- Losange
-
Dans un espace affine euclidien, un losange, anciennement appelé rhombe, est un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs de même longueur.
Deux losanges. La figure de gauche montre que les quatre côtés ont même longueur. La figure de droite est un losange où les propriétés du parallélogramme sont mises en évidence.
Sommaire
Propriétés
Propriété 1
Pour tout quadrilatère (polygone à quatre côtés) non aplati d'un plan euclidien, les propositions suivantes sont équivalentes :
- ce quadrilatère est un losange ;
- ce quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur et ses quatre sommets distincts ;
- les diagonales de ce quadrilatère se coupent en leur milieu (autrement dit : c'est un parallélogramme) et elles sont perpendiculaires.
DémonstrationSoit ABCD un quadrilatère non aplati. Soient I le milieu de [AC] et J le milieu de [BD].
- Montrons (1) implique (2) :
On suppose que ABCD est un losange.
Comme c'est un parallélogramme, on a AB = CD, BC = AD et comme c'est un losange, on a AB = CB. Par transitivité, AB = BC = CD = DA. Enfin, les quatre sommets d'un parallélogramme non aplati sont distincts.
- Montrons (2) implique (3) :
On suppose que AB = BC = CD = DA et que les quatre sommets sont distincts.
De AB = BC et CD = DA, on conclut que (BD) est la médiatrice de [AC]. Ainsi (BD) est perpendiculaire à (AC) et passe par I.
On montre de même que (AC) passe par J.
Comme (AC) et (BD) sont perpendiculaires, elles ont un unique point commun et donc I = J.
- Montrons (3) implique (1) :
On suppose que les diagonales se coupent en leur milieu (c'est donc un parallélogramme) et qu'elles sont perpendiculaires.
Comme (BD) est perpendiculaire à (AC) et passe par I, on conclut que (BD) est la médiatrice de [AC] et donc AB = BC.
Losange aplati ABCDCes équivalences sont cependant en défaut dans le cas d'un quadrilatère aplati (le point 3 n'a alors pas de sens) :
Propriété 2
Les diagonales d'un losange sont les bissectrices de ses angles.
DémonstrationSoit un losange ABCD de centre O. La propriété 1 entraîne que les triangles ABO, CBO, ADO et CDO sont superposables. D'où :
= 
= 
= 
= 
= 
= 
c'est-à-dire les diagonales du losange sont les bissectrices de ses angles
Propriété 3
Les angles opposés d'un losange ont la même mesure deux à deux.
DémonstrationSoit un losange ABCD de centre O. D'après la preuve de la propriété 2 :
= = = = = = Donc,
= 
et 
= 
.Propriété 4
Un losange a au moins deux axes de symétrie : ses diagonales.
DémonstrationSoit un losange ABCD de centre O. D'après 3. de la propriété 1, les diagonales se coupent en leur milieu (propriété du parallélogramme) et sont perpendiculaires. Donc C est l'image de A par la symétrie d'axe (BD) et D est l'image de B par la symétrie d'axe (AC).
Remarque
La définition du losange comme étant un parallélogramme impose qu'un losange est une figure plane. Il existe des quadrilatères (avec quatre sommets bien distincts) ayant les quatre côtés de même longueur qui ne sont pas des losanges. Il suffit de se placer dans un espace affine euclidien de dimension 3 et de faire subir à un côté d'un "vrai losange" une rotation suivant l'une de ses diagonales.
Aire
où d représente la longueur de la petite diagonale et D représente la longueur de la grande diagonale du losange.
Rhomboèdre
Un rhomboèdre est un polyèdre dont les six faces sont des losanges.
Anecdote
« Le Losange » ou « la marque au losange » sont des expressions régulièrement utilisées pour désigner la marque automobile Renault, par analogie à la forme de son logo.
Wikimedia Foundation. 2010.
