Cloture algebrique

Cloture algebrique

Clôture algébrique

En mathématiques, une clôture algébrique d'un corps K est une extension algébrique de K qui est algébriquement close, c'est-à-dire tel que tout polynôme à coefficients dans l'extension admet autant de racines que son degré.

En utilisant le lemme de Zorn, il est possible de démontrer que tout corps possède une clôture algébrique et que cette clôture est unique à un isomorphisme près qui laisse invariants tous les éléments de K. En raison de cette unicité essentielle, on parle souvent de la clôture algébrique d'un corps plutôt que d'une clôture algébrique.

La clôture algébrique d'un corps K peut être vue comme la plus grande extension algébrique de K. En effet, il suffit de remarquer que si L est une extension algébrique de K, alors la clôture algébrique de L est également une clôture algébrique de K, donc L est contenu dans la clôture algébrique de K.

La clôture algébrique de K est également le plus petit corps algébriquement clos contenant K, puisque si M est un corps algébriquement clos contenant K, alors les éléments de M, algébriques sur K, forment une clôture algébrique de K.

La clôture algébrique d'un corps K a le même cardinal que K si K est infini ; elle est dénombrable si K est fini.

Exemples

  • Il existe des corps algébriquement clos dénombrables inclus dans le corps des nombres complexes, qui contiennent (strictement) le corps des nombres algébriques ; ce sont les clôtures algébriques des extensions transcendantes du corps des rationnels, comme par exemple la clôture algébrique de Q(π).
  • La clôture algébrique d'un corps fini d'ordre premier p est un corps dénombrable qui contient une copie du corps d'ordre pn, pour tout entier naturel n (c'est en fait l'union de toutes ces copies).
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Cl%C3%B4ture alg%C3%A9brique ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Cloture algebrique de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Clôture Algébrique — En mathématiques, une clôture algébrique d un corps K est une extension algébrique de K qui est algébriquement close, c est à dire tel que tout polynôme à coefficients dans l extension admet autant de racines que son degré. En utilisant le lemme… …   Wikipédia en Français

  • Clôture algébrique — En mathématiques, une clôture algébrique d un corps commutatif K est une extension algébrique L de K qui est algébriquement close, c est à dire telle que tout polynôme de degré supérieur ou égal à un, à coefficients dans L, admet au moins une… …   Wikipédia en Français

  • algébrique — [ alʒebrik ] adj. • XVIIIe; algébraïque 1585; de algèbre ♦ Relatif à l algèbre, qui s effectue par l algèbre. Calcul numérique et calcul algébrique. Mesure, quantité algébrique. Courbe, équation, fonction algébrique. Nombre algébrique. Topologie… …   Encyclopédie Universelle

  • clôture — [ klotyr ] n. f. • XIIe; altér. de l a. fr. °closure (bas lat. clausura, de claudere « clore ») par infl. des mots en ture 1 ♦ Ce qui sert à obstruer le passage, à enclore un espace. ⇒ barrière, 1. enceinte, fermeture. Mur, porte de clôture.… …   Encyclopédie Universelle

  • Cloture (mathematiques) — Clôture (mathématiques) On parle de clôture ou de fermeture en mathématiques dans des contextes très divers. Quelques exemples sont listés ci dessous. Clôture pour des opérations En mathématiques, on dit qu un ensemble est clos pour des fonctions …   Wikipédia en Français

  • Clôture (Mathématiques) — On parle de clôture ou de fermeture en mathématiques dans des contextes très divers. Quelques exemples sont listés ci dessous. Clôture pour des opérations En mathématiques, on dit qu un ensemble est clos pour des fonctions ou opérations si ces… …   Wikipédia en Français

  • Algebrique — Algébrique Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom …   Wikipédia en Français

  • Clôture galoisienne — Extension de Galois En mathématiques, une extension de Galois (parfois nommée extension galoisienne) est une extension de corps finie normale séparable. L ensemble des automorphismes de l extension possède une structure de groupe appelé groupe de …   Wikipédia en Français

  • Clôture séparable — En mathématiques, une clôture séparable d un corps commutatif K est une extension algébrique séparable de K, et maximale (au sens de l inclusion) pour cette propriété. Définition Un corps K est séparablement clos si toute extension finie… …   Wikipédia en Français

  • Clôture parfaite — En mathématiques et plus précisément dans la théorie des extensions de corps, la clôture parfaite d un corps est grosso modo une extension algébrique parfaite minimale. Sommaire 1 Définition 2 Existence 3 Critère de séparabilité de MacLane …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”