4-polytope régulier convexe

4-polytope régulier convexe: Un hypercube en rotation

En mathématique, un polytope régulier convexe à 4 dimensions (ou polychore) est un polytope à 4 dimensions qui est à la fois régulier et convexe. Ce sont les analogues en 4 dimensions des solides de Platon (3 dimensions) et des polygones réguliers (2 dimensions).

Ces polytopes furent décrits la première fois par le mathématicien suisse Ludwig Schläfli au milieu du XIX^e siècle. Schläfli découvrit qu'il y avait précisément six figures de ce type. Cinq d'entre elles sont considérées comme les analogues de dimension 4 des solides de Platon. Il y a une figure supplémentaire (l'icositétrachore) qui n'a aucun équivalent tri-dimensionnel.

Chaque polytope régulier convexe à 4 dimensions est limité par des cellules tri-dimensionnelles qui sont toutes des solides de Platon du même type et de même taille. Ceux-ci sont organisés ensemble le long de leur côtés de manière régulière.

Ils sont tous homéomorphes à une hypersphère à la surface tri-dimensionnelle, leur caractéristique d'Euler-Poincaré vaut donc 0.

Sommaire

1 Propriétés

1.1 Caractéristiques

1.2 Dimensions

1.3 Représentations

2 Liste

2.1 Pentachore

2.2 Tesseract

2.3 Hexadécachore

2.4 Icositétrachore

2.5 Hécatonicosachore

2.6 Hexacosichore

3 Notes et références

4 Voir aussi

4.1 Articles connexes

4.2 Liens externes

4.3 Bibliographie

Propriétés

Caractéristiques

Le tableau suivant résume les caractéristiques principales des polychores réguliers :

Symbole de Schläfli

Nombre de sommets, d'arêtes, de faces et de cellules

Figure de sommet

Polychore dual

Groupe de Coxeter et ordre du groupe

Polychore Symbole de Schläfli Sommets Arêtes Faces Cellules Figure de sommet Dual Groupe de Coxeter Ordre

Pentachore {3,3,3} 5 10 10
(triangles) 5
(tétraèdres) Tétraèdre (Lui-même) A₄ 120

Tesseract {4,3,3} 16 32 24
(carrés) 8
(cubes) Tétraèdre Hexadécachore B₄ 384

Hexadécachore {3,3,4} 8 24 32
(triangles) 16
(tétraèdres) Octaèdre Tesseract B₄ 384

Icositétrachore {3,4,3} 24 96 96
(triangles) 24
(octaèdres) Cube (Lui-même) F₄ 1 152

Hécatonicosachore {5,3,3} 600 1 200 720
(pentagones) 120
(dodécaèdres) Tétraèdre Hexacosichore H₄ 14 400

Hexacosichore {3,3,5} 120 720 1 200
(triangles) 600
(tétraèdres) Icosaèdre Hécatonicosachore H₄ 14 400

Dimensions

Le tableau suivant résume certaines propriétés géométriques des polychores réguliers :

V : hypervolume

S : hypersurface

R : rayon de la 3-sphère circonscrite

r : rayon de la 3-sphère inscrite (r)

θ : angle dichoral

Dans les formules, φ est le nombre d'or et l'arête est de longueur unité.

Polychore V S R r θ

Pentachore $\frac{\sqrt{5}}{96}$ $\frac{5\sqrt{2}}{12}$ $\frac{\sqrt{10}}5$ $\frac{\sqrt{10}}{20}$ $\frac\pi2$

Tesseract $1\,$ $8\,$ $1\,$ $\frac12$ $\arccos\frac14$

Hexadécachore $\frac16$ $\frac{4\sqrt{2}}{3}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\frac{\sqrt{2}}{4}$ $\frac{2\pi}{3}$

Icositétrachore $2\,$ $8\sqrt{2}$ $1\,$ $\frac{\sqrt{2}}2$ $\frac{2\pi}{3}$

Hécatonicosachore $\frac{15(47\varphi+29)}{2}$ $60(7\varphi+4)\,$ $(\varphi+1)\sqrt{2}$ $\frac{3\varphi+2}{2}$ $\frac{4\pi}{5}$

Hexacosichore $\frac{25(2\varphi+1)}{4}$ $50\sqrt{2}$ $\varphi\,$ $\frac{(2\varphi+1)\sqrt{2}}{2}$ $2 \arctan\left\{ (2\varphi+1)\sqrt3 \right\}$

Représentations

Le tableau suivant recense quelques projections particulières des polychores.

Polychore Symbole de Schläfli Diagramme de Coxeter-Dynkin Polygone de Pétrie Projection orthographique solide Diagramme de Schlegel Projection stéréographique

Pentachore {3,3,3}
Tétraèdre

Tesseract {4,3,3}
Cube

Hexadécachore {3,3,4}
Cube

Icositétrachore {3,4,3}
Cuboctaèdre

Hécatonicosachore {5,3,3}
Triacontaèdre rhombique tronqué

Hexacosichore {3,3,5}
Pentaki-icosidodécaèdre

Liste

Pentachore

Article détaillé : Pentachore.

Un pentachore en rotation

Le pentachore est le simplexe régulier de dimension 4. Son symbole de Schläfli est {3,3,3}.

Ses autres noms sont : 5-cellules, pentatope, hyperpyramide à base tétraédrique, hypertétraèdre, 4-simplexe.

Ses éléments sont :

5 sommets

10 arêtes

10 faces triangulaires

5 cellules tétraédriques

Comme tous les simplexes, il est son propre dual. Il fait partie du groupe de symétrie $A 4$ . Sa figure de sommet est un tétraèdre.

_

Tesseract

Article détaillé : Tesseract .

C'est un hypercube à 4 dimensions. Son symbole de Schläfli est {4,3,3}.

Ses autres noms sont : l'octachore, le 8-cellules, le 4-cube.

Ses éléments sont :

16 sommets

32 arêtes

24 faces carrées

8 cellules cubiques

Son dual est le 16-cellules (un hypercube est en effet toujours dual d'un hyperoctaèdre et vice-versa). Il fait partie du groupe de symétrie $B 4$ . Sa figure de sommet est un tétraèdre.

_

Hexadécachore

Article détaillé : Hexadécachore.

Un hyperoctaèdre en rotation

C'est un hyperoctaèdre à 4 dimensions. Son symbole de Schläfli est {3,3,4}.

Ses autres noms sont : le 16-cellules, le 4-orthoplexe, le 4-octaèdre.

Ses éléments sont :

8 sommets

24 arêtes

32 faces triangulaires

16 cellules tétraédriques

Il peut être considéré comme une double hyperpyramide à base octaédrique.

Son dual est le tesseract (un hyperoctaèdre est en effet toujours dual d'un hypercube et vice-versa). Il fait partie du groupe de symétrie $B 4$ . Sa figure de sommet est un octaèdre.

_

Icositétrachore

Article détaillé : Icositétrachore.

Il n'a aucun analogue en 3 dimensions. Son symbole de Schläfli est {3,4,3}.

Ses autres noms sont : le 24-cellules, l'octaplexe, le poly-octaèdre.

Ses éléments sont :

24 sommets

96 arêtes

96 faces triangulaires

24 cellules octaèdriques

Ayant autant de sommets que de cellules, et autant d'arêtes que de faces, il est son propre dual. Il fait partie du groupe de symétrie $F 4$ . Sa figure de sommet est un cube.

Hécatonicosachore

Article détaillé : Hécatonicosachore.

Il est l'analogue quadri-dimensionnel du dodécaèdre régulier. Son symbole de Schläfli est {5,3,3}.

Ses autres noms sont : l'hécatonicosaédroïde, le 120-cellules, le dodécaplexe, l'hyperdodécaèdre, le polydodécaèdre.

Ses éléments sont :

600 sommets

1200 arêtes

720 faces pentagonales

120 cellules dodécaèdriques

Son dual est l'hexachosichore, de la même façon que l'icosaèdre était le dual du dodécaèdre. Son groupe de symétrie est $H 4$ . Sa figure de sommet est un tétraèdre.

_

Hexacosichore

Article détaillé : Hexacosichore.

Il est l'analogue quadri-dimensionnel de l'icosaèdre régulier. Son symbole de Schläfli est {3,3,5}.

Ses autres noms sont : le 600-cellules, le tétraplexe, l'hypericosaèdre, le polytétraèdre.

Ses éléments sont :

120 sommets

720 arêtes

1200 faces triangulaires

600 cellules tétraédriques

Son dual est l'hecatonicosachore, de la même façon que le dodécaèdre était le dual de l'icosaèdre. Son groupe de symétrie est $H 4$ . Sa figure de sommet est un icosaèdre.

_

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes

Polytope, polytope régulier

Simplexe, Hypercube, Hyperoctaèdre

Solide de Platon

Liens externes

Les polychores réguliers sur le site Mathcurve

Les dimensions sur le site Dimensions-Superieures

Sur Mathworld (en anglais)

Patrons des polychores réguliers (en anglais)

Le film documentaire "dimensions" donne des moyens de s'imaginer ces objets

Les polychores réguliers sur Eusebeia (en anglais)

Bibliographie

(en) H.S.M. Coxeter, Introduction to Geometry [détail des éditions]

(en) H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes (en), 3^e éd., Dover Publications, 1973 (ISBN 978-0-486-61480-9)

(en) D.M.Y. Sommerville (en), An Introduction to the Geometry of n Dimensions. New York, E. P. Dutton, 1930 (Dover Publications, 1958), chap. X: The Regular Polytopes

v · Pentachore (5-cellules) · Tesseract (8-cellules) · Hexadécachore (16-cellules) · Icositétrachore (24-cellules) · Hécatonicosachore (120-cellules) · Hexacosichore (600-cellules)

Portail de la géométrie

Catégorie :
Polychore

Polychore	Symbole de Schläfli	Sommets	Arêtes	Faces	Cellules	Figure de sommet	Dual	Groupe de Coxeter	Ordre
Pentachore	{3,3,3}	5	10	10 (triangles)	5 (tétraèdres)	Tétraèdre	(Lui-même)	A₄	120
Tesseract	{4,3,3}	16	32	24 (carrés)	8 (cubes)	Tétraèdre	Hexadécachore	B₄	384
Hexadécachore	{3,3,4}	8	24	32 (triangles)	16 (tétraèdres)	Octaèdre	Tesseract	B₄	384
Icositétrachore	{3,4,3}	24	96	96 (triangles)	24 (octaèdres)	Cube	(Lui-même)	F₄	1 152
Hécatonicosachore	{5,3,3}	600	1 200	720 (pentagones)	120 (dodécaèdres)	Tétraèdre	Hexacosichore	H₄	14 400
Hexacosichore	{3,3,5}	120	720	1 200 (triangles)	600 (tétraèdres)	Icosaèdre	Hécatonicosachore	H₄	14 400

Polychore	V	S	R	r	θ
Pentachore	$\frac{\sqrt{5}}{96}$	$\frac{5\sqrt{2}}{12}$	$\frac{\sqrt{10}}5$	$\frac{\sqrt{10}}{20}$	$\frac\pi2$
Tesseract	$1\,$	$8\,$	$1\,$	$\frac12$	$\arccos\frac14$
Hexadécachore	$\frac16$	$\frac{4\sqrt{2}}{3}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{4}$	$\frac{2\pi}{3}$
Icositétrachore	$2\,$	$8\sqrt{2}$	$1\,$	$\frac{\sqrt{2}}2$	$\frac{2\pi}{3}$
Hécatonicosachore	$\frac{15(47\varphi+29)}{2}$	$60(7\varphi+4)\,$	$(\varphi+1)\sqrt{2}$	$\frac{3\varphi+2}{2}$	$\frac{4\pi}{5}$
Hexacosichore	$\frac{25(2\varphi+1)}{4}$	$50\sqrt{2}$	$\varphi\,$	$\frac{(2\varphi+1)\sqrt{2}}{2}$	$2 \arctan\left\{ (2\varphi+1)\sqrt3 \right\}$

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article 4-polytope régulier convexe de Wikipédia en français (auteurs)

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4-polytope régulier convexe

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Caractéristiques

Dimensions

Représentations

Liste

Pentachore

Tesseract

Hexadécachore

Icositétrachore

Hécatonicosachore

Hexacosichore

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