Forme Sesquilinéaire

Forme sesquilinéaire

En algèbre, une forme sesquilinéaire sur un espace vectoriel complexe E est une application de E × E dans $\mathbb C$ , linéaire selon l'une des variables et antilinéaire (aussi dit semi-linéaire) par rapport à l'autre variable. Elle possède donc une propriété de « un-et-demi » linéarité (cf. sesqui). C'est l'équivalent complexe aux formes bilinéaires réelles.

Les formes sesquilinéaires les plus étudiées sont les formes hermitiennes. Parmi celle-ci, les formes hermitiennes définies positives permettent de munir E d'un produit scalaire et ouvrent à l'étude des espaces hermitiens, des espaces préhilbertiens complexes et des espaces de Hilbert.

Définitions et conventions

Les conventions diffèrent quant au choix de l'argument qui est linéaire. Le choix ci-dessus (première variable : linéaire, deuxième variable : antilinéaire) est plus courant en mathématiques (peut-être pas universel), mais le choix opposé est utilisé par tous les physiciens, ceci étant dû à l'origine à l'utilisation de la notation bra-ket.

Forme antilinéaire : Soit E un $\mathbb C$ -espace vectoriel, l'application φ de E dans $\mathbb C$ est antilinéaire si et seulement si :

Elle respecte l'addition et presque la multiplication scalaire : pour tous x, y de E, pour tout λ de $\mathbb C$ : $\varphi (x + \lambda y) = \varphi(x) + \bar \lambda \varphi(y)\,$

Forme sesquilinéaire : L'application f de E × E → $\mathbb C$ est une forme sesquilinéaire si et seulement si :

a) Elle est linéaire à droite : pour tout x, y, y' de E, pour tout λ de $\mathbb C$ : $f(x,y+\lambda y') = f(x,y) + \lambda f(x,y')\,$

b) Elle est antilinéaire à gauche, ce qui signifie que pour tout x, x', y de E, pour tout λ de $\mathbb C$ : $f(x+ \lambda x',y) = f(x,y) + \overline{\lambda} f(x',y)$ où $\overline{\lambda}$ est le conjugué de λ.

Forme hermitienne : c'est une forme sesquilinéaire qui vérifie la propriété de symétrie hermitienne

c) Pour tous x et y de E, $f(y,x) = \overline{f(x,y)}$

En particulier : $f(x,x) = \overline{f(x,x)}$ , donc

f (x, x)

est un réel.

Forme hermitienne définie positive : c'est une forme hermitienne telle que

d) Pour tout x de E, $f(x,x) \ge 0$

e) Pour tout x de E, $f(x,x) = 0\,$ implique $x = 0\,$

Une forme hermitienne définie positive est encore appelée produit scalaire (sous-entendu au sens complexe).

Exemples

En dimension finie, on prouve que les seules formes sesquilinéaires sont celles définies par

$f(x,y) =^t \overline X AY$ où X et Y sont les vecteurs colonnes, coordonnées de x et y dans la base $(e 1,..., e n)$ , et où A est la matrice définie par $a_{i,j} = f(e_i,e_j)\,$ . L'ensemble des formes sesquilinéaires dans un ensemble de dimension n est donc en bijection avec l'ensemble des matrices carrée $n \times n$ .

Soit B un ensemble non vide et $\mathbb C^B$ le $\mathbb C$ -espace vectoriel des applications de B dans $\mathbb C$ , et soient a et b deux éléments de B. La forme $f a, b$ définie par $f_{a,b}(x,y) =\overline{ x(a)}y(b)$ est une forme sesquilinéaire.

Dans un espace métrique, le produit interne (scalaire) est sesquilinéaire. Pour tout x, y, z de E et pour tout a, u de $\mathbb C$ on a :

(ax+uy|z) = a(x|z) + u(y|z)
(x|ay+uz) = â(x|y) + û(y|z) où â et û sont respectivement les complexes conjugués de a et u.

Articles connexes

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Espace euclidien • Espace hermitien • Forme bilinéaire • Forme quadratique • Forme sesquilinéaire • Orthogonalité • Base orthonormale • Projection orthogonale • Inégalité de Cauchy-Schwarz • Inégalité de Minkowski • Matrice définie positive • Matrice semi-définie positive • Décomposition QR • Déterminant de Gram • Espace de Hilbert • Base de Hilbert • Théorème spectral • Théorème de Stampacchia • Théorème de Riesz • Théorème de Lax-Milgram • Théorème de représentation de Riesz

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Catégorie : Algèbre bilinéaire

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