- Transvection
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Dessin d'origine
résultat de la transvection
Cet article est à lire en parallèle avec celui sur les dilatations.
Sommaire
Transvection vectorielle
Soient f un endomorphisme d'un espace vectoriel E, H = Ker(f − id) l'ensemble des vecteurs invariants, et D = Im(f − id) (d'après le théorème du rang, dim(H) + dim(D) = dim(E)).
On dit que f est une transvection si f est l'identité, ou si H est un hyperplan (base de la transvection) (ce qui revient à dire que D, direction de la transvection, est une droite) et D est inclus dans H (c'est-à-dire que pour tout x de E, f(x) − x appartient à H).
Condition équivalente 1 : f est linéaire, Ker(f − id) est l'espace tout entier ou un hyperplan, et (f − id)2 = 0.
Condition équivalente 2 : il existe une forme linéaire h sur E et un vecteur u de Ker(h) tels que pour tout x de E :
Les transvections sont bijectives (f − 1(x) = x − h(x)u) et, en dimension finie, sont de déterminant 1 ; elles engendrent le groupe spécial linéaire de E : SL(E). L'ensemble des transvections de base H en forme un sous-groupe, isomorphe au groupe additif H (à u de H, faire correspondre la transvection
).Matrice de transvection
Dans une base de
contenant une base de 
dont l'un des vecteurs est un vecteur directeur de 
, la transvection a pour matrice une matrice du type 
avec 
, la matrice Eij étant constituée de zéros partout sauf un 1 en position ( i, j ).Ces matrices In + λEij sont appelées matrices de transvection ; elles engendrent le groupe spécial linéaire
.La forme la plus réduite, qui est sa forme de Jordan, de la matrice d'une transvection différente de l'identité est
Transvection affine
Une transvection d'un espace affine
est soit l'identité, soit une application affine de dans dont l'ensemble des points invariants est un hyperplan de (base de la transvection) et telle que pour tout point 
le vecteur 
reste parallèle à . Les vecteurs forment alors une droite vectorielle 
(direction de la transvection).Une transvection affine a pour partie linéaire une transvection vectorielle. Réciproquement, les applications affines ayant pour partie linéaire une transvection vectorielle sont les transvections glissées, composée d'une transvection et d'une translation de vecteur parallèle à la base.
Étant donné deux points
et 
tels que la droite 
est parallèle à un hyperplan , mais non incluse dans cet hyperplan, il existe une unique transvection de base envoyant sur ; on obtient facilement l'image 
d'un point par la construction :
Transvection projective
Si l'on plonge l'espace affine
dans son complété projectif, en lui adjoignant un hyperplan à l'infini 
, on sait que l'on peut munir le complémentaire 
de l'hyperplan d'une structure d'espace affine (les droites qui sont sécantes en un point de dans deviennent parallèles dans et celles qui sont parallèles dans deviennent sécantes en un point de ).A toute transvection d'hyperplan
de est alors associée une application affine de qui n'est autre qu'une translation !Les transvections sont donc en fait des translations en perspective... Si l'on regarde par avion une translation de vecteur parallèle à la ligne d'horizon, on voit une transvection : 
Si maintenant on envoie un autre hyperplan que
et à l'infini, la transvection devient une homologie spéciale.En résumé, il y a, en géométrie projective, identité entre les translations, les transvections, et les homologies spéciales.
Transvection euclidienne
Soit 
une transvection d'un espace euclidien, 
un vecteur normal et normé de sa base et sa direction de vecteur directeur normé 
.
Avec les notations ci-contre, on a
.Le nombre
est alors le coefficient de la transvection, et l'angle 
, défini par 
, son angle.Réalisation d'une transvection par perspective parallèle
Plongeons l'espace euclidien
de dimension n comme hyperplan d'un espace 
de dimension n+1 et faisons tourner autour de son hyperplan , de façon à en obtenir une copie 
.Tout point
de a une copie 
dans , donc aussi l'image de par une transvection de base .On montre que la droite
garde une direction fixe , ce qui montre que 
s'obtient par projection de dans (projection de base et de direction ).Voir ici une réalisation concrète de ce procédé.
Liens internes
Sources
- Source pour la partie projective : Alain Bigard, Géométrie, Cours et exercices corrigés pour le Capes et l'agrégation, Masson, 1998
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