Déterminant de Gram

En géométrie euclidienne ou hilbertienne, le déterminant de Gram permet de calculer des volumes et de tester l'indépendance linéaire d'une famille de vecteurs. Il associe des calculs de produits scalaires et d'un déterminant. Son nom est un hommage au mathématicien danois Jørgen Pedersen Gram (1850-1916).

L'article déterminant montre comment définir le volume orienté d'un parallélotope formé par n vecteurs en dimension n, sans nécessité de munir l'espace d'un produit scalaire. Les déterminants de Gram demandent de définir un tel produit scalaire, permettent le calcul des volumes des parallélotopes de toutes dimensions, mais sans notion d'orientation.

Plus généralement, il est possible de calculer des déterminants de Gram sur un espace quadratique. En dimension finie, le discriminant d'une forme bilinéaire symétrique est un cas particulier de déterminant de Gram.

Sommaire

1 Définition
2 Matrice de Gram
3 Déterminant de Gram
4 Interprétation géométrique
- 4.1 Calcul des volumes de parallélotopes
- 4.2 Application de la formule de Binet-Cauchy
5 Voir aussi

Définition

Soit E un espace préhilbertien réel. Si x₁,..., x_n sont n vecteurs de E, la matrice de Gram associée est la matrice symétrique de terme général (x_i|x_j). Le déterminant de Gram est le déterminant de cette matrice

$G(x_1,\dots, x_n)=\begin{vmatrix} (x_1|x_1) & (x_1|x_2) &\dots & (x_1|x_n)\\ (x_2|x_1) & (x_2|x_2) &\dots & (x_2|x_n)\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ (x_n|x_1) & (x_n|x_2) &\dots & (x_n|x_n)\end{vmatrix}$

Matrice de Gram

Les vecteurs colonnes de la matrice de Gram admettent les mêmes relations de dépendance linéaire (dans l'espace Rⁿ des n-uplets de réels) que les vecteurs x_i dans E ; c'est-à-dire, si on note C₁,..., C_n la famille des vecteurs colonnes de la matrice de Gram, pour toute famille de réels a₁,..., a_n :

$\sum_{i=1}^n a_ix_i=0_E$ si et seulement si $\sum_{i=1}^n a_i C_i =0_{\mathbf{R}^n}.$

Il s'ensuit que la matrice de Gram de la famille de vecteurs x₁,..., x_n a le même rang que ladite famille de vecteurs.

Déterminant de Gram

Propriétés

Écriture à l'aide d'une matrice représentative

Soit B une base orthonormale de l'espace engendré par les x_i ; elle contient $d\leq n$ vecteurs. Soit X la matrice représentative du système de vecteurs x_i dans B. C'est une matrice de taille $n\times d$ , dont chaque colonne contient les composantes d'un des vecteurs x_i. La matrice de Gram n'est autre que ^tX X.

Effet d'opérations élémentaires

la multiplication d'un des vecteurs par le réel a provoque une multiplication du déterminant de Gram par a²
le déterminant de Gram est invariant par permutation des x_i
l'ajout à un vecteur d'une combinaison linéaire des autres vecteurs laisse invariant le déterminant de Gram

Propriétés

si $x_1\perp x_i$ pour tout $i\in\{2,\ldots,n\}$ , alors on a $G(x_1,\dots, x_n)=||x_1||^2\;G(x_2,\dots, x_n)$
le déterminant de Gram d'une famille de n vecteurs est toujours positif
il est nul si et seulement si la famille est liée (ce qui est un cas particulier de l'énoncé sur le rang de la famille de Gram).

Démonstration

Si la famille est liée, il existe un indice $k$ tel que $x k$ soit combinaison linéaire des autres x_i, d'où

$G(x_1,\dots, x_n)=G(x_1,\dots,x_{k-1},0,x_{k+1},\dots, x_n)=0.$

Si la famille est libre, alors d=n, X est une matrice carrée inversible comme matrice de passage d'une base à une autre. Le déterminant de Gram est $(det X) 2$ qui est strictement positif.

Application à la distance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel

Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie n de E . Soient x₁,..., x_n, n vecteurs formant une base de F. Tout vecteur x de E admet un projeté orthogonal p(x) sur F.

$G(x,x_1,\dots, x_n) = \|x-p(x)\|^2 \cdot G(x_1, \dots, x_n)=d(x,F)^2 \cdot G(x_1, \dots, x_n)$

Démonstration

On a : x = x - p(x) + p(x) et p(x) est combinaison linéaire des x_i, donc :

$\begin{align}G(x,x_1,\dots, x_n)&=G(x-p(x), x_1, \dots, x_n) + G(p(x),x_1,\dots, x_n)\\&=G(x-p(x), x_1, \dots, x_n)\\&=\begin{vmatrix} (x-p(x)|x-p(x)) & (x-p(x)|x_1) &\dots & (x-p(x)|x_n)\\ (x_1|x-p(x)) & (x_1|x_1) &\dots & (x_1|x_n)\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ (x_n|x-p(x)) & (x_n|x_1) &\dots & (x_n|x_n)\end{vmatrix}~.\end{align}$

Mais x - p(x) est par définition orthogonal aux x_i, donc :

$\begin{align}G(x,x_1,\dots, x_n)&=\begin{vmatrix} (x-p(x)|x-p(x)) & 0 &\dots & 0\\ 0 & (x_1|x_1) &\dots & (x_1|x_n)\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0 & (x_n|x_1) &\dots & (x_n|x_n)\end{vmatrix}\\&=\|x-p(x)\|^2~G(x_1, \dots, x_n)~.\end{align}$

Application au calcul des composantes d'un vecteur dans une base quelconque

Soit F un sous-espace vectoriel de dimension finie n de E, muni d'une base $(x_1,\ldots,x_n)$ . Soit $x\in F$ .

On pose $x = \sum_{i=1}^n p_i x_i$ . Alors pour tout $j\in\{1,\ldots,n\}$ on a la relation

$p_j^2\,{G(x_1, \dots, x_n)} = G(x_1, \dots, x_{j-1},x,x_{j+1}, \dots, x_n)$

Il ne reste plus qu'à trouver le signe de chaque $p j$

Interprétation géométrique

Calcul des volumes de parallélotopes

Le calcul de la distance à un sous-espace permet de montrer par récurrence que le déterminant de Gram d'une famille de n vecteurs est égal au carré du volume euclidien du parallélotope correspondant.

Pour n=1 c'est bien le cas car $G(x)=\|x\|^2$ .

En supposant la propriété vraie pour toute famille de n vecteurs, on l'établit pour n+1. La distance de x_n+1 à F espace engendré par les n premiers vecteurs est le carré de la hauteur du parallélotope, et G(x₁, ..., x_n) est le carré du volume de la base par hypothèse de récurrence.

Le volume s'obtient donc en prenant la racine carrée du déterminant de Gram, sans qu'il soit possible de lui donner un signe (pour plus de détails sur cette dernière question, consulter l'article orientation).

Application de la formule de Binet-Cauchy

La formule de Binet-Cauchy montre comment le volume d'un parallélotope de dimension d dans un espace de dimension n peut être ramené au calcul de volumes de projections orthogonales du parallélotope sur des sous-espaces de coordonnées. Elle s'écrit

$\det({}^tA\,A) = \sum_S \det(A_S)^2\,$

dans cette expression S décrit les différents sous-ensembles à d éléments de l'ensemble { 1, ..., n }. Pour chaque S, la matrice A_S est la matrice carrée de taille d obtenue en ne retenant que les colonnes de A dont l'indice appartient à S.

La formule de Binet-Cauchy montre que le carré du volume du parallélotope est égal à la somme des carrés des volumes des projections orthogonales sur les différents sous-espaces de coordonnées de dimension m (dont le nombre est égal au coefficient binomial $\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}$ ).

Dans le cas m=1, ces projections orthogonales sont des segments, et on retrouve une forme du théorème de Pythagore.

Voir aussi

v · Matrices
Par forme	carrée • triangulaire • diagonale • tridiagonale • élémentaire • échelonnée • creuse • aléatoire • circulante • de Hankel • de Toeplitz • de Vandermonde
Transformée	transposée • conjuguée • adjointe • inverse • comatrice
En relation	équivalentes • semblables • congruentes
Par propriété	inversible • diagonalisable • trigonalisable • symétrique • antisymétrique • hermitienne • normale • orthogonale • unitaire • symplectique • de Hadamard • positive • définie positive • à diagonale dominante • nilpotente
Par famille	identité • de De Casteljau • de Cartan • de Hilbert • de Mueller • de Pauli • de Dirac • de Householder
Particulière	CKM
Associée	de permutation • de passage • compagnon • de Sylvester • d'adjacence • laplacienne • hessienne • jacobienne • génératrice • de contrôle • de corrélation • de Gram • de variance-covariance • d'inertie • de Jones • des gains • stochastique
Résultats	décompositions : LU • QR • Cholesky • polaire • valeurs singulières Diagonalisation • Trigonalisation • Réduction de Jordan • facteurs invariants
Voir aussi	Théorie des matrices • Algèbre linéaire • Algèbre bilinéaire

v · Algèbre bilinéaire

Espace euclidien · Espace hermitien · Forme bilinéaire · Forme quadratique · Forme sesquilinéaire · Orthogonalité · Base orthonormale · Projection orthogonale · Inégalité de Cauchy-Schwarz · Inégalité de Minkowski · Matrice positive · Matrice définie positive · Décomposition QR · Déterminant de Gram · Espace de Hilbert · Base de Hilbert · Théorème spectral · Théorème de Stampacchia · Théorème de Lax-Milgram · Théorème de représentation de Riesz

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