Trace (algèbre)

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En algèbre linéaire, la trace d'une matrice carrée A est définie comme la somme de ses coefficients diagonaux et notée Tr(A). La trace peut être vue comme une forme linéaire sur l'espace vectoriel des matrices. Elle vérifie l'identité : Tr(AB)=Tr(BA), et est en conséquence invariante par similitude.

De façon voisine, si u est un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie sur un corps commutatif K, on peut définir la trace de l'opérateur u, par exemple comme trace de sa matrice dans n'importe quelle base.

Parmi les applications,

En algèbre linéaire, la trace d'un opérateur u est la somme de ses valeurs propres comptées avec multiplicité. Par exemple, la trace d'une rotation de $\R^3$ est $1 + 2cos(θ)$ et fournit donc l'angle de rotation $θ$ , au signe de $sin(θ)$ près.
En théorie de Galois, la trace est à l'origine de la définition de la forme trace. Cette forme est aussi utilisée en théorie algébrique des nombres, par exemple pour définir le discriminant d'un anneau d'entiers algébriques.
Dans la théorie des représentations, la trace d'une représentation est son caractère. Par exemple, pour une représentation d'un groupe fini, son caractère permet de comprendre sa décomposition en somme directe de représentations irréductibles. Cette théorie permet de mieux comprendre la structure d'un groupe. En conséquence, on retrouve l'utilisation de cet outil dans la démonstration de théorèmes sur le sujet, comme par exemple celui de Burnside sur un groupe résoluble ou celui sur le problème de Burnside.
Dans l'étude des groupes de Lie, et toujours en rapport avec la théorie des représentations, la trace permet de définir la forme de Killing, qui est une forme quadratique sur l'algèbre de Lie correspondante. Le critère de Cartan (en) en montre l'importance. Par exemple, la forme de Killing est définie négative si et seulement si la composante neutre est compacte (théorème de Myers).
En calcul différentiel, la trace apparaît comme la différentielle du déterminant en l'identité. La trace intervient dans la définition de la divergence d'un champ de vecteurs, qui mesure le défaut à ce que son flot préserve le volume.

Plus généralement, sur une algèbre A, une trace est une forme linéaire $λ$ telle que $λ(a b) = λ(b a)$ . Cette définition se rencontre en particulier dans l'étude des algèbres de von Neumann, qui sont des algèbres d'opérateurs sur des espaces de Hilbert.

Définitions

Trace d'une matrice carrée

Étant donnée une matrice carrée

$A = (a_{i \, j})_{1 \leq i,j \leq n}$

à coefficients dans un corps commutatif K (ou seulement dans un anneau commutatif), sa trace, notée $Tr(A)$ , est le scalaire somme des coefficients de sa diagonale principale^[1] :

$\mathrm{Tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{i \, i}$ .

Pour toutes matrices carrées $A$ et $B$ (de même ordre) et pour tout scalaire α∊K, les propriétés suivantes sont vérifiées :

$\begin{matrix} \mathrm{Tr}(A + B) &=& \mathrm{Tr}(A) + \mathrm{Tr}(B) \\ \mathrm{Tr}(\alpha A) &=& \alpha \mathrm{Tr}(A) \\ \mathrm{Tr}(A^T) &=& \mathrm{Tr}(A), \\ \end{matrix}$

où A^T désigne la transposée de A.

Autrement dit, la trace est une forme linéaire sur l'espace vectoriel^[2] ℳ_n(K) des matrices carrées d'ordre $n$ , invariante par transposition.

Si maintenant A et B sont des matrices (n,m) et (m,n) (non nécessairement carrées, mais fournissant des matrices carrées par multiplication), on a l'identité^[3] :

$\begin{matrix} \mathrm{Tr}(AB) &=& \mathrm{Tr}(BA). \\ \end{matrix}$

On peut montrer par une preuve assez brève, faisant intervenir les unités matricielles (en) (i.e. les matrices de la base canonique de ℳ_n(K)) qu'une forme linéaire sur l'espace ℳ_n(K) vérifiant cette identité (pour toutes matrices carrées (n,n)) est nécessairement proportionnelle à la trace^[3].

L'égalité précédente a pour conséquence l'identité suivante, valable pour toute matrice carrée $A$ et pour toute matrice inversible $P$ de même ordre^[4] :

$\begin{matrix} \mathrm{Tr}(P^{-1}AP) &=& \mathrm{Tr}(A) \\ \end{matrix}$

Autrement dit, la trace est un « invariant de similitude » pour les matrices carrées d'ordre donné.

Trace d'un endomorphisme

Si la trace d'une matrice carrée peut être définie sans technicités particulières sur n'importe quel anneau commutatif, il n'en est pas de même pour la trace d'un endomorphisme. En utilisant une représentation matricielle, c'est faisable à assez peu de frais pour un endomorphisme d'espace vectoriel ; une construction plus abstraite, utilisant l'algèbre tensorielle, permet d'étendre le concept à certains endomorphismes de module - mais pas tous.

Dans un espace vectoriel

Si E est un espace vectoriel de dimension finie n, la trace d'un endomorphisme $u \in \mathcal{L}(E)$ , notée $T r (u)$ , est définie comme la trace de la matrice de $u$ relativement à une base préalablement fixée $\mathcal{B}$ de E^[5]. L'identité d'invariance par similitude ci-dessus montre que cette définition ne dépend pas du choix arbitraire de $\mathcal{B}$ ; en effet, étant données deux bases $\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}'$ , et notant $P$ la matrice de passage de la base $\mathcal{B}$ à la base $\mathcal{B}'$ , les matrices $A$ et $A'$ représentant $u$ respectivement dans $\mathcal{B}$ et $\mathcal{B}'$ vérifient la relation dite « de changement de base » : $A' = P - 1 A P$ . Or on sait que $Tr(P - 1 A P) = Tr(A)$ , donc $Tr(A') = Tr(A)$ .

Les propriétés suivantes sont vérifiées pour tous les endomorphismes $u,v \in \mathcal{L}(E)$ et pour tout scalaire $\alpha \in \mathbb{K}$ .

$\begin{matrix} \mathrm{Tr}(u + v) &=& \mathrm{Tr}(u) + \mathrm{Tr}(v) \\ \mathrm{Tr}(\alpha u) &=& \alpha \mathrm{Tr}(u) \\ \mathrm{Tr}(u^T) &=& \mathrm{Tr}(u) \\ \mathrm{Tr}(u \circ v) &=& \mathrm{Tr}(v \circ u) \\ \end{matrix}$

De plus, si $v \in \mathrm{GL}(E)$ (c'est-à-dire que $v$ est un automorphisme), alors :

$\begin{matrix} \mathrm{Tr}(v^{-1} \circ u \circ v) &=& \mathrm{Tr}(u) \\ \end{matrix}$

Autrement dit la trace est une forme linéaire sur l'espace vectoriel $\mathcal{L}(E)$ , invariante par transposition et par conjugaison.

Dans un module

En utilisant la contraction tensorielle, il est possible d'étendre le concept de trace aux endomorphismes des modules projectifs de type fini^[6].

Trace d'une forme quadratique

Soit (E,g) un espace euclidien. On définit une bijection (détaillée dans la section Forme bilinéaire symétrique (resp. forme hermitienne) associée de l'article Opérateur autoadjoint) entre les formes quadratiques q sur E, et les opérateurs symétriques A sur (E,g) par :

q (v) = g (v, A v)

La trace de A est appelée trace de la forme quadratique q par rapport à g^[7].

Exemples

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n.

La trace de l'identité Id est : $Tr(Id) = n\cdot 1_K = dim(E)\cdot 1_K$
La trace d'une transvection est aussi dim E.
La trace d'un projecteur vérifie $Tr(p)=rg(p)\cdot 1_K$ , où $r g (p)$ est le rang de $p$ ^[8].
Pour deux endomorphismes u et v de E, on pose [u,v]=uv-vu (on l'appelle le commutateur de u et v). La trace de [u,v] est nulle : c'est une autre façon d'exprimer l'identité fondamentale Tr(uv)=Tr(vu).

Dans les espaces euclidiens :

La trace d'une rotation de $R 2$ d'angle $θ$ est donnée par : $Tr(R θ) = 2cos θ$ .
De même, la trace d'une rotation d'axe $Δ$ et d'angle $θ$ dans l'espace à 3 dimensions est donnée par : $Tr(R Δ,θ) = 1 + 2cos θ$ .

Pour des matrices :

Toute permutation $\sigma \in \mathfrak{S}_n\,\!$ (où $\mathfrak{S}_n \,\!$ représente le groupe symétrique d'ordre $n \,\!$ ) est représentée par une matrice $M_{\sigma}=(m_{i \, j})_{1 \leq i,j \leq n} \,\!$ carrée d'ordre $n \,\!$ , définie par :

$\left\{ \begin{array}{lll} m_{i \, j} &= 1 \quad &\mathrm{si} \quad \sigma(i)=j \\ m_{i \, j} &= 0 \quad &\mathrm{sinon} \end{array} \right.$

La trace de la matrice $M σ$ s'interprète alors comme le nombre de points fixes de la permutation $σ$ :

$\mathrm{Tr}(M_{\sigma}) = \mathrm{Card} \left\{ i \in \{1,...,n\} \ | \ \sigma(i)=i \right\}$
La trace de la matrice d'adjacence d'un graphe est nulle (si un sommet ne boucle pas sur lui-même).

Trace, polynôme caractéristique et valeurs propres

Soit A une matrice carrée A d'ordre n à coefficients dans un anneau commutatif.

On définit son polynôme caractéristique comme le polynôme

p A (X): = det(X I n - A)

où I_n désigne la matrice identité d'ordre n. On note $c i$ le coefficient de $X i$ dans $p A (X)$ , en d'autres termes on pose :

$p_A(X)=X^n+c_{n-1}X^{n-1}+\cdots+c_1X+c_0$

Trace et polynôme caractéristique

Cas particulier de coefficients dans un anneau intègre

Dans cette sous-section, on suppose l'anneau des coefficients intègre. On peut alors considérer A comme une matrice à coefficients dans un corps commutatif K, à savoir le corps des fractions de cet anneau.

On se place alors dans un corps L contenant K et où $p A$ est scindé, (par exemple sa clôture algébrique ou le corps de décomposition de $p A$ ) et on note :

$p_A(X)=(X-\lambda_{1})(X-\lambda_{2})\cdots(X-\lambda_{n}).$

Les $λ i$ sont les valeurs propres de A, comptées avec multiplicité. Par la théorie de la trigonalisation, on sait trouver une matrice carrée triangulaire T, à coefficients dans L et semblable à A, dont la diagonale principale est formée des $λ i$ . En utilisant l'invariance de la trace par similitude, on conclut :

$\textrm{Tr}(A)=\sum_{i=1}^n\lambda_i$ .

De plus, si on développe l'écriture de $p A$ en facteurs du premier degré, la somme des $λ i$ apparaît comme l'opposé du coefficient de $X n - 1$ dans ce polynôme. On en conclut donc que, si note $c n - 1$ ce coefficient :

Tr(A) = - c n - 1

Cas général

On ne suppose désormais plus A intègre, on peut néanmoins obtenir des résultats analogues par une autre voie.

Dans le développement du déterminant qui définit le polynôme caractéristique par la formule utilisant des permutations, on constate qu'il n'apparaît de monôme en $X n - 1$ que dans un seul des n! termes de la somme, celui qui est produit des termes diagonaux de $X I n - A$ , c'est-à-dire :

$(X-a_{11})(X-a_{22})\cdots(X-a_{nn}),$

La trace de A apparaît alors comme le coefficient de $X n - 1$ . On a prouvé différemment la formule :

Tr(A) = - c n - 1

On suppose maintenant en outre le polynôme caractéristique de A scindé et on note :

$p_A(X)=(X-\lambda_{1})(X-\lambda_{2})\cdots(X-\lambda_{n}),$

une^[9] décomposition de ce polynôme en facteurs du premier degré.

En développant ce produit, on obtient une nouvelle expression de $c n - 1$ ; par rapprochement de celle-ci et de la formule précédente, on obtient :

$\textrm{Tr}(A)=\sum_{i=1}^n\lambda_i$ .

Trace d'un polynôme de matrice

Soit q un polynôme (à coefficients dans le même anneau que A).

Si l'anneau est intègre, les techniques et notations utilisées ci-dessus sont utilisables. La matrice q(A) est semblable à q(T), tandis que la diagonale principale de T est formée des $q (λ i)$ . On en déduit que :

$\textrm{Tr}[q(A)]=\sum_{i=1}^nq(\lambda_i)$ .

Cette formule reste valable sans l'hypothèse d'intégrité, la preuve reposant sur le traitement préalable du cas des anneaux intègres^[10].

En particularisant la formule précédente au monôme q=X^k, on obtient :

$\textrm{Tr}(A^k)=\sum_{i=1}^n \lambda_i^k$ .

En caractéristique nulle, les polynômes symétriques élémentaires peuvent être reconstitués polynomialement à partir des sommes de Newton, via les identités de Newton. De ce fait, il existe des formules polynomiales universelles permettant d'exprimer les coefficients du polynôme caractéristique d'une matrice (n,n) en fonction des traces de ses puissances (et même des puissances d'exposant inférieur ou égal à n). Pour en donner un exemple :

$c_{n-2}=\frac{\textrm{Tr}(A)^2-\textrm{Tr}(A^2)}{2}.$

En voici une application^[11] : si A est une matrice (n,n) à coefficients dans un corps de caractéristique nulle et vérifie : $\rm{Tr}(A)=\rm{Tr}(A^2)=\dots=\rm{Tr}(A^n)=0$ , alors A est nilpotente.

Applications

Divergence

Article détaillé : Divergence (mathématiques).

Étant donné un espace vectoriel réel E de dimension finie, le déterminant définit une application det de l'espace des opérateurs sur E vers R, qui est homogène de degré n. Le nombre det(u) s'exprime comme une fonction polynômiale en les coefficients de la matrice représentant u dans une base quelconque de E. La fonction det est donc différentiable. Sa différentielle en l'identité est la trace. Autrement dit, pour tout opérateur u sur E,

det(I + u) = 1 + Tr(u) + o (u)

où o(u) signifie que le reste est négligeable devant u quand u tend vers zéro. Comme conséquence, pour tout opérateur u sur E,

det(exp(u)) = exp(Tr(u))

En particulier, l'exponentielle de u est de déterminant 1 ssi u est un opérateur de trace nulle. Ce résultat s'interprète dans la théorie des groupes de Lie comme suit. L'application det est un morphisme continu de groupes du groupe linéaire GL(E) vers R. Son noyau, l'ensemble des opérateurs de déterminant 1, donc est un sous-groupe de GL(E), noté SL(E). Il s'agit d'un groupe de Lie classique, c'est-à-dire d'un sous-groupe fermé de GL(E). Géométriquement, un opérateur appartient à SL(E) si et seulement s'il préserve le volume de Lebesgue de E. Son algèbre de Lie est exactement l'ensemble des opérateurs u de trace nulle, noté $\mathfrak{sl}(E)$ .

Sur un ouvert U de E, un champ de vecteurs X est une application $X:U\rightarrow \R^n$ . Si cette application est lipschitzienne, le théorème de Cauchy-Lipschitz affirme l'existence de solutions maximales de l'équation différentielle ordinaire

c'(t) = X (c (t))

(1).

Le flot de X est la famille de difféomorphismes $f t$ qui envoient x sur c(t), où c est la solution de (1) avec comme condition initiale c(0)=x. Le flot est défini localement. On introduit la divergence de X

div(X)(x) = Tr(dX(x))

où dX(x) désigne la différentielle de X en x, qui est un opérateur sur E. Le flot f_t préserve le volume de Lebesgue ssi la divergence est nulle. Plus précisément, pour tout ouvert $Ω$ dont l'adhérence est incluse dans U,

$\left. \frac{d}{dt}\right|_{t=0}Vol(f_t(\Omega))=\int_{\Omega} \textrm{div}(X)(x)dx$ .

(Cette égalité permet d'étendre la définition de la divergence, par exemple sur des variétés orientées en présence de formes volumes. Voir divergence (mathématiques).)

Forme de Killing

Article détaillé : Forme de Killing.

Si $\mathfrak{g}$ est une algèbre de Lie sur un corps K, la représentation adjointe de $\mathfrak{g}$ , notée ad, est donnée par

a d (X)(Y) = [X, Y]

La forme de Killing sur $\mathfrak{g}$ est la forme bilinéaire symétrique

$B(X,Y)=\textrm{Tr}\left(ad(X)\circ ad(Y)\right)$ .

Les automorphismes de l'algèbre de Lie $\mathfrak{g}$ préserve la forme de Killing. En particulier, sa représentation adjointe préserve B. La forme de Killing a été introduite par Élie Cartan^[12] pour caractériser la semi-simplicité des algèbres de Lie. Quand K=R, elle fournit aussi des informations sur le groupe de Lie associé. Voir critère de Cartan (en).

Soit G un groupe de Lie (par exemple, un sous-groupe fermé de GL(E)). Par définition, son algèbre de Lie est l'espace des champs de vecteurs sur G invariants à gauche, muni du crochet de Lie [,] (commutateur de champs de vecteurs). La forme de Killing associée B définit une métrique pseudo-riemannienne bi-invariante sur G. Si la forme de Killing B est définie positive, alors la métrique associée est une métrique riemannienne à courbure positive. Le théorème de Meyers implique que G est compact. D'autres liens existent.

Produit scalaire canonique

Soit $A=(a_{i,j})_{1\le i\le n,\ 1\le j\le p}$ et $B=(b_{i,j})_{1\le i\le n,\ 1\le j\le p}$ deux matrices dans $\mathcal M_{n,p}(\R)$ . On remarque que

$(A\mid B) = \sum_{1\le i\le n,\ 1\le j\le p} a_{i,j}b_{i,j} = \mathrm{Tr}(^tAB)=\mathrm{Tr}(^tBA)$

On dispose ainsi d'une écriture agréable du produit scalaire canonique sur l'espace $R n p$ .

Si H est un espace euclidien ou hermitien, l'opérateur adjoint d'un opérateur u sur H est un opérateur sur H. On définit alors le produit scalaire suivant sur l'espace $\mathcal{L}(H)$ des opérateurs sur H :

$(u\mid v)=\textrm{Tr}(u^*v)$ .

Avec cette définition, il apparait clairement que les opérateurs autoadjoints et les opérateurs antiautoadjoints forment deux sous-espaces orthogonaux de $\mathcal{L}(H)$ . L'adjonction est la symétrie orthogonale par rapport à l'espace des opérateurs autoadjoints.

Laplacien

Article détaillé : Laplacien.

Soit U un ouvert de l'espace vectoriel réel $\R^n$ contenant 0, et soit $f:U\rightarrow\R$ de classe C². La hessienne H de f en 0 est une forme bilinéaire symétrique sur E, vérifiant

$f(x)-f(0)=\mathrm{d}f(0)(x)+H(f)(x,x)+o(\|x\|^2)$ .

Par définition, le laplacien de f en 0 est la trace de la hessienne :

$\Delta f(0)=\mathrm{Tr} [H(f)(0)]=\sum_{i=1}^n \frac{\partial^2f}{\partial x_i^2} (0)$

Les fonctions de classe C² de laplacien nul sont dites harmoniques. Nécessairement analytiques, ces fonctions interviennent notamment en analyse complexe et en analyse fonctionnelle. En particulier, les fonctions de laplacien nul sont les solutions du problème de Dirichlet qui est la recherche des extrémales de l'énergie de Dirichlet.

Par ailleurs, la définition du Laplacien se généralise en géométrie différentielle pour des fonctions sur des variétés riemanniennes, mais aussi pour des objets plus généraux, comme par exemple les formes différentielles. Y compris dans ce cadre plus général, la définition peut être donnée par des traces de formes bilinéaires. Les formes de laplacien nul sont appelées harmoniques, et la théorie de Hodge (en) en montre l'importance.

Termes de courbure

Article détaillé : Courbure moyenne.

Étant donné une surface orientée lisse S de l'espace euclidien $\R^3$ , la courbure moyenne de S en x est la moyenne des deux courbures principales de S en x. Formellement, ces courbures sont les valeurs propres d'une forme quadratique sur le plan tangent T_xS, appelée la seconde forme fondamentale de S en x, notée $I I x$ . La courbure moyenne de S en x est

$m(x)=\frac{\mathrm{Tr} (II_x)}{2}$ .

La définition de la courbure moyenne s'étend aux sous-variétés lisses N des variétés riemanniennes. Sa valeur en x n'est plus un scalaire mais un vecteur orthogonal à $T x N$ , qui se définit encore au moyen de traces. Les sous-variétés de courbure moyenne nulle sont appelées minimales et sont les extrémales du volume riemannien.

Généralisations

Opérateurs à trace

En dimension infinie, un espace de Hilbert H est séparable si et seulement s'il admet une base hilbertienne dénombrable $(e_i, i\in \Z)$ . Un opérateur A est dit à trace si

$\|A\|_1=\sum_{i\in \Z} \|A e_i\|<\infty$ .

Dans ce cas, on pose

$\textrm{Tr}(A)=\sum_{i\in \Z} \langle Ae_i|e_i \rangle$ .

Les opérateurs à trace (en) forment un espace vectoriel noté $L 1 (H)$ , qui est complet pour la norme $\|\|_1$ . La trace définit une forme linéaire continue Tr de $L 1 (H)$ vers R.

$|\textrm{Tr}(A)|\leq \|A\|_1=\textrm{Tr}(\sqrt{A^*A})$ .

En dimension finie, la trace d'un opérateur est la somme des coefficients diagonaux d'une représentation matricielle. L'exemple suivant en est une généralisation. Soit $μ$ une mesure borélienne sur un espace topologique compact K. Soit $f:K^2\rightarrow R$ une application continue. Sur l'espace de Hilbert $L^2(K,\R)$ des fonctions $K\rightarrow \R$ des fonctions de carré sommable, elle définit l'opérateur à noyau

$\begin{matrix} L^2(K,\R) & \rightarrow & L^2(K,\R)\\ h & \mapsto & x\mapsto \int_K f(x,y)h(y)d\mu(y)\end{matrix}$

est un opérateur à trace, et sa trace vaut :

∫	f(x,x)dμ(x).
K

Notes et références

↑ Serge Lang, Algèbre [détail des éditions] , p. 515, ou N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, Hermann, 1970 , p. II.158 présente la définition sous une forme légèrement plus générale, et écrit la formule pour une matrice carrée supposée indexée par un ensemble fini quelconque, pas nécessairement celui des entiers entre 1 et n.
↑ Ou le module si K est seulement un anneau commutatif.
↑ ^{a et b} Bourbaki A, op. cit., p. II.158
↑ Lang 2004, op. cit., p. 515
↑ Lang 2004, op. cit., p. 520
↑ Bourbaki A, op. cit., p. II.78
↑ N. Bourbaki, Éléments de mathématique, EVT, chap. V, §4, n°9 s'intitule : Trace d'une forme quadratique par rapport à une autre.
↑ Henri Roudier, Algèbre linéaire, Vuibert, 2003 (ISBN 2-7117-8966-7)
↑ L'anneau n'étant pas supposé intègre, cette écriture n'est pas nécessairement unique.
↑ Lang 2004, op. cit., p. 576-579 (pour l'ensemble de la section, jusqu'à l'appel de notes)
↑ E. Leichtnam, Oral Maths Polytechnique - ENS Algèbre et Géométrie, p. 70-71, ou Roudier 2003, op. cit., p. 512. La preuve fournie dans ces sources ne repose pas sur les identités de Newton mais est plus rapide, par récurrence sur la dimension en s'appuyant sur le lemme des noyaux.
↑ Élie Cartan, Sur la structure des groupes de transformations finis et continus, Thèse, éd. Nony, 1894

Voir aussi

Trace de Dixmier (en)
Opérateur trace (en)

v · d · m Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs	Famille génératrice • Famille libre (indépendance linéaire) • Base • Théorème de la base incomplète • Rang • Colinéarité
Sous-espace	Sous-espace vectoriel • Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives	Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Diagonalisation • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie	Espace vectoriel de dimension finie • Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford • Décomposition de Frobenius
Enrichissements de structure	Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements	Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau

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Trace (algèbre)

Sommaire

Définitions

Trace d'une matrice carrée

Trace d'un endomorphisme

Dans un espace vectoriel

Dans un module

Trace d'une forme quadratique

Exemples

Trace, polynôme caractéristique et valeurs propres

Trace et polynôme caractéristique

Trace d'un polynôme de matrice

Applications

Divergence

Forme de Killing

Produit scalaire canonique

Laplacien

Termes de courbure

Généralisations

Opérateurs à trace

Notes et références

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Définitions

Trace d'une matrice carrée

Trace d'un endomorphisme

Dans un espace vectoriel

Dans un module

Trace d'une forme quadratique

Exemples

Trace, polynôme caractéristique et valeurs propres

Trace et polynôme caractéristique

Trace d'un polynôme de matrice

Applications

Divergence

Forme de Killing

Produit scalaire canonique

Laplacien

Termes de courbure

Généralisations

Opérateurs à trace

Notes et références

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