Representation adjointe

Representation adjointe

Représentation adjointe

Tout groupe de Lie connexe G admet une représentation naturelle, appelée représentation adjointe dont l'introduction est liée à la définition de son algèbre de Lie. La forme bilinéaire associée est la forme de Killing.

À tout élément x de G est associé l'automorphisme intérieur ιx défini par : ιx(y) = xyx − 1. Cette application est un automorphisme de groupe de Lie. Sa différentielle en l'élément neutre est une application linéaire ad(x):\mathfrak{g}\rightarrow \mathfrak{g} où \mathfrak{g} désigne l'espace tangent de G en son élément neutre. L'application ad:G\rightarrow GL(\mathfrak{g}) est un morphisme de groupes de Lie : c'est la représentation adjointe.

ad:G\rightarrow GL(\mathfrak{g}).


Régularité de ad

Si G est un groupe de Lie C^{\infty}, l'application ad est différentiable. En effet, il suffit de démontrer que l'application d'évaluation G\times\mathfrak{g}\rightarrow\mathfrak{g}:(g,v)\mapsto ad(g)v est différentiable. Mais par définition de ad, c'est la différentielle en la seconde variable en l'élément neutre de G\times G\rightarrow G:(x,y)\mapsto xyx^{-1}.

En toute généralité, il y a une perte de régularité pour la représentation adjointe.

La représentation adjointe sert notamment à définir une structure d'algèbre de Lie sur \mathfrak{g}. La différentielle de la représentation adjointe en l'élément neutre fournit une application différentiable :

Ad:\mathfrak{g}\rightarrow GL(\mathfrak{g}).

On définit le crochet de Lie de deux vecteurs X et Y par :

[X,Y] = Ad(X)(Y)
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