Polynôme symétrique élémentaire

Polynôme symétrique élémentaire

Polynôme symétrique

En mathématiques, un polynôme symétrique est un polynôme en plusieurs indéterminées, invariant par permutation de ses indéterminées. Ils jouent notamment un rôle dans les relations entre coefficients et racines.

Définition

Dans un espace K[T_1,\dots,T_n] de polynômes à plusieurs indéterminées, un polynôme P(T1,...,Tn) est dit symétrique si pour toute permutation s de l'ensemble d'indices [1,n], l'égalité suivante est vérifiée : P(T_1,\dots,T_n)=P(T_{s(1)},\dots,T_{s(n)}). Pour n=1, tout polynôme est symétrique. Pour n=2, le polynôme T1+T2 est symétrique alors que le polynôme T1-T2 ne l'est pas, du moins en caractéristique différente de 2 (puisque la transposition des indices transforme le polynôme en son opposé).

Les polynômes symétriques forment une sous-algèbre de K[T_1,\dots,T_n]. Une famille génératrice est donnée par les polynômes symétriques élémentaires : ce sont les polynômes \sigma_i(T_1,\dots,T_n), pour 0\leq i\leq n définis par :

\prod_{k=1}^n (X-T_k)=\sum_{i=0}^n(-1)^i\sigma_i(T_1,\dots,T_n)X^{n-i}.

En particulier, \sigma_1(T_1,\dots,T_n)=T_1+\dots+T_n, et \sigma_n(T_1,\dots,T_n)=T_1\times\dots\times T_n. Plus précisément, le morphisme d'algèbre défini par :

\begin{array} {ccc} K[X_1,\dots X_n] & \to & K[\sigma_1(T_1,\dots,T_n),\dots,\sigma_n(T_1,\dots,T_n)]\\ X_i & \mapsto & \sigma_i(T_1,\dots,T_n) \end{array}

est un isomorphisme à valeurs dans l'algèbre des polynômes symétriques[1]. Un autre système de générateurs célèbre, lié au précédent, est constitué des sommes de Newton.

Dans le contexte de la théorie des polynômes à une indéterminée, si un tel polynôme admet une factorisation P(X)=\prod_k(X-z_k)=\sum_{i=0}^n a_iX^{n-i} en facteurs de degré 1, alors les coefficients du polynôme P sont donnés comme fonctions symétriques des racines zi, c'est-à-dire :

a_i=(-1)^i\sigma_i(z_1,\dots,z_n).

Notes et références

  1. ↑ voir par exemple Algèbre commutative de Rémi Goblot, théorème 7.3. Dunod.
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