Module projectif
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En mathématiques, un module projectif est un module P (à gauche par exemple) sur un anneau A tel que pour tout morphisme surjectif f : N → M entre deux A-modules (à gauche) et pour tout morphisme g : P → M, il existe un morphisme h : P → N tel que g = fh, c'est-à-dire tel que le diagramme suivant commute :
Autrement dit : P est projectif si pour tout module N, tout morphisme de P vers un quotient de N se factorise par N.
Propriétés
- Les A-modules projectifs sont les objets projectifs (en) de la catégorie abélienne des A-modules : P est projectif si et seulement si le foncteur Hom(P, ) (covariant, exact à gauche) est exact (en).
- Un module est projectif si et seulement s'il est facteur direct dans un module libre.
- Par conséquent, tout module projectif est plat. Inversement, tout module plat de présentation finie est projectif.
- Sur un anneau de Dedekind A, tout module projectif de type fini est isomorphe à
pour un idéal I de A.
- Sur un anneau noethérien, un module de type fini est projectif si et seulement s'il est localement libre.
- D'après le théorème de Quillen-Suslin (en), sur un anneau de polynômes A[X1,...,Xn] où A est un anneau principal (par exemple un corps), tout module projectif de type fini est même libre[1],[2].
- Si A est un anneau commutatif noethérien sans idempotent non-trivial (i.e. e2 = e implique que e = 0 ou 1), tout module projectif non de type fini sur A est libre[3].
Note
- ↑ (en) Daniel Quillen, « Projective modules over polynomial rings », dans Inventiones Mathematicae, vol. 36, no 1, 1976, p. 167-171 [lien DOI]
- ↑ Daniel Ferrand, « Les modules projectifs de type fini sur un anneau de polynômes sur un corps sont libres », dans Séminaire Bourbaki, vol. 18, no 484, juin 1976, p. 202-221 [texte intégral]
- ↑ Hyman Bass: Big projective modules are free,: Illinois J. Math. Volume 7, Issue 1 (1963), 24-3, Corollary 4.5.
Article connexe
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2010.
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