Racine carrée d'une matrice

Racine carrée d'une matrice

En mathématiques, la notion de racine carrée d'une matrice particularise aux anneaux de matrices carrées la notion générale de racine carrée dans un anneau.

Sommaire

Définition

Soient A un anneau et M une matrice carrée d'ordre n \in \N^* à coefficients dans A. Un élément R de \mathcal{M}_n(A) est une racine carrée de M si R2 = M.

Une matrice donnée peut n'admettre aucune racine carrée, comme un nombre fini voire infini de racine carrées.

Exemples

Dans \mathcal{M}_2(\R) :

  • \begin{pmatrix} 1 & -4 \\ 0 & 2\end{pmatrix} est une racine carrée de \begin{pmatrix} 1 & -12 \\ 0 & 4\end{pmatrix}\ ;
  • les \begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & -1\end{pmatrix} (pour tout réel x) sont des racines carrées de \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}\ ;
  • M=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix} n'a pas de racine carrée R, car cela imposerait 0\le(\det(R))^2= \det(R^2)= \det(M)=-1 (mais elle en a dans \mathcal{M}_2(\C)).

Dans \mathcal{M}_2(\C), la matrice M=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix} n'a pas de racine carrée, parce qu'elle est non nulle mais de carré nul (on dit qu'elle est nilpotente d'indice 2). En effet, une racine carrée R serait aussi nilpotente (de puissance 4e nulle), or toute matrice nilpotente de taille 2 est de carré nul. On aurait donc M = R2 = 0, ce qui n'est pas le cas.

Inverse

Si R est une racine carrée de M alors R est inversible si et seulement si M l'est.

Si une matrice est inversible, les racines carrées de son inverse sont les inverses de ses racines carrées.

Matrice positive

Toute matrice symétrique à coefficients réels est diagonalisable via une matrice de passage orthogonale, et elle est positive si et seulement si ses valeurs propres sont réelles positives. Par ailleurs, si une matrice S est diagonalisable alors son carré a mêmes sous-espaces propres (associés aux carrés des valeurs propres de S). Par conséquent, parmi les racines carrées d'une matrice symétrique positive M, une et une seule est symétrique positive : la matrice S qui a mêmes sous-espaces propres que M et dont les valeurs propres associées sont les racines carrées de celles de M. De plus, lorsque M est définie positive, S l'est aussi.

Pour les matrices à coefficients complexes, la situation est la même en remplaçant « symétrique » par « hermitienne » et « orthogonale » par « unitaire » .

Algorithme de calcul de Denman–Beavers

Le calcul de la racine carrée d'une matrice A peut s'effectuer par convergence d'une suite de matrices. Soit Y0 = A et Z0 = I où I est la matrice identité. Chaque itération repose sur :

\begin{align} Y_{k+1} &= \tfrac12 (Y_k + Z_k^{-1}), \\ Z_{k+1} &= \tfrac12 (Z_k + Y_k^{-1}). \end{align}

La convergence n'est pas garantie (même si A possède une racine carrée) mais si elle a lieu alors la suite Yk converge de façon quadratique vers A1/2, tandis que la suite Zk converge vers son inverse, A−1/2 (Denman et Beavers 1976 ; Cheng et al. 2001).

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Square root of a matrix » (voir la liste des auteurs)
  • (en) Sheung Hun Cheng, Nicholas J. Higham (en), Charles S. Kenney et Alan J. Laub, « Approximating the Logarithm of a Matrix to Specified Accuracy », dans SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, vol. 22, no 4, 2001, p. 1112–1125 [texte intégral, lien DOI] 
  • (en) Eugene D. Denman et Alex N. Beavers, « The matrix sign function and computations in systems », dans Applied Mathematics and Computation, vol. 2, no 1, 1976, p. 63–94 [lien DOI] 

Article connexe

Exponentielle d'une matrice


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