Operation elementaire

Operation elementaire

Opération élémentaire

En algèbre linéaire, les opérations élémentaires sur une famille de vecteurs sont des manipulations algébriques qui ne modifient pas les propriétés d'indépendance linéaire, ni le sous-espace vectoriel engendré. Elles sont faciles à décrire sous forme de code et permettent l'écriture d'algorithmes, par exemple pour le calcul du rang. Les opérations élémentaires sont au nombre de trois : échange, multiplication d'un des vecteurs par un scalaire non nul, et ajout d'un des vecteurs à un autre.

L'écriture matricielle facilite grandement l'utilisation des algorithmes. Elle apporte également la possibilité de travailler sur les systèmes de vecteurs colonnes ou de vecteurs lignes. Les opérations élémentaires s'interprètent comme des multiplications par des matrices élémentaires. Par application systématique d'opérations élémentaires bien choisies, il est possible de transformer une matrice en une autre plus simple (par exemple, une matrice de forme échelonnée). Suivant les opérations admises, il existe ainsi plusieurs théorèmes de réduction par utilisation d'opérations élémentaires, qui s'interprètent matriciellement comme des propriétés de factorisation.

Sommaire

Opérations élémentaires sur une famille de vecteurs

Soit (x_i)_{i\in I} une famille de vecteurs d'un espace vectoriel E et X le sous-espace engendré par cette famille. Les opérations élémentaires sur cette famille de vecteurs sont

  • la multiplication d'un des vecteurs par un scalaire non nul
  • l'ajout d'un multiple d'un des vecteurs de la famille à un autre
  • l'échange de deux vecteurs

La famille obtenue après une ou plusieurs opérations de ce type engendre encore le même espace X. En outre si la famille initiale est une base de X, celle obtenue après opérations en est également une base.

Si l'espace X est de dimension finie, cette dimension est appelée rang de la famille et est inchangée par les opérations élémentaires.

Exemple

Vect(u,v,w) = Vect(u,v,w − 2u) = Vect(u,v,w − 2u + v) = Vect(u,3v,w − 2u + v) = Vect(3v,w − 2u + v,u)

Attention : la deuxième opération n'est pas le remplacement d'un des vecteurs par une combinaison linéaire quelconque de vecteurs de la famille.

Opérations élémentaires sur des matrices

Codage

Une matrice ayant n lignes et p colonnes peut être vue comme un système de n vecteurs colonnes, ou un système de p vecteurs lignes. Les opérations élémentaires sur l'un ou l'autre des systèmes peuvent être décrites en utilisant les lettres L pour les lignes, C pour les colonnes, suivies de l'indice.

Ainsi L_2 \leftarrow 3 L_2 est l'opération « remplacer la ligne 2 par 3 fois la ligne 2 », c'est-à-dire multiplier la ligne par 3.

De même C_2\leftarrow C_2-3C_1 est l'opération « ajouter (- 3) fois la colonne 1 à la colonne 2 ».

Enfin l'échange de la première ligne avec la troisième s'écrira L_1\leftrightarrow L_3.

Effet

Opérer sur les lignes ou les colonnes conduit à des résultats assez proches, puisque toute opération sur les lignes d'une matrice A peut être considérée comme une opération sur les colonnes de sa transposée.

Les opérations élementaires sur les colonnes ne changent pas le rang de la matrice. Elles ne modifient pas non plus l'espace image de A.

Les opérations élémentaires sur les lignes ne modifient pas le rang non plus, et préservent l'espace image de la transposée de A.

Si A est une matrice carrée, le déterminant est lui modifié par l'échange de lignes ou de colonnes (qui transforme le déterminant en son opposé) ou par la multiplication d'une ligne ou d'une colonne par un scalaire (qui multiplie le déterminant par le même scalaire).

Interprétation multiplicative

À chaque opération élémentaire est associée une matrice élémentaire telle que multiplier A à gauche par cette matrice donne le même effet que l'opération.

Code de l'opération Matrice élémentaire E A= \begin{pmatrix} L_1\\ L_2 \\ L_3 \end{pmatrix}
L_1\leftrightarrow L_2 \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} EA=\begin{pmatrix} L_2\\ L_1 \\ L_3 \end{pmatrix}
L_3\leftarrow 5L_3 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} EA=\begin{pmatrix} L_1\\ L_2 \\ 5L_3 \end{pmatrix}
L_3\leftarrow L_3+5L_2 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \end{pmatrix} EA=\begin{pmatrix} L_1\\ L_2 \\ L_3 +5L_2 \end{pmatrix}

Opérer sur les lignes d'une matrice A revient donc à la multiplier à gauche par une matrice inversible, produit de matrices élémentaires.

De même opérer sur les colonnes de A revient à la multiplier à droite par une matrice inversible.

Échelonnement

L'échelonnement est un procédé d'opération sur les lignes des matrices qui conduit à une matrice échelonnée. Il est utile pour le calcul de rang ou de déterminants, la résolution de systèmes linéaires.

Théorème d'échelonnement

Par des opérations élementaires sur les lignes, toute matrice peut être transformée en une matrice échelonnée. C'est-à-dire qu'une matrice rectangle A est de la forme A=PE en notant P une matrice inversible et E une matrice échelonnée de même rang que A.

Action à gauche du groupe linéaire

La méthode peut être poursuivie pour obtenir un résultat d'existence et d'unicité. Par opérations élémentaires, toute matrice peut être transformée en une matrice échelonnée réduite, c'est-à-dire une matrice échelonnée dans laquelle les pivots valent 1 et sont surmontés par des 0. Une telle décomposition est alors unique.

Le vocabulaire des actions de groupe permet de rendre compte de la situation. Le groupe GL_p(\mathbb{K}) des matrices inversibles agit à gauche par translation sur {\mathcal M}_{p,q}(\mathbb{K}). Chaque orbite pour cette action contient un représentant privilégié, qui est l'unique matrice échelonnée réduite de l'orbite.

Décomposition PA=LU

Cette section est vide, pas assez détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue !

Double échelonnement

Cette section est vide, pas assez détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue !

Réduction d'endomorphismes

Cette section est vide, pas assez détaillée ou incomplète. Votre aide est la bienvenue !

Références

Liens internes

Sources

  • Matrices, géométrie, algèbre linéaire, P. Gabriel, Éd Cassini
  • Portail des mathématiques Portail des mathématiques
Ce document provient de « Op%C3%A9ration %C3%A9l%C3%A9mentaire ».

Wikimedia Foundation. 2010.

Contenu soumis à la licence CC-BY-SA. Source : Article Operation elementaire de Wikipédia en français (auteurs)

Игры ⚽ Нужна курсовая?

Regardez d'autres dictionnaires:

  • Opération élémentaire — En algèbre linéaire, les opérations élémentaires sur une famille de vecteurs sont des manipulations algébriques qui ne modifient pas les propriétés d indépendance linéaire, ni le sous espace vectoriel engendré. Elles sont faciles à décrire sous… …   Wikipédia en Français

  • opération élémentaire — elementarioji operacija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. elementary operation vok. Elementaroperation, f rus. элементарная операция, f pranc. opération élémentaire, f …   Fizikos terminų žodynas

  • Elementaire — Élémentaire Un élémentaire, esprit élémentaire, être élémentaire, ou esprit des Éléments est à l origine une créature imaginaire composée de l un des quatre éléments issus de la tradition grecque, c est à dire l eau, la terre, l air et le feu.… …   Wikipédia en Français

  • Operation Hiram — Opération Hiram L Opération Hiram est une opération militaire israélienne de la Première Guerre israélo arabe menée entre les 28 et 31 octobre 1948 dans le nord de la Galilée. Sommaire 1 Contexte 1.1 Guerre israélo arabe 1.2 …   Wikipédia en Français

  • Opération arithmétique — Arithmétique L arithmétique est une branche des mathématiques qui comprend la partie de la théorie des nombres qui utilise des méthodes de la géométrie algébrique et de la théorie des groupes. On l appelle plus généralement la « science des… …   Wikipédia en Français

  • Élémentaire — Un élémentaire, esprit élémentaire, être élémentaire, ou esprit des Éléments est à l origine une créature imaginaire composée de l un des quatre éléments issus de la tradition grecque, c est à dire l eau, la terre, l air et le feu. Par extension …   Wikipédia en Français

  • Opération Hiram — L Opération Hiram est une opération militaire israélienne de la Première Guerre israélo arabe menée entre les 28 et 31 octobre 1948 dans le nord de la Galilée. Sommaire 1 Contexte 1.1 Guerre israélo arabe 1.2 Front de G …   Wikipédia en Français

  • Opération Banquet —  Ne doit pas être confondue avec une opération navale dans le sud est asiatique en 1944–1945. Opération Banquet Avion biplan de Havilland DH 82A Tiger Moth, N81DH …   Wikipédia en Français

  • Matrice élémentaire — Une matrice est dite élémentaire lorsqu elle est obtenue en appliquant une seule opération élémentaire sur les lignes ou colonnes de la matrice identité[1]. Les opérations élémentaires sur une matrice sont les suivantes[2] : permuter deux… …   Wikipédia en Français

  • Matrice elementaire — Matrice élémentaire Une matrice est dite élémentaire lorsqu elle est obtenue par des opérations élémentaires sur les lignes ou colonnes de la matrice identité. Les opérations élémentaires sur une matrice sont les suivantes : échanger deux… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
… Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”