Matrice densite

Matrice densite

Matrice densité

Cet article fait partie de la série
Mécanique quantique
 \hat H | \psi\rangle = i\hbar\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}|\psi\rangle
Postulats de la mécanique quantique

Histoire de la mécanique quantique

La matrice densité, ou opérateur densité est une entité mathématique introduite par le mathématicien et physicien John von Neumann. Elle permet de résumer en une seule matrice tout l'ensemble possible des états quantiques d'un système physique donné à un instant donné, mariant ainsi mécanique quantique et physique statistique.

Sommaire

Définition

Cas pur

La description du système se fait ici grâce à un vecteur d'état | \psi(t) \rangle que l'on peut développer sur la base des \{ | u_n \rangle \}  :

\left| \psi(t) \right\rangle = \sum_n  {c_n(t) \cdot \left| u_n \right\rangle}

avec \sum_n | c_n(t) |^2 = 1\,

L'opérateur densité est défini pour un état pur par :

\hat \rho = |\psi(t) \rangle \langle \psi(t) | = \sum_{n,p} c_n^*(t) c_p(t) | p \rangle \langle n |

Mélange statistique d'états purs

En admettant qu'un certain système physique puisse être, à un certain instant t, dans un mélange statistique (fini ou infini) d'états quantiques | \psi_i \rangle avec des probabilités pi (où \sum_i p_i = 1\,) , alors la matrice densité représentant l'ensemble de ces états est :

\hat \rho = \sum_i p_i |\psi_i \rangle \langle \psi_i |

L'aspect statistique introduit ici est de deux natures, l'une classique et l'autre quantique :

1. classique : dû à l'estimation du ket par une distribution statistique des différents kets possibles,
2. quantique : incertitude quantique fondamentale même si le système est parfaitement déterminé.

Les éléments de la matrice densité valent :

\hat \rho_{pn} = \sum_i p_i \langle u_p^{(i)} | \hat \rho_i | u_n^{(i)} \rangle = \sum_i p_i c_n^{(i)*} c_p^{(i)}


Propriété

La matrice obtenue a les propriétés suivantes :

  • Elle est hermitienne, \hat \rho =\hat \rho^{\dagger}, elle peut donc être diagonalisée, et ses valeurs propres sont positives.
  • Sa trace est égale à 1, Tr(\hat A) =1, conservation de la probabilité totale.
  • Elle doit être définie positive ou nulle.
  • Dans le cas d'un état pur, l'opérateur densité est alors un projecteur : \hat \rho^2 = \hat \rho .
  • Tr(\rho^2) \le 1, avec égalité si et seulement si le système physique est dans un état pur (c'est-à-dire que tous les pi sont nuls sauf un).

Valeur moyenne

On peut calculer la valeur moyenne d'une observable A à partir de la formule :

 \langle \hat A \rangle = \langle \Psi |\hat  A | \Psi \rangle = Tr(\hat A \hat \rho) = Tr(\hat \rho \hat A)

avec \hat \rho = \sum_i^N p_i \hat \rho_i est la matrice densité d'un mélange statistique d'états.


Evolution avec le temps

Article détaillé : Opérateur d'évolution.

L'évolution temporelle de l'opérateur d'état est donné par l'équation de Schrödinger dépendante du temps :

 \hat H \left| \Psi (t)\right\rangle = i \hbar {d\over dt} \left| \Psi (t) \right\rangle

Lien avec l'entropie

Enfin, on peut définir l'entropie de Von Neumann :

S=-k_B Tr(\hat \rho\ln(\hat \rho))

kB est la constante de Boltzmann.

L'entropie d'un état pur est nulle, car il n'y a aucune incertitude sur l'état du système. On peut aussi trouver une base où la matrice est diagonale, avec des 0, et un 1 sur la diagonale, ce qui donne bien une entropie égale à 0.

Voir aussi

Bibliographie

  • C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail des éditions]
  • Claudine Guthmann, Danielle Lederer et Bernard Roudet, Éléments de physique statistique, 1996 [détail des éditions] 
  • Portail de la physique Portail de la physique
Ce document provient de « Matrice densit%C3%A9 ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Matrice densite de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Matrice Densité — Cet article fait partie de la série Mécanique quantique Postulats de la mécanique quantique Histoire de la m …   Wikipédia en Français

  • Matrice densité — La matrice densité, ou opérateur densité est une entité mathématique introduite par le mathématicien et physicien John von Neumann. Elle permet de résumer en une seule matrice tout l ensemble possible des états quantiques d un système physique… …   Wikipédia en Français

  • Matrice Inversible — En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice carrée A d ordre n est dite inversible ou régulière ou encore non singulière, s il existe une matrice B d ordre n telle que AB = BA = In, ( AB = In suffit d aprés le… …   Wikipédia en Français

  • Matrice inverse — Matrice inversible En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice carrée A d ordre n est dite inversible ou régulière ou encore non singulière, s il existe une matrice B d ordre n telle que AB = BA = In, ( AB = In… …   Wikipédia en Français

  • Matrice non singulière — Matrice inversible En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice carrée A d ordre n est dite inversible ou régulière ou encore non singulière, s il existe une matrice B d ordre n telle que AB = BA = In, ( AB = In… …   Wikipédia en Français

  • Matrice régulière — Matrice inversible En mathématiques et plus particulièrement en algèbre linéaire, une matrice carrée A d ordre n est dite inversible ou régulière ou encore non singulière, s il existe une matrice B d ordre n telle que AB = BA = In, ( AB = In… …   Wikipédia en Français

  • Matrice Creuse — Une matrice creuse obtenue lors de la résolution d un problème éléments finis. Les éléments non nuls sont représentés en noir. Dans la discipline de l analyse numérique des mathématiques, une matrice creuse est une matrice contenant beaucoup de… …   Wikipédia en Français

  • Matrice clairsemée — Matrice creuse Une matrice creuse obtenue lors de la résolution d un problème éléments finis. Les éléments non nuls sont représentés en noir. Dans la discipline de l analyse numérique des mathématiques, une matrice creuse est une matrice… …   Wikipédia en Français

  • Matrice De Dirac — Les matrices de Dirac sont des matrices qui furent introduites par Paul Dirac, lors de la recherche d une équation d onde relativiste de l électron. Sommaire 1 Intérêt 2 Matrices de Dirac 3 Le slash de Feynman …   Wikipédia en Français

  • Matrice de dirac — Les matrices de Dirac sont des matrices qui furent introduites par Paul Dirac, lors de la recherche d une équation d onde relativiste de l électron. Sommaire 1 Intérêt 2 Matrices de Dirac 3 Le slash de Feynman …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”