson ont toujours 3, 4, 5, 6, 8 ou 10 côtés.

En 1966, Norman Johnson a publié une liste qui incluait les 92 solides, et leur donna leurs noms et leurs nombres. Il ne démontra pas qu'il n'en existait que 92, mais il conjectura qu'il n'y en avait pas d'autres. Victor Zalgaller en 1969 a démontré que la liste de Johnson était complète. On utilise les noms et l'ordre donnés par Johnson, et on les note J_xx.

Des solides de Johnson, la gyrobicoupole octogonale allongée (J₃₇) est le seul qui est de sommet uniforme : il existe quatre faces à chaque sommet, et leur arrangement est toujours le même : trois carrés et un triangle.

Noms

Les noms sont listés ci-dessous et sont plus descriptifs que ce que l'on entend. Beaucoup de ces solides peuvent être construits par ajout de pyramides, de coupoles et de rotondes sur des faces de solide de Platon, solide d'Archimède, de prismes ou d'antiprismes.

• Le préfixe Bi- signifie que deux copies du solide en question sont jointes base sur base. Pour les coupoles et les rotondes, elles peuvent être jointes telles que les faces se rencontrent (ortho-) ou non (gyro-). Dans cette nomenclature, un octaèdre serait nommé une bipyramide carrée, un cuboctaèdre serait nommé une gyrobicoupole hexagonale et un icosidodécaèdre une gyrobirotonde décagonale.

• Allongé signifie qu'un prisme a été joint à la base du solide en question ou entre les bases des solides en question. Un rhombicuboctaèdre serait nommé une orthobicoupole octogonale allongée.
• Gyroallongée signifie qu'un antiprisme a été joint à la base du solide en question ou entre les bases des solides en question. Un icosaèdre serait nommé une bipyramide pentagonale gyroallongée.

• Augmenté signifie qu'une pyramide ou une coupole a été jointe à une face du solide en question.
• Diminuée signifie qu'une pyramide ou une coupole a été enlevée du solide en question.

• Gyration signifie qu'une coupole sur le solide en question a subi une rotation telle que les différentes arêtes coïncident, comme pour la différence entre ortho et gyro bicoupoles.

Les trois dernières opérations — augmentation, diminution et gyration — peuvent être exécutées plus d'une fois sur un solide suffisamment grand. Nous ajoutons bi- au nom de l'opération pour indiquer que cela a été exécuté deux fois. (Un solide bigyré a deux de ses coupoles ayant subi une rotation). Nous ajoutons tri- pour indiquer que cela a été exécuté trois fois. (Un solide tridimininué a trois de ses pyramides ou coupoles enlevées).

Quelquefois, bi- tout seul n'est pas assez précis. Nous devons distinguer entre un solide qui a deux faces parallèles altérées et un qui a deux faces obliques altérées. Lorsque deux faces altérées sont parallèles, nous ajoutons para- au nom de l'opération. (Un solide parabiaugmenté possède deux faces parallèles augmentées). Lorsque elles ne le sont pas, nous ajoutons méta- au nom de l'opération. (Un solide métabiaugmenté possède deux faces obliques augmentées).

Liste et noms de Johnson

S : nombre de sommets,
A : nombre d'arêtes,
F : nombre total de faces, dont :
F₃ triangles,
F₄ carrés,
F₅ pentagones,
F₆ hexagones,
F₈ octogones,
F₁₀ décagones.

Prismatoïdes et rotondes

• pyramides
• coupoles
• rotondes

Jn	Nom du solide	Image	Type	S	A	F	F3	F4	F5	F6	F8	F10	Symétrie
1	pyramide carrée		pyramide	5	8	5	4	1	0	0	0	0	C4v
2	pyramide pentagonale		pyramide	6	10	6	5	0	1	0	0	0	C5v
3	coupole hexagonale		coupole	9	15	8	4	3	0	1	0	0	C3v
4	coupole octogonale		coupole	12	20	10	4	5	0	0	1	0	C4v
5	coupole décagonale		coupole	15	25	12	5	5	1	0	0	1	C5v
6	rotonde décagonale		rotonde	20	35	17	10	0	6	0	0	1	C5v

Pyramides modifiées et dipyramides

• pyramide allongée
• pyramide gyroallongée
• bipyramide
• dipyramide allongée
• dipyramide gyroallongée

Jn	Nom du solide	Image	Type	S	A	F	F3	F4	F5	F6	F8	F10	Symétrie
7	pyramide triangulaire allongée		pyramide allongée	7	12	7	4	3	0	0	0	0	C3v
8	pyramide carrée allongée		pyramide allongée	9	16	9	4	5	0	0	0	0	C4v
9	pyramide pentagonale allongée		pyramide allongée	11	20	11	5	5	1	0	0	0	C5v
10	pyramide carrée gyroallongée		pyramide gyroallongée	9	20	13	12	1	0	0	0	0	C4v
11	pyramide pentagonale gyroallongée		pyramide gyroallongée	11	25	16	15	0	1	0	0	0	C5v
12	diamant triangulaire		dipyramide (ou diamant)	5	9	6	6	0	0	0	0	0	D3h
13	diamant pentagonal		dipyramide (ou diamant)	7	15	10	10	0	0	0	0	0	D5h
14	diamant triangulaire allongé		dipyramide allongée (ou diamant) allongé	8	15	9	6	3	0	0	0	0	D3h
15	diamant carré allongé		dipyramide allongée (ou diamant) allongé	10	20	12	8	4	0	0	0	0	D4h
16	diamant pentagonal allongé		dipyramide allongée (ou diamant) allongé	12	25	15	10	5	0	0	0	0	D5h
17	diamant carré gyroallongé		dipyramide allongée ou (diamant) allongé	10	24	16	16	0	0	0	0	0	D4d

Coupoles et rotondes modifiées

• coupole allongée
• rotonde allongée
• birotonde allongée
• coupole-rotonde allongée
• bicoupole allongée
• coupole gyroallongée
• rotonde gyroallongée
• bicoupole
• birotonde
• coupole-rotonde
• bicoupole gyroallongée
• birotonde gyroallongée
• coupole-rotonde gyroallongée

Jn	Nom du solide	Image	Type	S	A	F	F3	F4	F5	F6	F8	F10	Symétrie
18	coupole hexagonale allongée		coupole allongée	15	27	14	4	9	0	1	0	0	C3v
19	coupole octogonale allongée		coupole allongée	20	36	18	4	13	0	0	1	0	C4v
20	coupole décagonale allongée		coupole allongée	25	45	22	5	15	1	0	0	1	C5v
21	rotonde décagonale allongée		rotonde allongée	30	55	27	10	10	6	0	0	1	C5v
22	coupole hexagonale gyroallongée		coupole gyroallongée	15	33	20	16	3	0	1	0	0	C3v
23	coupole octogonale gyroallongée		coupole gyroallongée	20	44	26	20	5	0	0	1	0	C4v
24	coupole décagonale gyroallongée		coupole gyroallongée	25	55	32	25	5	1	0	0	1	C5v
25	rotonde décagonale gyroallongée		rotonde gyroallongée	30	65	37	30	0	6	0	0	1	C5v
26	gyrobiprisme triangulaire		bicoupole	8	14	8	4	4	0	0	0	0	D2d
27	orthobicoupole hexagonale		bicoupole	12	24	14	8	6	0	0	0	0	D3h
28	orthobicoupole octogonale		bicoupole	16	32	18	8	10	0	0	0	0	D4h
29	gyrobicoupole octogonale		bicoupole	16	32	18	8	10	0	0	0	0	D4d
30	orthobicoupole décagonale		bicoupole	20	40	22	10	10	2	0	0	0	D5h
31	gyrobicoupole décagonale		bicoupole	20	40	22	10	10	2	0	0	0	D5d
32	orthocoupole-rotonde décagonale		coupole-rotonde	25	50	27	15	5	7	0	0	0	C5v
33	gyrocoupole-rotonde décagonale		coupole-rotonde	25	50	27	15	5	7	0	0	0	C5v
34	orthobirotonde décagonale		birotonde	30	60	32	20	0	12	0	0	0	C5v
35	orthobicoupole hexagonale allongée		bicoupole allongée	18	36	20	8	12	0	0	0	0	D3h
36	gyrobicoupole hexagonale allongée		bicoupole allongée	18	36	20	8	12	0	0	0	0	D3d
37	gyrobicoupole octogonale allongée		bicoupole allongée	24	48	26	8	18	0	0	0	0	D4h
38	orthobicoupole décagonale allongée		bicoupole allongée	30	60	32	10	20	2	0	0	0	D5h
39	gyrobicoupole décagonale allongée		bicoupole allongée	30	60	32	10	20	2	0	0	0	D5v
40	orthocoupole-rotonde décagonale allongée		coupole-rotonde allongée	35	70	37	15	15	7	0	0	0	C5v
41	gyrocoupole-rotonde décagonale allongée		coupole-rotonde allongée	35	70	37	15	15	7	0	0	0	C5v
42	orthobirotonde décagonale allongée		birotonde allongée	40	80	42	20	10	12	0	0	0	D5h
43	gyrobirotonde décagonale allongée		birotonde allongée	40	80	42	20	10	12	0	0	0	D5v
44	bicoupole hexagonale gyroallongée		bicoupole gyroallongée	18	42	26	20	6	0	0	0	0	D3v
45	bicoupole octogonale gyroallongée		bicoupole gyroallongée	24	56	34	24	10	0	0	0	0	D4v
46	bicoupole décagonale gyroallongée		bicoupole gyroallongée	30	70	42	30	10	2	0	0	0	D5v
47	coupole-rotonde décagonale gyroallongée		coupole-rotonde gyroallongée	35	80	47	35	5	7	0	0	0	C5v
48	birotonde décagonale gyroallongée		birotonde gyroallongée	40	90	52	40	0	12	0	0	0	C5v

Prismes augmentés

Jn	Nom du solide	Image	Type	S	A	F	F3	F4	F5	F6	F8	F10	Symétrie
49	prisme triangulaire augmenté		prisme augmenté	7	13	8	6	2	0	0	0	0	C2v
50	prisme triangulaire biaugmenté		prisme augmenté	8	17	11	10	1	0	0	0	0	C2v
51	prisme triangulaire triaugmenté		prisme augmenté	9	21	14	14	0	0	0	0	0	D3h
52	prisme pentagonal augmenté		prisme augmenté	11	19	10	4	4	2	0	0	0	C2v
53	prisme pentagonal biaugmenté		prisme augmenté	12	23	13	8	3	2	0	0	0	Cs
54	prisme hexagonal augmenté		prisme augmenté	13	22	11	4	5	0	2	0	0	C2h
55	prisme hexagonal parabiaugmenté		prisme augmenté	14	26	14	8	4	0	2	0	0	D2h
56	prisme hexagonal métabiaugmenté		prisme augmenté	14	26	14	8	4	0	2	0	0	C2v
57	prisme hexagonal triaugmenté		prisme augmenté	15	30	17	12	3	0	2	0	0	D3h

Solides de Platon modifiés

• Dodécaèdres augmentés
• Icosaèdres diminués

Jn	Nom du solide	Image	Type	S	A	F	F3	F4	F5	F6	F8	F10	Symétrie
58	dodécaèdre augmenté		dodécaèdre augmenté	21	35	16	5	0	11	0	0	0	C2v
59	dodécaèdre parabiaugmenté		dodécaèdre augmenté	22	40	20	10	0	10	0	0	0	C2v
60	dodécaèdre métabiaugmenté		dodécaèdre augmenté	22	40	20	10	0	10	0	0	0	-
61	dodécaèdre triaugmenté		dodécaèdre augmenté	23	45	24	15	0	9	0	0	0	-
62	icosaèdre métabidiminué		icosaèdre diminué	10	20	12	10	0	2	0	0	0	-
63	icosaèdre tridiminué		icosaèdre diminué	9	15	8	5	0	3	0	0	0	-
64	icosaèdre tridiminué augmenté		icosaèdre diminué	10	18	10	7	0	3	0	0	0	-

Solides d'Archimède modifiés

• Tétraèdre tronqué augmenté
• Cube tronqué augmenté
• Dodécaèdre tronqué augmenté
• Petit rhombicosidodécaèdre gyré
• Petit rhombicosidodécaèdre diminué
• Petit rhombicosidodécaèdre diminué gyré

Jn	Nom du solide	Image	Type	S	A	F	F3	F4	F5	F6	F8	F10	Symétrie
65	tétraèdre tronqué augmenté		tétraèdre tronqué augmenté	15	27	14	8	3	0	3	0	0	-
66	cube tronqué augmenté		cube tronqué augmenté	28	48	22	12	5	0	0	5	0	-
67	cube tronqué biaugmenté		cube tronqué augmenté	32	60	30	16	10	0	0	4	0	-
68	dodécaèdre tronqué augmenté		dodécaèdre tronqué augmenté	65	105	42	25	5	1	0	0	11	-
69	dodécaèdre tronqué parabiaugmenté		dodécaèdre tronqué augmenté	70	120	52	30	10	2	0	0	10	-
70	dodécaèdre tronqué métabiaugmenté		dodécaèdre tronqué augmenté	70	120	52	30	10	2	0	0	10	-
71	dodécaèdre tronqué triaugmenté		dodécaèdre tronqué augmenté	75	135	62	35	15	3	0	0	9	-
72	gyro-rhombicosidodécaèdre		rhombicosidodécaèdre gyré	60	120	62	20	30	12	0	0	0	-
73	parabigyro-rhombicosidodécaèdre		rhombicosidodécaèdre gyré	60	120	62	20	30	12	0	0	0	-
74	métabigyro-rhombicosidodécaèdre		rhombicosidodécaèdre gyré	60	120	62	20	30	12	0	0	0	-
75	trigyro-rhombicosidodécaèdre		rhombicosidodécaèdre gyré	60	120	62	20	30	12	0	0	0	-
76	rhombicosidodécaèdre diminué		rhombicosidodécaèdre diminué	55	105	52	15	25	11	0	0	1	-
77	rhombicosidodécaèdre paragyrodiminué		rhombicosidodécaèdre diminué	55	105	52	15	25	11	0	0	1	-
78	rhombicosidodécaèdre métagyrodiminué		rhombicosidodécaèdre diminué	55	105	52	15	25	11	0	0	1	-
79	rhombicosidodécaèdre bigyrodiminué		rhombicosidodécaèdre diminué	55	105	52	15	25	11	0	0	1	-
80	rhombicosidodécaèdre parabidiminué		rhombicosidodécaèdre diminué	50	90	42	10	20	10	0	0	2	-
81	rhombicosidodécaèdre métabidiminué		rhombicosidodécaèdre diminué	50	90	42	10	20	10	0	0	2	-
82	rhombicosidodécaèdre gyrobidiminué		rhombicosidodécaèdre diminué	50	90	42	10	20	10	0	0	2	-
83	rhombicosidodécaèdre tridiminué		rhombicosidodécaèdre diminué	45	75	32	5	15	9	0	0	3	-

Divers

Jn	Nom du solide	Image	Type	S	A	F	F3	F4	F5	F6	F8	F10	Symétrie
84	Disphénoïde adouci		-	8	18	12	12	0	0	0	0	0	-
85	antiprisme carré adouci		-	16	40	26	24	2	0	0	0	0	-
86	sphéno-couronne		-	10	22	14	12	2	0	0	0	0	-
87	sphéno-couronne augmentée		-	11	26	17	16	1	0	0	0	0	-
88	sphénoméga-couronne		-	12	28	18	16	2	0	0	0	0	-
89	hébesphénoméga-couronne		-	14	33	21	18	3	0	0	0	0	-
90	disphéno-ceinture		-	16	38	24	20	4	0	0	0	0	-
91	birotonde bilunaire		-	14	26	14	8	2	0	0	0	0	-
92	hébesphéno-rotonde triangulaire		-	18	36	20	13	3	3	1	0	0	-

Références

• Norman W. Johnson, "Convex Solids with Regular Faces", Canadian Journal of Mathematics, 18, 1966, pages 169–200. Contient l'énumération originale des 92 solides et la conjecture affirmant qu'il n'y en a pas d'autres.
• Victor A. Zalgaller, "Convex Polyhedra with Regular Faces", 1969 : première preuve de cette conjecture.
• Eric W. Weisstein. Johnson Solid : chaque solide avec son patron

Liens externes

• (en) Paper Models of Polyhedra de nombreux liens
• (en) Solides de Johnson par George W. Hart.
• (en) Images des 92 solides, catégorisés, sur une page.

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