Diagonale Principale

Diagonale Principale

Diagonale principale

En algèbre linéaire, la diagonale principale d'une matrice est la diagonale qui descend du coin en haut à gauche jusqu'au coin en bas à droite. Par exemple, la matrice carré d'ordre 3, qui suit a des 1 sur sa diagonale principale:

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Il s'agit en particulier de la matrice identité d'ordre 3.

Ici, la diagonale principale est composée de 1 et on a également 2 diagonales "secondaires" de part et d'autres de la diagonale principale, composées par des 2 et l'autre par des 3.

\begin{bmatrix} 1 & 3 & 0\\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}

Une matrice qui a tous les coefficients en dehors de la diagonale principale nuls est appelée matrice diagonale.

Les coefficients de la diagonale principale de certaines matrices indiquent si elles sont inversibles ou non, ou donnent les valeurs propres:

La trace qui est la somme des coefficients de la diagonale principale, est égale à la somme des valeurs propres.

Algèbre linéaire générale
Vecteur • Scalaire • Combinaison linéaire • Espace vectoriel • Matrice
Famille de vecteurs Colinéarité • Indépendance linéaire • Famille libre • Rang • Famille génératrice • Base • Théorème de la base incomplète Mathématiques
Sous-espace Somme d'ensembles • Somme directe • Sous-espace supplémentaire • Dimension d'un espace vectoriel • Codimension • Droite • Plan • Hyperplan
Morphisme et notions relatives Application linéaire • Noyau • Conoyau • Lemme des noyaux • Pseudo-inverse • Théorème de factorisation • Théorème du rang • Équation linéaire • Système d'équations linéaires • Élimination de Gauss-Jordan • Forme linéaire • Espace dual • Orthogonalité • Base duale • Endomorphisme linéaire • Valeur propre, vecteur propre et espace propre • Spectre • Projecteur • Symétrie • Matrice diagonalisable • Endomorphisme nilpotent
En dimension finie Trace • Déterminant • Polynôme caractéristique • Polynôme d'endomorphisme • Théorème de Cayley-Hamilton • Polynôme minimal d'un endomorphisme • Invariants de similitude • Réduction d'endomorphisme • Réduction de Jordan • Décomposition de Dunford
Enrichissements de structure Norme • Produit scalaire • Forme quadratique • Espace vectoriel topologique • Orientation • Algèbre sur un corps • Algèbre de Lie • Complexe différentiel
Développements Théorie des matrices • Représentation de groupe • Analyse fonctionnelle • Algèbre multilinéaire • Module sur un anneau
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