- Base Orthonormale
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Base orthonormale
Pour les articles homonymes, voir BON.Une base orthonormale (BON) est une structure mathématique.
Sommaire
Définition
Soit En un espace vectoriel euclidien de dimension n, où n est un entier naturel non nul, et
, une base de En.- Si n = 1, alors
est dite orthonormale si et seulement si
- Si n > 1, alors
est orthonormale si et seulement si
- et,
- pour tout
, 
( c'est-à-dire 
= 0 )
Une base orthonormale est donc une base où tous les vecteurs de la base sont de norme 1 et sont orthogonaux 2 à 2. Cette définition s'applique aussi sur un espace hermitien. Il correspond à une généralisation aux complexes d'un espace euclidien.
Repère orthonormal (ou orthonormé)
Soient An un espace affine euclidien associé à l'espace vectoriel euclidien En et O un point quelconque de An, alors le repère
est dit orthonormal si et seulement si sa base associée
est elle-même orthonormale.En géométrie dans l'espace
En géométrie dans l'espace, la base est en général notée
au lieu de 
.La base est dite « directe » si
est le produit vectoriel de 
et de 
(
).Le terme « base orthonormale directe » est parfois abrégé par le sigle BOD.
Si la base associée à un repère est orthonormale directe, le repère est un repère orthonormal direct, terme parfois abrégé par le sigle ROND.
Voir l'article Orientation (mathématiques).
Orthonormalisation
Article détaillé : Procédé de Gram-Schmidt.On peut à partir d'une base qui n'est pas orthonormale construire une base orthonormale. La méthode la plus répandue est l'orthogonalisation de Gram-Schmidt. Cette méthode permet de construire une base orthonormale à partir de toute base de l'espace.
Voir aussi
Articles de mathématiques en rapport avec l'algèbre bilinéaireEspace euclidien • Espace hermitien • Forme bilinéaire • Forme quadratique • Forme sesquilinéaire • Orthogonalité • Base orthonormale • Projection orthogonale • Inégalité de Cauchy-Schwarz • Inégalité de Minkowski • Matrice définie positive • Matrice semi-définie positive • Décomposition QR • Déterminant de Gram • Espace de Hilbert • Base de Hilbert • Théorème spectral • Théorème de Stampacchia • Théorème de Riesz • Théorème de Lax-Milgram • Théorème de représentation de Riesz
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