Polygone regulier

Polygone regulier

Polygone régulier

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Pentagone régulier

En géométrie, il existe deux définitions équivalentes de polygone régulier.

Par les angles et les côtés.

Un polygone régulier est un polygone convexe dont tous les angles ont la même mesure et tous les côtés la même longueur.

Par rotation.

Si on se donne deux points O et A, un nombre entier n supérieur ou égal à 3, alors les images successives de A par des rotations de centre O et d'angles \frac{360}{n}^\circ génèrent les sommets d'un polygone régulier à n côtés et centre O.

Tous les polygones réguliers d'un même nombre de côtés sont semblables.

Dans certains contextes, tous les polygones considérés seront réguliers. Dans de telles circonstances, il est d'usage de sous-entendre l'épithète « régulier ». Par exemple, toutes les faces des polyèdres uniformes doivent être régulières et les faces seront décrites simplement en tant que triangle, carré, pentagone...

De tels polygones sont le support des nombres polygonaux.

Les multiples propriétés des polygones réguliers ont conduit à leur étude mathématique depuis l'Antiquité et à diverses interprétations symboliques, religieuses ou magiques.

Sommaire

Propriétés

Vocabulaire

Apothème d'un hexagone régulier

Tout polygone régulier est inscrit dans un cercle. Le centre et le rayon de ce cercle sont également appelés centre et rayon du polygone régulier. La distance entre le centre du polygone et chacun des côtés est l'apothème.

Comme les polygones réguliers à n côtés sont semblables, la donnée d'une des trois longueurs (côté, rayon ou apothème) permet de connaître les deux autres et donc de caractériser le polygone.

Si on note a l'apothème, r le rayon et c la moitié du côté d'un polygone régulier à n côtés, ces longueurs sont liées par le théorème de Pythagore :

a2 + c2 = r2

et par les formules de trigonométrie (les angles étant exprimés en Degrés) suivantes :

a = r\cos\left(\dfrac{180}{n}\right)
c = r\sin\left(\dfrac{180}{n}\right)
c = a\tan\left(\dfrac{180}{n}\right)

Angles

Les angles au centre d'un polygone régulier à n côtés mesurent \dfrac{360^\circ}{n}.

Chaque angle d'un polygone régulier à n côtés a une mesure de (1-\frac{2}{n})\times 180 = (n-2)\times \frac{180}{n} degrés, ou encore \frac{(n-2)\pi}{n} radians ou \frac{(n-2)}{2n} tours.

Aire et périmètre

Si t est la longueur d'une arête, l'aire a et le périmètre p d'un polygone régulier à n côtés est donnée par la formule suivante :

a=\frac{nt^2}{4\tan(\pi/n)}\quad\text{et}\quad p = nt

Si ρ désigne le rayon du polygone, c'est-à-dire la distance entre le centre et un sommet, on obtient :

 a = \frac n2 \sin \left(\frac {2\pi}{n}\right)\rho^2 \quad\text{et}\quad p = 2n \sin \left(\frac {\pi}n\right)\rho

Cette aire est aussi égale à la moitié du périmètre multiplié par la longueur de l'apothème.

Si n est grand, les valeurs π/n et 2π/n deviennent petites, le sinus d'une petite valeur est proche de cette valeur. Plus la valeur est petite, plus la proximité est bonne, on en déduit que plus le nombre de cotés d'un polygone augmente, plus son périmètre et son aire se rapprochent de ceux d'un cercle de même rayon.

Les polygones réguliers ont une propriété remarquable, connue depuis les grecs. Parmi tous les polygones de même nombre de cotés et de même périmètre, celui qui est régulier possède la plus grande aire. Cette aire, toujours plus petite que celle du cercle de même rayon, s'en rapproche au fur et à mesure que n devient plus grand. Ces propriétés sont traitées dans l'article Isopérimétrie.

Symétrie

Le groupe de symétrie d'un polygone régulier à n-cotés est le groupe diédral (ou diédrique) Dn (d'ordre 2n) : D2, , ,... Il est constitué des rotations dans Cn (le groupe de symétrie rotationnelle d'ordre n), avec les symétries de réflexion par n axes qui passent à travers le centre. Si n est pair, alors la moitié de ces axes passent à travers deux sommets opposés, et l'autre moitié à travers le milieu des côtés opposés. Si n est impair, alors tous les axes passent à travers un sommet et le milieu du côté opposé.

Construction à la règle et au compas

Un polygone régulier à n arêtes peut être construit avec la règle et le compas si et seulement si les facteurs premiers impairs de n sont des nombres premiers de Fermat distincts, (cf l'article Théorème de Gauss-Wantzel).

Polygones réguliers non convexes

Un pentagramme

Une catégorie étendue de polygones réguliers incluent les polygones étoilés, par exemple un pentagramme, qui a les mêmes sommets qu'un pentagone, mais qui est connecté par des sommets alternés.

Exemples :

Polyèdres

Un polyèdre uniforme est un polyèdre avec des polygones réguliers pour faces tels que pour chaque paire de sommet, il existe une isométrie appliquant l'un sur l'autre.

Voir aussi

  • Pavage par les polygones réguliers

Liens externes

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