Inegalite de Minkowski

Inegalite de Minkowski

Inégalité de Minkowski

En mathématiques, l'inégalité de Minkowski établit que les espaces Lp sont des espaces vectoriels normés. Elles sont nommées ainsi en l'honneur de Hermann Minkowski.

Énoncé

Soit (S,μ) un espace mesuré et soit p\in[1,+\infty[. Alors pour tout (f,g) \in L_p(S)^2, on a

||f+g||_p \le ||f||_p + ||g||_p

c'est-à-dire

\left(\int_S|f+g|^p\mathrm{d}\mu\right)^{\frac 1 p} \leq\left(\int_S|f|^p\mathrm{d}\mu\right)^{\frac 1 p}+\left(\int_S|g|^p\mathrm{d}\mu\right)^{\frac 1 p}.
Démonstration

L'espace L_p(S) étant un espace vectoriel, f + g est aussi dans Lp(S). Si | | f + g | | p vaut zéro, or l'inégalité est vérifiée. On suppose maintenant que | | f + g | | p > 0.

On a

\begin{align} \|f + g\|_p^p &= \int_S |f + g|^p \mathrm{d}\mu\\ &\le \int_S (|f| + |g|)|f + g|^{p-1} \mathrm{d}\mu\\ & =\int |f||f + g|^{p-1} \mathrm{d}\mu+\int |g||f + g|^{p-1} \mathrm{d}\mu\\ &\leq \left( \left(\int |f|^p \mathrm{d}\mu\right)^{1/p} + \left (\int |g|^p \mathrm{d}\mu\right)^{1/p} \right) \left(\int |f + g|^{(p-1)\left(\frac{p}{p-1}\right)} \mathrm{d}\mu \right)^{1-\frac{1}{p}}\quad (\mathrm{in\acute{e}galit\acute{e}\ de\ H}\ddot \mathrm{o}\mathrm{lder})\\ &= (\|f\|_p + \|g\|_p)\frac{\|f + g\|_p^p}{\|f + g\|_p}\end{align}.

En multipliant des deux côtés par ( | | f + g | | p) / ( | | f + g | | p)p, on obtient l'inégalité recherchée.

En d'autres termes, cela signifie que ||\cdot||_p vérifie l'inégalité triangulaire.

Si p > 1, il y a égalité si, et seulement si, f et g sont positivement liées (c'est-à-dire s'il existe \lambda \geq 0 tel que f = λg).

À l'instar des inégalités de Hölder, les inégalités de Minkowski peuvent être spécialisés pour les vecteurs ou même les séries:

\left( \sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right)^{1/p}

Ici, n peut être un entier naturel ou peut être égal à +\infty, et les xk et yk sont des réels ou des complexes. Ces inégalités se déduisent de la première en utilisant une mesure de dénombrement.

Voir aussi

Articles de mathématiques en rapport avec l'algèbre bilinéaire
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