Matrice de variance-covariance

Matrice de variance-covariance

Une matrice de variance-covariance est une matrice carrée caractérisant les interactions (linéaires) entre p variables aléatoires X_1,\dots,X_p\,.

Sommaire

Définition

La matrice de variance-covariance (ou simplement matrice de covariance) d'un vecteur de p variables aléatoires \vec X=\begin{pmatrix} X_1  \\ \vdots\\ X_p \end{pmatrix} dont chacune a une variance (finie) est la matrice carrée dont le terme générique est donné par:

a_{i,j}=\textrm{cov}\left(X_i,X_j\right)


La matrice de variance-covariance, notée parfois \boldsymbol\Sigma, est donc définie comme:

Définition — \Sigma_X\equiv\operatorname{var}(\vec X) \equiv \operatorname{E}((\vec X-\operatorname{E}(\vec X))(\vec X-\operatorname{E}(\vec X))^T)

En développant les termes:

\Sigma_X=\operatorname{var}(\vec X)
=
\operatorname{var}\begin{pmatrix} X_1  \\ \vdots\\ X_p \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 
\operatorname{var}(X_1) & \operatorname{cov}(X_{1}X_{2}) &  \cdots & \operatorname{cov}(X_{1}X_{p}) \\
\operatorname{cov}(X_{2}X_{1}) & \ddots & \cdots & \vdots\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
\operatorname{cov}(X_{P}X_{1}) & \cdots & \cdots&  \operatorname{var}(X_p) 
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 
\sigma^2_{x_1} & \sigma_{x_{1}x_{2}} &  \cdots & \sigma_{x_{1}x_{p}} \\
\sigma_{x_{2}x_{1}} & \ddots & \cdots & \vdots\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
\sigma_{x_{p}x_{1}} & \cdots & \cdots&  \sigma^2_{x_p} 
\end{pmatrix}

Propriétés

  • La matrice est symétrique, étant donné la propriété que \operatorname{cov}(X, Y) = \operatorname{cov}(Y, X), .
  • Ses valeurs propres sont positives ou nulles. Lorsqu'il n'existe aucune relation affine presque sûre entre les composantes du vecteur aléatoire, la matrice \boldsymbol{\Sigma} est à valeurs propres strictement positives : elle est définie positive.
  • Les éléments de sa diagonale représentent la variance de chaque variable, étant donné la propriété que: \operatorname{cov}(X, X) = \operatorname{var}(X)
  • Les éléments en dehors de la diagonale représentent la covariance entre les variables i et j quand  \quad i \neq j.

Estimation

Un estimateur non-biaisé de la matrice de variance-covariance peut être obtenu par:

\operatorname{\widehat {var}}(\vec X)= {1 \over {n-1}}\sum_{i=1}^n (\vec X_i-\overline{\vec{X}})(\vec X_i-\overline{\vec{X}})^T
\overline{\vec X}={1 \over {n}}\sum_{i=1}^n \vec X_i est le vecteur des moyennes empiriques.

L'estimateur du maximum de vraisemblance, sous l'hypothèse que X suit une loi normale multidimensionnelle, vaut par contre:

\operatorname{\widehat {var}}(\vec X)={1 \over n}\sum_{i=1}^n (\vec X_i-\overline{\vec X})(\vec X_i-\overline{\vec X})^T.

Dans le cas les données sont générées par une loi normale multidimensionnelle, l'estimateur du maximum de vraisemblance suit une loi de Wishart (en)

Utilisation en statistique

La matrice de variance-covariance est un outil essentiel pour l'analyse multivariée:

Test sur la matrice de variance-covariance

Le test de sphéricité de Bartlett permet de déterminer si les composantes hors de la diagonale de la matrice sont différentes de zéro, i.e. s'il y a une relation entre les différentes variables prises en considération.

Articles connexes

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