0 (nombre)

0 (zéro) est le nombre d'éléments de l'ensemble vide. 0 est le plus petit des entiers naturels.

Il joue un rôle central en sciences de par ses nombreuses propriétés de calcul. Il est l'élément neutre de l'addition (pour tout nombre a, a+0=a). Il est un élément absorbant pour la multiplication (pour tout nombre a, a×0=0). La division par zéro n'est pas définie et est à l'origine de raisonnements erronés ou de bogues.

Il est le seul nombre réel à la fois positif et négatif, et sert d'origine dans les repères en mathématiques. Il représente l'absence de quantité dans les systèmes d'unités.

Le signe "0" désigne également un chiffre. Zéro est d'abord apparu comme chiffre dans l'Histoire avant d'être peu à peu accepté en tant que nombre.

0
Cardinal	Zéro
Ordinal	zéroième nullième[1] 0e
Préfixe grec	oudén
Préfixe latin	nihil
Adverbe	zéroièmement
Adverbe d'origine latine
Multiplicatif d'origine latine
Propriétés
Facteurs premiers	Aucune
Diviseurs	Tous les entiers
Autres numérations
Numération romaine	(inexistant)
Système binaire	0
Système octal	0
Système duodécimal	0
Système hexadécimal	0

Sommaire 1 Histoire 1.1 Zéro en tant que chiffre 1.2 En tant que nombre 2 Graphies actuelles 3 Utilisations 4 Le zéro comme notation des bases 2, 8, 10, 16... 5 Le zéro comme absence de quantité 6 Propriétés arithmétiques et algébriques 6.1 Usage étendu de zéro en mathématiques 7 Notes et références 8 Voir aussi 8.1 Articles connexes 8.2 Bibliographie 8.3 Liens externes

Histoire

Zéro en tant que chiffre

Il est apparu trois fois dans l’histoire des systèmes de numération élaborés par différents peuples et civilisations.

La première apparition du zéro en Mésopotamie semble remonter au III^e siècle av. J.-C., à l'époque des Séleucides. Il n'était cependant pas utilisé dans les calculs et ne servait que comme chiffre (marquage d'une position vide dans le système de numération babylonienne)^[2] ; bien qu'ignoré par les Romains, il fut repris et mieux utilisé encore par les astronomes grecs.

Il a été ensuite redécouvert par les Chinois, qui n’ont pas su en revanche introduire le zéro. Les inscriptions sur os et écailles (jiaguwen) découvertes dans la région de Anyang, dans l'actuelle province du Henan, à la fin du XIX^e siècle, nous apprennent que, dès les XIV^e ‑ XI^e siècles av. J.-C., les Chinois utilisaient une numération décimale de type « hybride », combinant dix signes fixes pour les unités de 1 à 9, avec des marqueurs de position particuliers pour les dizaines, centaines, milliers et myriades.

Il est également utilisé par les Mayas durant le I^er millénaire, comme chiffre dans leur système de numération de position, comme nombre et comme ordinal dans le calendrier, où il correspond à l'introduction des mois. (voir numération maya)

En tant que nombre

Son usage moderne, à la fois comme chiffre et comme nombre, est héritée de l'invention indienne des chiffres nagari vers le V^e siècle. Le mot indien désignant le zéro était śūnya (çûnya), qui signifie « vide » « espace » ou « vacant ». Le mathématicien et astronome indien Brahmagupta est le premier à définir le zéro dans son ouvrage Brâhma Siddhânta. Ce mot, traduit de l'arabe en « ṣifr » (Sifr صِفْر), ce qui signifie « vide » et « grain », est la racine des mots chiffre et zéro (vient de ce que Fibonacci a traduit l'arabe Sifr par l'italien zephiro, à partir duquel il a formé zevero qui est devenu zero). La graphie du zéro, d'abord un cercle, est inspirée de la représentation de la voûte céleste.

Comme l'indique l'étymologie, son introduction en Occident est consécutive à la traduction des travaux des mathématiciens musulmans, notamment ceux d'al-Khwārizmī, vers le VIII^e siècle. Les chiffres arabes sont importés d'Espagne en Europe chrétienne aux environs de l'an mil par Gerbert d'Aurillac, devenu le pape Sylvestre II. Le zéro ne se généralise pas pour autant dans la vie courante, les chiffres dits arabes servant surtout... à marquer les jetons d'abaque de 1 à 9 !

Ce n'est qu'avec le retour du commerce intensif consécutif aux Croisades que les Européens généralisent, au XII^e siècle, l'usage du zéro. Une curiosité pour les œuvres des auteurs grecs et musulmans prend en même temps naissance.

Léonard de Pise, dit Fibonacci, a une influence déterminante. Il reste plusieurs années en Afrique du Nord en Algérie et exactement à Béjaïa ou Bougie et étudie auprès d'un professeur local. Il voyage également en Grèce, Égypte, Proche-Orient et confirme l'avis de Sylvestre II sur les avantages de la numération de position. En 1202, il publie le Liber Abaci, recueil qui rassemble pratiquement toutes les connaissances mathématiques de l'époque, et malgré son nom, apprend à calculer sans abaque.

Graphies actuelles

La graphie « 0 » n'est pas la seule utilisée dans le monde ; un certain nombre d'alphabets — particulièrement ceux des langues du sous-continent indien et du sud-est asiatique — utilisent des graphies différentes.

Alphabet	Chiffre	Alphabet	Chiffre	Alphabet	Chiffre	Alphabet	Chiffre
Amharique	፨	Arabe Oriental	٠	Bengalî	০	Birman	၀
Devanāgarī	०	Arabe Occidental	0	Gurmukhî	੦	Kannara	೦
Khmer	໐	Gujarati	૦	Malayalam	൦	Oriya	୦
Tamoul	௦	Télougou	౦	Thaï	๐	Tibétain	༠
Sinogramme	零 ou 〇

Utilisations

Il est aujourd'hui à la base de notre système de mesure de la température :

• 0 °C : température du passage de l'eau de l'état solide (glace) à l'état liquide, à une pression ambiante de 1013 hPa ;
• 0 K : zéro absolu, température la plus basse possible (-273,15 °C), pour laquelle l'énergie rovibrationnelle et cinétique des molécules est nulle.

Il n'y a pas d'année zéro dans le calendrier grégorien. En effet, l'usage du nombre 0 en Europe est postérieur à la création de l'anno Domini par Dionysius Exiguus au VI^e siècle. Cependant pour simplifier les calculs d'éphémérides, les astronomes définissent une année 0 qui correspond à l'année -1 des historiens, l'an -1 des astronomes correspondant à l'an -2 des historiens et ainsi de suite...

C'est ainsi que le III^e millénaire et le XXI^e siècle ont commencé le 1^er janvier 2001.

Minuit peut se noter 00:00.

Les informaticiens ont l'habitude de compter à partir de 0 et non de 1. La raison en est que la numérotation d'éléments stockés de façon continue dans une zone de stockage (disque, mémoire, etc) se fait par décalage par rapport à une adresse de début : le premier élément est celui au début de la zone (+ 0), le second élément est le suivant (+ 1), etc. Ce double standard des numérations à partir de 0 et de 1 (chaque système ayant ses avantages et inconvénients) est la source de nombreuses erreurs de programmation.

Le zéro comme notation des bases 2, 8, 10, 16...

Dans la base dix que l'on utilise, le chiffre le plus à droite indique les unités, le deuxième chiffre indique les dizaines, le troisième les centaines, le quatrième les milliers...

Le zéro joue donc un rôle particulier dans le système arithmétique positionnel, quel qu'il soit du reste.

Rappelons que l'usage de la base 10, en provenance de l'Inde, s'est imposé par rapport à d'autres bases, comme par exemple 12 et 60 qui étaient utilisées dans certaines civilisations.

Lorsqu'il y a des unités résiduelles, par exemple dans trente-deux (32), le chiffre des unités (2) permet de comprendre que l'autre chiffre (3) indique les dizaines.

Si l'on a un nombre entier de dizaines (par exemple trois dizaines, trente), il n'y a pas d'unité résiduelle. Il faut donc un caractère qui permette de marquer que le 3 correspond aux dizaines, et ce caractère est le 0 ; c'est ainsi que l'on comprend que « 30 » signifie « trois dizaines ».

On aurait pu utiliser n'importe quel autre caractère, par exemple un point ; ainsi, deux-cent trois se noterait « 2.3 ».

L'utilisation d'un caractère « bouche-trou » remonte à la numération babylonienne, comme indiqué ci-dessus, mais il ne s'agit pas du concept d'« absence de quantité », il s'agit juste d'une commodité de notation. Dans la numération romaine, cet artifice n'est pas utile puisque les unités (I, V), les dizaines (X, L), les centaines (C, D) et les milliers (M) sont notés avec des caractères différents. En contrepartie, la notation de nombres supérieurs à 8999 devient problématique et les reconnaissances de structures pour le calcul mental rapide bien plus pénibles.

Il pourrait être bon de rappeler que les Mayas utilisèrent aussi un autre zéro, spécialisé pour la notation du premier jour d'un mois de l'année solaire (le ha'ab de 365 jours). Chez eux, le premier janvier était un « 0 Pop ».

Le zéro comme absence de quantité

Le fait d'exprimer l'absence de quantité par un nombre n'est pas une évidence en soi. L'absence d'un objet s'exprime par la phrase « il n'y en a pas » (ou « plus »).

Les nombres sont déjà une abstraction : on ne s'intéresse pas à la qualité d'un objet, mais juste à sa quantité, la dénombrabilité (le fait que des objets soient similaires mais distincts). Avec le zéro, on va jusqu'à nier la quantité.

Lorsque l'on additionne ou multiplie deux nombres, on a derrière l'image de regrouper deux tas d'objets semblables, deux troupeaux. Cette image ne tient plus lorsque l'on manipule le zéro.

L'invention du zéro a permis l'invention des nombres négatifs.

Propriétés arithmétiques et algébriques

Pour tout nombre réel (ou complexe) a :

• (0 est élément neutre pour l'addition)
• (0 est élément absorbant pour la multiplication)
• si alors
• n'est pas défini (c'est une forme indéterminée du calcul des limites), mais il est souvent « pratique », dans certains cadres formels, de considérer que .
• par extension de la factorielle à l'aide de la fonction Gamma,
• 
• non défini (voir article division par zéro)
• non défini, en remarquant toutefois que le calcul lorsque les deux valeurs tendent vers zéro est la base du calcul différentiel.

Usage étendu de zéro en mathématiques

• Zéro est l'élément neutre dans un groupe abélien muni de la loi ou l'élément neutre pour l'addition dans un anneau.
• Un zéro d'une fonction est un point dans le domaine de définition de la fonction dont l'image par la fonction est zéro ; aussi appelé racine, surtout dans le cas d'une fonction polynôme. Voir zéro (analyse complexe).
• En géométrie, la dimension d'un point est 0.
• En topologie, la dimension topologique de l'ensemble de Cantor est 0, quoiqu'il ait une dimension de Hausdorff non nulle.
• En géométrie analytique, 0 a pour nom l'origine, notée aussi O (un cas où l'ambiguïté est bénigne).
• Le concept de « presque » impossible en probabilité. Plus généralement, le concept de presque nulle part en théorie de la mesure.
• Une fonction zéro est une fonction avec 0 comme seule valeur de sortie possible. Une fonction zéro particulière est le morphisme zéro. Une fonction zéro est l'identité dans le groupe additif des fonctions.
• Zéro est l'une des trois valeurs de retour possibles de la fonction de Möbius. Si on entre un entier x² ou x²y, la fonction de Möbius retournera zéro.
• C'est un nombre de Pell.

Notes et références

Voir aussi