Matrice definie positive

Matrice définie positive

En algèbre linéaire, la notion de matrice définie positive est analogue à celle de nombre réel strictement positif.

On introduit tout d'abord les notations suivantes ; si $a$ est une matrice à éléments réels ou complexes :

$a T$ désigne la transposée de $a$
$a *$ désigne la matrice transconjuguée de $a$ (conjuguée de la transposée)

On rappelle que :

$\mathbb{R}$ désigne le corps des nombres réels
$\mathbb{C}$ désigne le corps des nombres complexes

Sommaire

1 Matrice symétrique réelle définie positive
- 1.1 Exemple de base
- 1.2 Exemple : matrice de Hilbert
2 Matrice hermitienne définie positive
3 Propriétés
4 Critère de Sylvester
5 Voir aussi

Matrice symétrique réelle définie positive

Soit $M$ une matrice symétrique réelle d'ordre n. Elle est dite définie positive si elle vérifie l'une des 3 propriétés équivalentes suivantes :

Pour toute matrice colonne non nulle $\ \textbf{x}$ à

n

éléments réels, on a

$\textbf{x}^{T} M \textbf{x} > 0$ .

(autrement dit, la forme quadratique définie par $\,M$ est strictement positive pour $\,\mathbf{x}\not=0$ )

Toutes les valeurs propres de

M

sont strictement positives, c'est-à-dire :

$\ \mathrm{sp}(M) \subset\, ]0,\, +\infty[\,$ .

La forme bilinéaire symétrique définie par la relation

$\langle \textbf{x},\textbf{y}\rangle_M = \textbf{x}^{T} M \textbf{y}$

est un produit scalaire sur $\mathbb{R}^n$ (identifié ici à l'espace vectoriel des matrices colonnes à $n$ éléments réels).

Une matrice symétrique réelle est dite définie négative si son opposée (symétrique elle aussi) est définie positive.

La propriété 1 signifie que $M$ définit sur $\mathbb{R}^n$ une forme quadratique définie positive, la propriété 2 que sur $\mathbb{R}^n$ , vu comme espace euclidien avec le produit scalaire $<x,y>=\sum_{i=1}^nx_iy_i$ , $M$ définit un opérateur auto-adjoint positif. L'équivalence entre 1 et 2 vient de cette double interprétation, à la lumière de la réduction de Gauss et du théorème spectral. Si 1 est vraie, sachant que les valeurs propres d'une matrice symétrique réelle sont réelles, on voit en appliquant 1 aux vecteurs propres que les valeurs propres sont strictement positives. Si 2 est vraie, il existe une matrice orthogonale $\,Q$ telle que $\,QAQ^{-1}$ soit diagonale (parce que $\,A$ est symétrique réelle) à coefficients diagonaux strictement positifs (c'est l'hypothèse 2 sur les valeurs propres). Mais comme $Q - 1 = t Q$ , la matrice $\,A$ est aussi congrue à la matrice diagonale en question, donc la forme quadratique $\textbf{x}^{T} M \textbf{x}$ est définie positive.

Exemple de base

Pour toute matrice réelle $\,A$ , les matrices symétriques $\,{}^tAA$ et $\,A{}^tA$ sont positives ; elles sont définies positives si et seulement si $\,A$ est inversible. Les matrices de Gram donnent un exemple de cette situation.

Exemple : matrice de Hilbert

On appelle matrice de Hilbert la matrice (symétrique d'ordre n) $H = (h_{i,\, j})$ , telle que $h_{i,\, j} = \frac{1}{i + j - 1}$ . Elle est définie positive.

En effet, soit une matrice colonne quelconque $\ \textbf{x}$ à

n

éléments réels $x_1, \dots, x_n$ .

On remarque que $\forall\, i,\, \forall\, j,\, h_{i,\,j} = \int_0^1 t^{i + j - 2}\, dt$ . Alors, par linéarité de l'intégrale :

$\textbf{x}^{T} H \textbf{x} = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n h_{i,\, j}\, x_i\, x_j = \int_0^1 \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n t^{i + j - 2}\, x_i\, x_j\, dt =$

$\int_0^1 \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^n \left(t^{i - 1}\, x_i\right)\, \left(t^{j - 1}\, x_j\right)\,dt = \int_0^1 \left(\sum_{i = 1}^n t^{i - 1}\, x_i\right)\, \left(\sum_{j = 1}^n t^{j - 1}\, x_j\right)\,dt$ ,

d'où enfin : $\textbf{x}^{T} H \textbf{x} = \int_0^1 \left(\sum_{i = 1}^nx_i\, t^{i - 1}\right)^2\, dt$ .

Dans cette dernière intégrale, l'intégrande est continu et à valeurs positives. Par conséquent :

$\textbf{x}^{T} H \textbf{x} \geq 0$ ;
si $\textbf{x}^{T} H \textbf{x} = 0$ , alors pour tout $t \in\, [0,\, 1],\, \left(\sum_{i = 1}^nx_i\, t^{i - 1}\right)^2 = 0$ .

Donc pour tout $t \in\, [0,\, 1],\, \sum_{i = 1}^nx_i\, t^{i - 1} = 0$ .

Il en résulte que les $\ x_i$ , coefficients d'un polynôme admettant une infinité de racines, sont tous nuls, c'est-à-dire $\ \textbf{x} = 0$ .

Ceci prouve que $\textbf{x}^{T} H \textbf{x} > 0$ pour toute matrice colonne non nulle $\ \textbf{x}$ à

n

éléments réels.

Nota : ceci est un cas particulier d'une propriété des matrices de Gram. La matrice de Gram d'une famille de n vecteurs d'un espace préhilbertien (réel ou complexe) est définie positive si et seulement si la famille est libre.

Matrice hermitienne définie positive

On étend les propriétés et définitions précédentes aux matrices complexes hermitiennes.

Soit $M$ une matrice hermitienne d'ordre n. Elle est dite définie positive si elle vérifie l'une des 3 propriétés équivalentes suivantes :

Pour toute matrice colonne non nulle $\ \textbf{z}$ à

n

éléments complexes, on a

$\textbf{z}^{*} M \textbf{z} > 0$ .

Toutes les valeurs propres de

M

sont strictement positives, c'est-à-dire :

$\ \mathrm{sp}(M) \subset\, ]0,\, +\infty[\,$ .

La forme sesquilinéaire définie par la relation

$\langle \textbf{x},\textbf{y}\rangle_M = \textbf{x}^{*} M \textbf{y}$

est un produit scalaire sur $\mathbb{C}^n$ (identifié ici à l'espace vectoriel des matrices colonnes à $n$ éléments complexes).

Une matrice hermitienne est dite définie négative si son opposée (hermitienne elle aussi) est définie positive.

Propriétés

Les propriétés suivantes sont communes aux matrices symétriques réelles et aux matrices complexes hermitiennes.

Toute matrice définie positive est inversible (à déterminant réel strictement positif), et son inverse est elle aussi définie positive.
Si $M$ est définie positive et $r$ est un nombre réel strictement positif, alors $r M$ est définie positive.
Si $M$ et $N$ sont définies positives, alors $M + N$ est définie positive.
Si $M$ et $N$ sont définies positives, et si $M N = N M$ (on dit qu'elles commutent), alors $M N$ est définie positive.
Une matrice $M$ est définie positive si et seulement s'il existe une matrice définie positive $A$ telle que $A 2 = M$ ; dans ce cas, la matrice définie positive $A$ est unique, et on peut la noter $A = M 1 / 2$ (voir l'article racine carrée d'une matrice).

Cette propriété est utilisée pour la décomposition polaire.

Critère de Sylvester

Pour qu'une matrice $A=\big(a_{ij}\big)_{1\le i,j\le n}$ , réelle symétrique ou complexe hermitienne, soit définie positive, il faut et suffit que les les n matrices $A_p=\big(a_{ij}\big)_{1\le i,j\le p}, {1\le p\le n}$ aient leur déterminant strictement positif, autrement dit que tous les mineurs principaux aient leur déterminant strictement positif.

Remarque. Pour n=2, le critère de Sylvester est essentiellement le critère de positivité du trinôme du second degré.

Preuve. La condition est nécessaire. On remarque d'abord que si la forme quadratique $q(\mathbf{x})=\sum_{1\le i,j,\le n}a_{ij}x_ix_j$ est définie positive, alors $\,\det A>0$ . En effet, par rapport à une base orthogonale pour cette forme quadratique (il en existe, d'après la réduction de Gauss), la matrice de q s'écrit $\,\mathrm{diag}(c_1,...,c_n)$ les $\,c_i$ étant tous strictement positifs. Alors $\,c_1...c_n=(\det A)(\det Q)^2$ (Q étant la matrice de passage), donc $\,\det A>0$ . Le résultat s'ensuit, en appliquant le même raisonnement à la restriction de q aux sous-espaces $\,\R^k\times\{0\}$ , pour $\,1\le k\le n-1$ .

Montrons maintenant que la condition est suffisante. On procède par récurrence sur la dimension. Pour n=1 c'est évident : alors $\,q(\mathbf{x})=a_{11}x_1^2$ . Supposons la propriété vraie pour n-1. La forme $q(\mathbf{x})=\sum_{1\le i,j,\le n}a_{ij}x_ix_j$ est non dégénérée (parce que $\,\det A\not=0$ ) et sa restriction à $\,E=\R^{n-1}\times\{0\}$ est définie positive (d'après l'hypothèse de récurrence). En particulier, $\,q_{\vert E}$ est non dégénérée, donc

$\,\R^n=E\oplus E^{\perp} \quad \textrm{avec} \quad \dim E^{\perp}=1$

Soit $\,(e_1,...,e_{n-1})$ une base orthogonale pour $\,q_{\vert E}$ . En la complétant par un vecteur $\,e_n$ non nul de $\,E^{\perp}$ , on obtient une base orthogonale pour q. Soit $\,\mathrm{diag}(c_1,...,c_n)$ la matrice de q dans cette base. On sait déjà que $\,c_i>0$ pour $\,1\le i\le n-1$ , puisque $\,q_{\vert E}$ est définie positive. On sait aussi, d'après le même argument que dans la première partie (qui met implicitement en jeu le discriminant), que $\,c_1...c_n$ et $\,\det A$ ont même signe. Ainsi $\,c_n$ est lui aussi strictement positif, ce qui montre que q est définie positive.

Dans le cas complexe, la preuve est analogue, en considérant la forme hermitienne définie par la matrice.

Voir aussi

Articles en rapport avec les matrices
Par forme	carrée • triangulaire • diagonale • tridiagonale • élémentaire • échelonnée • creuse • aléatoire • circulante • de Hankel • de Toeplitz • de Vandermonde
Transformée	transposée • adjointe • inverse • Comatrice
En relation	équivalente • semblable • congruente
Par propriété	inversible • diagonalisable • trigonalisable • symétrique • antisymétrique • hermitienne • normale • orthogonale • unitaire • symplectique • de Hadamard • définie positive • à diagonale dominante • nilpotente
Par famille	identité • de De Casteljau • de Cartan • de Hilbert • de Mueller • de Pauli • de Dirac
Particulière	CKM
Associée	de permutation • de passage • compagnon • de Sylvester • d'adjacence • laplacienne • hessienne • jacobienne • génératrice • de contrôle • de corrélation • de Gram • de variance-covariance • d'inertie • de Jones • des gains • stochastique
Résultats	décompositions : LU • QR • polaire • valeurs singulières Trigonalisation • Réduction de Jordan • facteurs invariants
Voir aussi	Théorie des matrices • Algèbre linéaire

Articles de mathématiques en rapport avec l'algèbre bilinéaire

Espace euclidien • Espace hermitien • Forme bilinéaire • Forme quadratique • Forme sesquilinéaire • Orthogonalité • Base orthonormale • Projection orthogonale • Inégalité de Cauchy-Schwarz • Inégalité de Minkowski • Matrice définie positive • Matrice semi-définie positive • Décomposition QR • Déterminant de Gram • Espace de Hilbert • Base de Hilbert • Théorème spectral • Théorème de Stampacchia • Théorème de Riesz • Théorème de Lax-Milgram • Théorème de représentation de Riesz

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