Algèbre Géométrique

 Cet article concerne l'algèbre géométrique au sens élémentaire du terme. Pour l'étude de la structure mathématique du même nom, voir Algèbre géométrique (structure).

Paul Tannery est l'auteur de l'expression algèbre géométrique qu'il utilise pour décrire une branche des mathématiques grecques comme celle développée dans le Livre II des Éléments d'Euclide sur ce qui est maintenant interprété comme des méthodes de résolution de problème du deuxième degré. Si le terme est maintenant controversé pour les grecs, il s'applique toujours pour les mathématiques arabes.

En histoire des mathématiques, l'algèbre géométrique est un terme utilisé par Paul Tannery pour décrire des techniques mathématiques utilisées par les grecs^[1]. Certaines identités algébriques peuvent être démontrées à l'aide de la géométrie euclidienne, c'est le cas pour les égalités définissant les règles d'addition et de multiplication des fractions, ou encore pour les identités remarquables les plus célèbres.

De manière plus sophistiquée, la géométrie euclidienne est aussi utilisée comme une méthode permettant de calculer des approximations de problèmes algébriques que l'on ne sait pas nécessairement résoudre autrement. La civilisation arabe utilise cette approche pour trouver les solutions des équations du troisième degré qui apparaissent dans des problèmes d'astronomie, bien avant que des méthodes purement algébriques soient trouvées.

Depuis Paul Tannery, un historien des sciences du XIX^e siècle, l'utilisation du terme algèbre géométrique a évolué. Il ne s'applique plus, à proprement parlé, à la culture grecque, car elle ne connaît pas le concept de l'équation ou celui de l'inconnue. En revanche, ces techniques sont exploités et largement développées par les mathématiciens arabes entre le VIII^e siècle et le XV^e siècle, à l'origine du terme et du concept d'algèbre. Dans ce contexte le terme d'algèbre géométrique est utilisé à bon escient.

Le terme algèbre géométrique désigne aussi une branche des mathématiques consistant à associer une géométrie à une structure d'algèbre, essentiellement à l'aide d'un produit vectoriel. Cet aspect est traité dans l'article Algèbre géométrique (structure). Le terme géométrie algébrique désigne une branche des mathématiques tout à fait différente, constituée d'un savoir essentiellement acquis au XIX^e siècle et XX^e siècle et toujours d'actualité en recherche mathématiques.

Équation du premier degré

Fraction

L'outil essentiel pour la résolution d'une équation du premier degré est la fraction. Son maniement peut se comprendre à l'aide d'idées issues de l'algèbre géométrique.

Un exemple est donné par la multiplication du numérateur et du dénominateur d'une fraction par un même nombre. Cette opération ne modifie pas la valeur de la fraction. Ainsi, 2/3 est aussi égal à (2x2)/(2x3), c'est-à-dire 4/6. Une manière de s'en rendre compte est de considérer un rectangle d'aire égale à 1. On divise ce rectangle en trois partie égales à l'aide de deux segments verticaux, comme indiqué sur le membre de gauche de la figure ci-dessous :

La zone bleue du membre de gauche correspond à deux surfaces d'aires 1/3, elle est d'aire égale à 2/3. Si le rectangle initiale est en plus coupé en deux parties égales par un segment horizontal, il est maintenant divisé en 6 parties de même aire. La zone bleue est maintenant constituée de 4 petits rectangles d'aire 1/6, son aire est égale à 4/6. L'aire de la zone bleue est égale à la fois à 2/3 et à 4/6, ce qui montre l'égalité recherchée.

Une règle d'algèbre, traitant du comportement d'une fraction est établie à l'aide d'un raisonnement géométrique. Cette démarche, visant à démontrer des résultats algébriques à l'aide de raisonnements géométriques, caractérise l'algèbre géométrique.

L'article détaillé montre comment toutes les différentes règles régissant le calcul des fractions, peuvent se montrer à l'aide de raisonnements analogues.

Proportionnalité

Le théorème de Thalès permet de généraliser la démonstration précédente.

Le raisonnement précédent possède une limite, il ne s'applique que pour une fraction d'entier, multipliée au numérateur et dénominateur par un entier. L'usage de l'algèbre géométrique et une astuce un peu différente permet de démontrer qu'une fraction b/c est égale à (a.b)/(a.c) si a, b, c sont trois nombres réels positifs tels que a et c soient non nuls.

Pour montrer ce résultat, on considère deux droites (noires sur la figure de droite) ayant comme intersection un unique point A. On définit les points B et C tels que la distance AB soit égale à b et AC à c. Les points B et C sont chacun sur une des droites, comme indiqué sur la figure. Le point D (resp. E) se situe sur la droite AB (resp. AC) et la distance AD (resp. AE) est égale à a.b (resp. a.c). Le théorème de Thalès indique que les droites rouges sont parallèles et que :

Cette fois-ci, les valeurs a, b et c ne sont plus nécessairement entières, cette démonstration correspond bien à une généralisation de la démarche précédente. D'autres résultats algébriques se démontrent à l'aide du même théorème. Par exemple, si b, c, d et e sont quatre nombres réels strictement positifs, on obtient :

Pour démontrer ce résultat, on utilise la même figure. Cette fois-ci, b désigne AB, c désigne AC, d AD et e AE. L'égalité précédente est encore une conséquence du même théorème.

Équation du premier degré

Le théorème de Thalès peut être vu comme un outil de résolution d'une équation du premier degré.

L'équation du premier degré est la famille la plus simple d'équation. Elle permet de résoudre des questions comme : « Un homme meurt et laisse quatre fils et il fait, à un homme, une donation égale à la part d'un de ses fils et à un autre le quart de ce qui reste »

Ce problème est dit du premier degré car il se formalise de la manière suivante. Si x désigne la fraction de l'héritage que reçoit un fils, l'héritage se décompose en 4.x correspondant à la part que reçoit les quatre fils réunion, x correspondant à la part que reçoit un homme et 1/4(1 - x) correspond à la part que reçoit l'autre homme. La question s'écrit, la valeur 1 à droite désigne 1 héritage :

Cette équation ne contient que des constantes et des termes correspondant à la multiplication de x par un nombre, on parle d'équation du premier degré. Le théorème de Thalès permet de résoudre cette question. La réponse géométrique est illustrée sur la figure de droite. On trace dans un premier temps en rouge une droite que l'on munit d'une graduation. Elle représente le nombre d'héritages obtenue en fonction de la valeur de x, la part d'un des fils. La droite bleue représente la part d'un des fils, elle est munie aussi d'une graduation, pas nécessairement de même pas que la précédente. Si la part x est égale à 0, le reste correspondant à la part du deuxième homme correspond à 1/4, les droites bleue et rouge se coupent au point 1/4 pour la droite rouge et 0 pour la bleue.

Si x est égal à 1, on trouve 4 héritages pour les fils, 1 héritage pour le premier homme et 0 pour le second, soit 5. On trace alors une droite qui part du point de graduation 1 pour la droite bleue et qui intersecte la droite rouge au point de graduation 5.

On trace ensuite en vert, la droite parallèle au segment noir, et qui coupe la droite rouge au point de graduation 1. Le théorème de Thalès indique que l'intersection de la droite verte et de la bleu est à une distance de l'intersection des droites rouges et bleues égale à la valeur de x recherchée. Le théorème de Thalès offre une représentation géométrique de la réponse recherchée.

La limitation de la méthode réside dans le fait que la valeur recherchée est donnée sous forme d'une longueur, la fraction correspondant à cette longueur n'est pas explicitée. En revanche, les résultats précédents établis de manière géométrique, permettent une résolution algébrique. L'équation s'écrit encore :

Le nombre 5 est encore égal à 5/1, le résultat établi au paragraphe précédent montre que 5/1 est aussi égal à 20/4, en multipliant en haut et en bas par 4. Comme 20/4 - 1/4 est égal à 19/4, il existe dans le terme de droite exactement 19/4 fois le terme x. De la même manière 1 est égal à 4/4. L'équation (2) s'écrit :

En retranchant 1/4 à chaque terme de l'équation (3), on obtient :

Il suffit de multiplier par 4/19 pour trouver que x est égal à 3/19. Ici, des formules algébriques ont été établi à l'aide de la géométrie algébrique, elles sont ensuite appliquées sans l'aide de la géométrie. C'est souvent ainsi que procède l'algèbre géométrique.

Équation du second degré

Introduction par l'exemple : le nombre d'or

La proportion définie par a et b est dite d'extrême et de moyenne raison lorsque a est à b ce que a + b est à a. Le rapport a / b est alors égal au nombre d'or.

Les triangles OAB et OCA sont semblables si et seulement si les longueurs a et b sont en extrême et moyenne raison, selon l'expression d'Euclide.

Initialement, l'algèbre consiste essentiellement à résoudre des équations, très souvent polynômiales, c'est-à-dire qui peuvent s'exprimer comme la recherche de racines d'un polynôme comme :

Cette équation admet pour solutions le nombre d'or φ et l'opposé de son inverse -φ⁻¹. Ses racines ont une interprétation géométrique, illustrée sur la figure de gauche. Soient a et b deux longueurs, telles que, selon l'expression d'Euclide : « Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand, comme elle est tout entière relativement au plus grand segment, ainsi est le plus grand relativement au plus petit^[2]. ». Les valeurs a et b vérifient la relation algébrique :

Si la fraction a/b désigne l'inconnue, on retrouve l'équation initiale. La géométrie permet de construire une telle proportion. Si le nombre d'or est noté φ, les racines de l'équation (1) sont :

La méthode de résolution consiste uniquement à appliquer judicieusement le théorème de Pythagore sur un rectangle d'or de largeur égale à 1. Ainsi, un problème purement algébrique, consistant à résoudre l'équation (1) est résolu à l'aide de la géométrie euclidienne.

Un exemple plus simple d'équation du second degré résolue par la géométrie est donné dans l'article Inconnue (mathématiques). Il correspond à l'énoncé suivant : « Un champ rectangulaire possède une aire de 96 et un périmètre de 40. Quelles sont les longueur et largeur du champ ?^[3] ». Son origine est beaucoup plus lointaine, cette question nous vient des babyloniens. La résolution, par la méthode géométrique et algébrique, est proposée dans l'article détaillé.

Identité remarquable

Certaines identités remarquables se démontrent à l'aide de la géométrie plane.

La résolution d'une équation du second degré, dans le cas général, se résout à l'aide de trois identités remarquables, développant les expressions (a + b)², (a - b)² et (a + b)(a - b)^[4]. Ces résultats étaient connus bien avant le formalisme moderne de l'équation et de l'inconnue, il date probablement des babyloniens^[5]. Ils proviennent de considérations géométriques. Ces trois identités se démontrent à l'aide de la géométrie.

Pour établir la formule suivante, on considère la figure de droite :

La longueur bleue représente a et la rouge b. L'expression (a + b)² est égale à l'aire du grand carré de côté a + b. Il est possible de le décomposer en trois partie : la zone bleu, correspondant à un carré de côté a et d'aire a²; la zone rouge, correspondant à un carré de côté b et d'aire b² et la zone verte, correspondant à deux rectangle de longueur a et de largeur b. Chaque rectangle de la zone verte est d'aire égale à a.b, la zone verte est d'aire 2ab. On retrouve bien l'identité remarquable (1).

On établit de même l'identité :

Cette fois ci, longueur bleu désigne a - b et la longueur rouge b. L'expression (a - b) correspond maintenant à l'aire du carré bleu. L'aire du carré bleu peut être vue comme la différence entre le grand carré, maintenant de côté a et les deux zones vertes et la zone rouge. Le rectangle composé d'une zone verte et du carré rouge a pour aire a.b. Si l'on retranche à l'aire du carré de côté a deux aires d'un rectangle de longueur a et de largeur b, on trouve l'aire du carré bleu ôtée de celle du carré rouge, ce qui donne l'identité suivante, dont on déduit (2) :

L'identité (3) se démontre à l'aide de la même figure :

On utilise les mêmes conventions que celles établissant l'identité (2). L'aire de la surface a² - b² correspond à l'aire du grand carré ôtée de l'aire du carré rouge, c'est-à-dire à l'aire du carré bleu additionnée à l'aire des deux rectangles verts. Le rectangle composée de la zone bleue et d'une zone verte correspond à un rectangle d'aire a(a - b). Si l'on déplace un des deux rectangles verts pour le positionner de long du deuxième rectangle vert de manière à former un nouveau rectangle, on trouve un rectangle de longueur (a + b)(a - b). Ce rectangle est d'aire égale à celle du grand carré ôtée de l'aire du carré rouge, ce qui démontre l'identité (3).

Ainsi, toutes les identités remarquables utilisées pour résoudre des équations du second degré s'interprètent et se démontrent de manière géométrique. En conséquence, toutes les équations du second degré peuvent se résoudre de manière géométrique.

Résolution d'une équation du second degré

On recherche à résoudre l'équation suivante :

La méthode s'inspire directement de calcul analogue à ceux qui permettent d'établir les identités remarquables. Elle est illustrée sur la figure ci-dessous.

Dans un premier temps, on construit un carré de côté a/2. par hypothèse, ce carré est d'aire plus grande que c. On retranche au carré, en bas à gauche un petit carré de telle manière que la surface rouge et violette soit d'aire exactement égale à c.

Dans un deuxième temps, on déplace la zone violette pour obtenir la figure de droite et on ajoute à gauche de cette figure un carré de côté x, la valeur de x est définie par la figure de gauche. L'aire rouge et violette est, d'après la construction de la figure de gauche, égale à c. D'après la figure de droite, elle est égale à la différence du rectangle de longueur a et de largeur x avec l'aire x² du carré de côté x. Ce qui donne la solution de l'équation. Ce mode de résolution provient directement des éléments d'Euclide^[6]. Chez Euclide, le problème à résoudre n'est pas la résolution d'une équation, mais la recherche d'une longueur tel que l'aire du rectangle de côtés cette longueur et une longueur a, ôtée d'un carré de côtés de longueur x, soit égale à une aire c donnée.

Équation du troisième degré

al-Khayyām étudie l'équation cubique sous l'angle de l'intersection d'un cercle et d'une parabole.

L'équation cubique, c'est-à-dire celle définie par un polynôme du troisième degré, demande beaucoup d'efforts avant de trouver une méthode de résolution. Le mathématicien perse al-Khayyām s'y attelle, trouve plusieurs résultats comme l'existence possible d'au moins deux racines, mais échoue sur une formulation algébrique des racines l'équation. Il indique : « Peut être qu'un de ceux qui viendront après nous la réalisera. »^[7]

Il étudie cette équation sous l'angle de l'intersection d'un cercle et d'une parabole. Pour comprendre sa méthode, illustrons là avec l'équation x³ + x = 1. En multipliant par x de chaque coté, on obtient x⁴ + x² = x. Al-Khayyām pose le changement de variable y = x², ce qui est l'équation de la parabole illustrée en rouge sur la figure de droite. L'équation devient : y² + x² = x ou encore y² + (x - 1/2)² = 1/4, ce qui est l'équation d'un cercle de centre le point de coordonnées (1/2, 0) et de rayon 1/2, illustré en vert sur la figure.

Le cercle vert et la parabole rouge ont deux points d'intersection, celui de coordonnées (0, 0), ajouté quand l'équation initiale a été multipliée par x et un autre dont l'abscisse a pour valeur, la racine de l'équation étudiée.

Cette méthode permet de montrer l'existence de plusieurs racines, de localiser les racines en fonctions des coefficients et de donner une approximation de la racine, si la représentation est suffisamment précise.

Identité arithmétique

La frontière entre l'arithmétique et l'algèbre n'est pas toujours nette. Un critère permet néanmoins de différencier grossièrement les deux branches. Une équation polynomiale est qualifié d'algébrique, sauf si les coefficients sont entiers et que les solutions recherchées sont entières ou rationnelles. On parle alors d'équation diophantienne, un chapitre de l'arithmétique. Les méthodes utilisées pour résoudre une équation algébrique ou diophantienne ne sont pas toujours les mêmes. Pour cette raison, il est important de savoir si la valeur recherchée est algébrique ou entière. Un nombre est dit algébrique s'il est solution d'une équation polynomiale à coefficients entiers. L'algèbre géométrique permet de montrer l'irrationalité de certaines grandeurs.

Si les figures utilisées dans le raisonnement possèdent des cotés de longueurs entières ou rationnelles, les résultats trouvés sont parfois des nombres entiers ou rationnels. Cependant, certains résultats s'exprimant sous cette forme, sont suffisamment utiles en algèbre pour être considérés comme de l'algèbre et non pas de l'arithmétique, à l'image du calcul des coefficients du binôme. Ceux présentés ici entre dans cette catégorie.

Irrationalité d'une racine carrée

Si le nombre d'or était un nombre rationnel, il existerait deux entiers a et b tel que a/b serait égal au nombre d'or. Le rectangle de longueur a et de largeur b serait un rectangle d'or.

Les nombres sont initialement construits à l'aides des entiers puis des fractions. Les grandeurs géométriques mettre rapidement à jour une fonction qui engendre des grandeurs non rationnels à partir de rationnels : la racine carrée. On l'a trouve en géométrie, en particulier dans la diagonale d'un carré et plus généralement dans certaines diagonales de polygones réguliers.

La démonstration la plus classique de l'irrationalité de la racine carrée de deux se fonde sur l'arithmétique^[8]. Euclide en propose une géométrique^[9]. Probablement, la première démonstration de l'existence d'une grandeur irrationnelle concerne la diagonale d'un pentagone régulier convexe de rayon égal à 1^[10]. Le rayon est la distance qui sépare le centre du pentagone à un sommet.

Une manière simple de se convaincre que le nombre d'or est irrationnel est de construire un rectangle d'or, c'est-à-dire un rectangle dont la longueur et la largeur sont en proportion d'extrême et de moyenne raison. Le raisonnement est par l'absurde, si le nombre d'or est rationnel, il existe deux entiers a et b tel que a/b soit égal au nombre d'or, on considère le plus petit entier a tel que a/b soit égal au nombre d'or. Le rectangle de droite est le plus petit rectangle d'or dont les cotés sont de longueurs entières. Le rectangle de côtés b et a - b est aussi un rectangle d'or (cf l'article nombre d'or). En conséquence il existe un rectangle plus petit que le premier, dont les cotés sont entiers et dont le rapport longueur sur largeur est égal au nombre d'or. Cette contradiction montre le caractère irrationnel du nombre d'or.

Nombre triangulaire

Le quatrième nombre rectangulaire est égal à 10.

Le n^ième nombre triangulaire est égal à la somme de tous les entiers compris entre 1 et n. Une vielle technique pour le calculer consiste à étudier un carré de côté n + 1. Elle est illustrée sur la figure de droite, avec n égal à 4 et une pastille à l'intérieur de chaque carré. La surface constituée des carrés contenant une pastille de couleur or, forme le n^ième nombre triangulaire, noté ici t_n. Le grand carré, de côté n + 1 est de surface (n + 1)². Le carré peut aussi être vue comme composé de trois aires, une diagonale, de surface n + 1 et deux zones de surface t_n, l'une composée des rectangles contenant une pastille d'or et l'autre, symétrique de la première par rapport à la diagonale de bas à gauche en haut à droite. On en déduit la formule :

En retranchant n + 1 dans les deux membres de l'égalité, puis en divisant par deux, on obtient la valeur de t_n :

Carré d'un nombre triangulaire

Le carré du n^ième nombre triangulaire est égal à la somme des n premiers cubes.

Une méthode plus sophistiquée permet le calcul de la somme des n premiers cubes. Pour cela, on construit un carré de côté le n^ième nombre triangulaire, c'est-à-dire un carré de côté 1+2+...+n, comme illustré sur la figure de droite. Calculons l'aire de la dernière tranche, appelé gnomon et de couleur orange sur la figure, elle se divise en deux rectangles de côtés le longueur n et 1+2+...+n, mais on a compté deux fois un rectangle de côté n. Cette surface est égale à :

Le carré de côté 1+2+...+n est ainsi composé de n gnomons, de surface 1, 2³, ..., n³. Comme le coté du carré est de longueur le n^ième nombre triangulaire, on obtient :

L'algèbre géométrique permet de calculer avec élégance la somme des n premiers cubes.

Somme des puissances de deux

La somme des puissance de 2 correspond à la somme 1 + 2 + 4 + ... + 2ⁿ. Elle est égale à 2ⁿ⁺¹ - 1 :

L'algèbre géométrique vient à bout de la démonstration. Pour cela on considère un carré, illustré à droite et d'aire égale à 2ⁿ⁺¹. Ce carré est la réunion de deux rectangles, l'un en bleu et l'autre multicolore et de même aire. Chaque rectangle est de surface 2ⁿ, ce qui donne l'égalité :

Le terme 2ⁿ, noté en bleu dans l'égalité (1), correspond à l'aire d'un rectangle multicolore, réunion de 2 carrés de même aire, l'un rouge et l'autre multicolore. Comme ces deux carrés ont même aire, cette aire est égale à 2^n-1. De l'égalité (1), on déduit :

En continuant ainsi pendant n étapes, on obtient :

Il suffit de soustraire 1 à chaque membre de l'égalité (2) pour conclure.

Éléments d'histoire

Grèce antique

Le statut des mathématiques grecques est un peu particulier. Leurs mathématiciens ne connaissent ni le concept de l'inconnue, ni celui de l'équation^[11]. Pour cette raison, on n'utilise plus le terme d'algèbre pour décrire leurs mathématiques. J. Peiffer précise : « Le terme d'algèbre pour une époque où la recherche de l'inconnue n'est pas encore explicite, et encore moins l'étude des "équations", doit être utilisé avec prudence^[12]. ».

Cependant, les démonstrations géométriques des paragraphes sur les équations du premier et du deuxième degré est intégralement décrit dans les Éléments d'Euclide. Le livre V traite des proportions. On y trouve toutes les règles régissant le maniement des fractions^[13]. Les identités remarquables, ainsi que la méthodes résolution de l'équation donnée en exemple sont démontrées dans le livre II^[14]. Plus important encore, l'approche géométrique des Éléments d'Euclide offre la seule méthode pour établir des démonstrations algébriques génériques. Pendant plus d'un millénaire, aucune notation littérale autre que pour l'inconnue n'existe en algèbre. Ainsi, exprimer l'identité remarquable de la manière générique suivante : (a² - b²) = (a - b)(a + b), est impossible durant une longue période, rendant pas là même impossible une démonstration algébrique, comme on l'a connaît maintenant. En revanche, les grecs et leurs successeurs n'ont aucune difficulté à raisonner sur un triangle ou un rectangle quelconque. J. Peiffer indique : « En revanche, les méthodes de constructions géométriques des livres II et VI auront une influence durable, y compris chez les fondateurs et législateurs arabes de la théorie des équations quadratiques, puis cubiques.^[12] ». Ce sont ces raisons qui ont poussé l'historien des sciences du XIX^e siècle P. Tannery à user du terme algèbre géométrique pour certains livres des Éléments.

Si l'on replace les travaux d'Euclide dans leur contexte, on comprend mieux pourquoi le terme d'algèbre est inapproprié. Le paragraphe sur l'équation du premier degré montre, dans un premier temps, des égalités entre fractions. Le livre V des Éléments montre ces égalités, mais leur interprétation ne correspond pas à la notre. Pour un grec, une fraction entre deux longueurs quelconque n'est pas un nombre^[15]. Le terme fraction devrait être traduit par proportion, l'égalité a/b = c/d signifie qu'un rectangle de côtés de longueur a et b est semblable à un autre rectangle de côtés de longueur c et d. Ces égalités sont toutes géométriques, pour les grecs, et ne correspondent pas à des produits de nombres, comme on les lit maintenant. Ensuite, la notion d'inconnue, c'est-à-dire un objet mathématique susceptible de subir des opérations comme des mises au carré ou des multiplications par une proportion, n'existe pas non plus. Dans la méthode proposée pour la résolution d'une équation du second degré, le problème grecque prend la forme suivante : trouver une longueur x tel que le rectangle de longueur a - x et de largeur x ait une aire égale à une surface c. À aucun moment, dans la solution proposée la moindre opération algébrique est réalisée sur x.

Les Indes

Les mathématiciens indiens s'intéressent tôt à des questions dont les réponses permettent un progrès dans ce type de mathématique que P. Tannery qualifie d'algèbre géométrique. Tout d'abord leur conception du nombre est beaucoup plus avancé. Le signe moins est plus sophistiqué, chez Bhāskara II l'expression x² - 2.x signifie la somme de x² et du terme -2.x. Ainsi l'existence d'un nombre négatif n'est pas une difficulté, et Bhāskara annonce qu'un nombre possède deux racines, l'une positive et l'autre négative^[16]. Les grecs ne connaissent le signe moins que comme soustraction entre un nombre et un autre plus petit, tout deux positifs. Une telle conception du signe moins permet une plus grande souplesse, un calcul faisant intervenir une valeur négative n'est pas un obstacle pour les indiens. Cette souplesse offre de nouvelles possibilités algorithmique, comme le montre la méthode chakravala, qui permet de trouver la solution d'une équation diophantienne largement hors de portée des grecs.

Les indiens disposent d'une écriture décimale positionnelle très avancé dès le VI^e siècle, chez le mathématicien Aryabhata^[17]. Ce système de numération, ainsi que l'usage de fraction continue^[18] offrent une familiarité des indiens avec le calcul des racines carrées et des fractions nécessaire à l'étude des équations du deuxième degré. Cette familiarité est ancienne, certaines racines carrées sont extraites avec une précision de onze décimales^[19] dans un texte mathématique appelé Bakhshali et antérieur à Aryabhata de plusieurs siècles.

Si les indiens maitrisent mieux les irrationnels, ils ne leurs confèrent néanmoins pas le statut de nombre. Ils peuvent s'additionner ou se multiplier, mais ils restent des grandeurs géométriques. Le terme de carré ou de cube, par exemple reste associé en premier lieu à une grandeur géométrique : « Un carré, est un équi-quadrilatère son «fruit» (sa surface) est le produit de deux nombres égaux^[20]. ». Les calculs algébriques des indiens sont nécessairement emprunts de géométrie : « La distance entre le gnomon et la base, ayant la hauteur du gnomon pour multiplicateur, est divisée par la différence des hauteurs du gnomon et de la base. Ce qui est obtenu doit être connu comme étant l’ombre du gnomon mesurée en effet, à partir de son origine^[21]. » On retrouve l'interprétation géométrique de la proportion, ou encore l'équivalent d'une identité remarquable établie à l'aide d'un gnomon pour résoudre l'équivalent d'une équation du second degré^[22].

Une fois encore, à l'époque d'Aryabhata les notions d'équation et d'inconnue, au sens décrit dans l'article Inconnue (mathématiques), ne sont pas présentes. On trouve bien des problèmes du premier degré comme « Par la différence entre des objets divisez la différence des roupies que possèdent deux personnes : le quotient est la valeur d'un objet si les fortunes sont égales^[20] ». Remis dans son contexte, ce vers s'interprète de la manière suivante : « deux personnes ont la même richesse. Le premier possède a perles et c pièces d’argent, le second b perles et d pièces. On cherche le prix d’une perle. Nous pouvons en nommant x le prix d’une perle, résumer le problème par l’expression suivante ^[23]: »

Aryabhata trouve bien la solution (d - c)/(a - b), Brahmagupta utilise même comme équivalent de notre inconnue x le symbole ya, qui résume l'expression yavat-tavat signifiant autant que^[24]. Cependant aucun calcul algébrique n'est réalisé sur l'inconnue. Cette lacune finit par être comblée. Au XIII^e siècle, Bhaskara II commente l'Aryabhatiya, le livre d'Aryabhata. Ces commentaires contiennent la résolution de l'équation du second degré dans tous les cas, à l'aide d'opérations algébriques sur des expressions contenant une inconnue^[25].

Algèbre arabe

La civilisation arabe du VIII^e siècle au XV^e siècle correspond à l'age d'or des méthodes de l'algèbre géométrique. Cette période commence sous le règne du Calife Al-Mansur, qui règne sur un immense territoire, s'étendant de l'Espagne aux Indes. Il est le premier à favoriser le développement des sciences. Il demande au mathématicien Al-Farazi de traduire les œuvres de Brahmagupta vers 771^[26] et fait aussi traduire les Éléments d'Euclide^[27]. Al-Khwarizmi un mathématicien de cette époque, réalise un pont entre les deux cultures. Dans son Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison il traite de manière presque exhaustive l'équation du second degré^[28]. On peut parler d'algèbre au sens où le problème résolu dans le livre est celui de l'équation du second degré dans sa généralité, et ceci aussi à l'aide de concepts algébriques. Sa méthode de résolution consiste, dans un premier temps, à se ramener à 6 types d'équations à l'aide de transformations algébriques, puis la géométrie d'Euclide lui permet de résoudre chacun des 6 types. L'objectif d'Al-Khawarizmi est plus proche des préoccupations indiennes que grecs, il consiste en la résolution d'une équation et non celle d'un problème géométrique. Si son objectif ne s'inscrit pas dans la tradition grecque, l'un des éléments clé pour y parvenir est la géométrie euclidienne^[28].

S'il reste quelques réticences grecques, comme l'usage de valeurs irrationnelles pour les coefficients de l'équation, elles sont rapidement levées par ses successeurs. Abu Kamil, un disciple d'Al-Khawarizmi, établit des identités remarquables, à l'aide de la géométrie, dont les termes peuvent être des nombres irrationnels comme^[29] :

Il n'hésite pas non plus à résoudre des équations du second degré dont les coefficients sont irrationnels^[30]. Petit à petit, le statut d'une grandeur irrationnelle se rapproche de celui d'un nombre. Dès le X^e siècle le même mot adad désigne les rationnels al-adad al muntiqa et les irrationnels al-'adad al-summa. Al-Karagi, un mathématicien du même siècle et Al-Samaw'al étendent les opérations algébriques aux irrationnels, y compris les extractions de racines^[31]. Cette branche des mathématiques, entre algèbre et arithmétique, utilise la aussi géométrie, la démonstration de la somme des n premiers cubes est l'œuvre d'Al-Karagi^[32].

La branche algébrique la plus proche de la géométrie est appelée géométrico-algébrique^[33]. Le plus grand enjeu est probablement l'équation du troisième degré. Les origines de cette questions sont nombreuses, certaines sont purement géométriques, comme la trisection de l'angle, la duplication du cube ou la construction de polygones réguliers, en particuliers à 7 et 9 cotés. Une autre origine est l'astronomie, la détermination de la position des étoiles demande le calcul de sin 3θ, qui s'obtient en résolvant l'équation suivante, du troisième degré si l'on connait sin 3θ et que l'on cherche à calculer sin θ :

Les progrès sur le cas du deuxième degré poussent les mathématiciens arabes à utiliser le formalisme de l'algèbre, c'est-à-dire la résolution d'équation polynomiale à cette époque^[34]. Omar Khayyam utilise des outils géométriques tout à fait différent du gnomon de l'équation du second degré. Il considère des polynômes du second degré, cette fois ci avec deux variables. L'ensemble des racines forment une conique, idée qu'il prend du livre d'Apollonius intitulé Éléments des coniques^[35]. La racine de l'équation du troisième degré peut être vue comme l'abscisse de l'intersection de deux coniques, comme le montre l'exemple donnée dans l'article^[36].

Europe

Durant la Renaissance et en Italie, l'Europe est suffisamment mature pour présenter des résultats importants et nouveaux. Une violente controverse entre les mathématiciens italiens les stimulent et se termine par la découverte d'une méthode algébrique de résolution de l'équation cubique. La méthode est finalement publiée par Gerolamo Cardano^[37]. Elle repose essentiellement sur un usage habile de l'identité suivante, démontrée géométriquement à l'aide de la représentation du cube contenu dans l'article :

Les progrès suivants modifient la nature des rapports entre algèbre et géométrie. François Viète, un mathématicien français de la fin du XVI^e siècle, met en place un langage symbolique algébrique contenant des paramètres, c'est-à-dire des lettres qui symbolisent des grandeurs dont la valeur n'est pas donnée. Il devient possible de démontrer des identités remarquables ou des substitutions algébriques sans recours à la géométrie. L'une des raisons de l'usage de la géométrie en algèbre disparaît. La querelle pour déterminer la nature numérique ou non d'une grandeur algébrique n'est pas close. Michael Stifel, un contemporain de Viète, refuse encore de considérer un irrationnel comme un nombre. Viète, dans ses écrits fait encore systématiquement référence à la géométrie comme justification du raisonnement algébrique. Cependant, dans nombre de raisonnements, la géométrie devient une justification et non plus le moteur de la démonstration. Viète n'hésite d'ailleurs pas à étudier des questions de degré quatre ou plus, ce qui pour Stifel est contre nature^[38].

Descartes, avec Fermat, prolonge et simplifie le langage symbolique de Viète. Son rôle ne s'arrête pas là. Comme le faisait déjà Omar Khayyam, il équipe le plan de ce que l'on appelle maintenant un repère cartésien, mais l'objectif de Descartes est bien différent. Les connaissances en algèbre, ainsi que les progrès dans le langage symbolique, permettent un renversement des rôles. Démontrer une identité remarquable devient plus simple à l'aide de l'algèbre que de la géométrie, l'algèbre devient un outil de résolution géométrique et non plus l'inverse. Cette démarche, ainsi que de nombreux progrès en algèbre, finissent par créer une nouvelle branche des mathématiques, appelée géométrie algébrique^[39].

Voir aussi

Références

Liens externes

• Y. monka Histoire de l'algèbre et des équations m@ths et tiques, la rubrique mathématique

Bibliographie

• Amy Dahan-Dalmedico, Jeanne Peiffer, Une Histoire des mathématiques - Routes et dédales, Seuil, coll. « Points Sciences », 1986 (ISBN 2020092380) [détail des éditions]
• P. Tannery Notions de mathématiques Delagrave Paris (1903) Lire sur Gallica
• R. Rashed Entre arithmétique et algèbre : recherches sur l'histoire des mathématiques arabes Paris, Les Belles lettres (1984)

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