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Matrice densité
La matrice densité, ou opérateur densité est une entité mathématique introduite par le mathématicien et physicien John von Neumann. Elle permet de résumer en une seule matrice tout l'ensemble possible des états quantiques d'un système physique donné à un instant donné, mariant ainsi mécanique quantique et physique statistique.
Sommaire
Définition
Cas pur
La description du système se fait ici grâce à un vecteur d'état que l'on peut développer sur la base des :
avec
L'opérateur densité est défini pour un état pur par :
Mélange statistique d'états purs
En admettant qu'un certain système physique puisse être, à un certain instant t, dans un mélange statistique (fini ou infini) d'états quantiques avec des probabilités pi (où ) , alors la matrice densité représentant l'ensemble de ces états est :
L'aspect statistique introduit ici est de deux natures, l'une classique et l'autre quantique :
- 1. classique : dû à l'estimation du ket par une distribution statistique des différents kets possibles,
- 2. quantique : incertitude quantique fondamentale même si le système est parfaitement déterminé.
Les éléments de la matrice densité valent :
Démonstrationoù d'où
Propriété
La matrice obtenue a les propriétés suivantes :
- Elle est hermitienne, , elle peut donc être diagonalisée, et ses valeurs propres sont positives.
- Sa trace est égale à 1, , conservation de la probabilité totale.
- Elle doit être définie positive ou nulle.
- Dans le cas d'un état pur, l'opérateur densité est alors un projecteur : .
- , avec égalité si et seulement si le système physique est dans un état pur (c'est-à-dire que tous les pi sont nuls sauf un).
Valeur moyenne
On peut calculer la valeur moyenne d'une observable A à partir de la formule :
avec est la matrice densité d'un mélange statistique d'états.
DémonstrationOn considère un mélange statistique d'états :
- d'où :
Evolution avec le temps
Article détaillé : Opérateur d'évolution.L'évolution temporelle de l'opérateur d'état est donné par l'équation de Schrödinger dépendante du temps :
Lien avec l'entropie
Enfin, on peut définir l'entropie de Von Neumann :
où kB est la constante de Boltzmann.
L'entropie d'un état pur est nulle, car il n'y a aucune incertitude sur l'état du système. On peut aussi trouver une base où la matrice est diagonale, avec des 0, et un 1 sur la diagonale, ce qui donne bien une entropie égale à 0.
Voir aussi
Bibliographie
- C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail des éditions]
- Claudine Guthmann, Danielle Lederer et Bernard Roudet, Éléments de physique statistique, 1996 [détail des éditions]
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Catégorie : Mécanique quantique
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