Droite Réelle Achevée

Droite Réelle Achevée: Droite réelle achevée

En mathématiques, la droite réelle achevée désigne l'ensemble $\overline{\mathbb{R}}$ constitué des nombres réels auxquels on adjoint deux éléments notés $+ \infty$ et $- \infty$ (qui ne sont pas considérés comme des nombres réels) vérifiant les propriétés suivantes :

pour tout réel x, x < $+ \infty$ ,

pour tout réel x, x > $- \infty$

L'addition et la multiplication définis sur l'ensemble des réels restent valables dans la droite achevée, de sorte que :

Addition : pour tout réel x,

x + ( $+ \infty$ ) = ( $+ \infty$ )

x + ( $- \infty$ ) = ( $- \infty$ )

( $+ \infty$ ) + ( $+ \infty$ ) = ( $+ \infty$ )

( $- \infty$ ) + ( $- \infty$ ) = ( $- \infty$ )

Multiplication : pour tout réel strictement positif x (x > 0),

$x \times (+ \infty)$ = ( $+ \infty$ )

$x \times (- \infty)$ = ( $- \infty$ )

pour tout réel strictement négatif x (x < 0),

$x \times (+ \infty)$ = ( $- \infty$ )

$x \times (- \infty)$ = ( $+ \infty$ )

( $+ \infty) \times (+ \infty$ ) = ( $+ \infty$ )

( $+ \infty) \times (- \infty$ ) = ( $- \infty$ )

( $- \infty) \times (- \infty$ ) = ( $+ \infty$ )

en revanche, les expressions

( $+ \infty$ ) + ( $- \infty$ ),

$0 \times (+ \infty)$ et

$0 \times (- \infty)$ n'ont aucun sens.

L'une de ses particularités notables est que tout ensemble inclus dans la droite réelle achevée admet une borne supérieure et une borne inférieure, y compris l'ensemble vide (noté ∅, et qui dans la droite réelle achevée admet $+ \infty$ en tant que borne inférieure, et $- \infty$ en tant que borne supérieure).

Cet ensemble est très utile en analyse, et particulièrement dans certaines théories de l'intégration.

Voir aussi

Compactifié d'Alexandroff

Notion de nombre

Ensembles usuels $\mathbb{N}$ Entier naturel • $\mathbb{Z}$ Entier relatif • $\mathbb{D}$ Nombre décimal • $\mathbb{Q}$ Nombre rationnel • $\mathbb{R}$ Nombre réel • $\mathbb{C}$ Nombre complexe

Extensions $\mathbb{H}$ Quaternion • $\mathbb{O}$ Octonion • $\mathbb{S}$ Sédénion • Nombre complexe fendu • Tessarine • Nombre bicomplexe • Nombre multicomplexe • Biquaternion • Coquaternion • Octonion fendu • Nombre hypercomplexe • $\mathbb{Q}_p$ Nombre p-adique • Nombre hyperréel • Nombre superréel • Nombre dual • Droite réelle achevée • Nombre cardinal • Nombre ordinal • Nombre surréel et pseudo-réel

Propriétés particulières Parité • Nombre premier • Nombre composé • Carré parfait • Nombre parfait • Nombre positif • Nombre négatif • Fraction dyadique • Nombre irrationnel • Nombre algébrique • Nombre transcendant • Nombre imaginaire pur • Nombre de Liouville • Nombre normal • Nombre univers • Nombre constructible • Nombre réel calculable • Nombre transfini • Infiniment petit • Infiniment grand

Exemples d’importance historique π Pi • √2 Racine carrée de deux • φ Nombre d’or • 0 Zéro • $i$ Unité imaginaire • $e$ Constante de Neper • ℵ₀ Aleph-zéro • Table de constantes mathématiques

Notions connexes Chiffre • Numération • Fraction • Opération • Calcul • Algèbre • Arithmétique • Suite d’entiers • ∞ Infini • Chiffre significatif

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Catégories : Infini | Espace topologique remarquable | Analyse réelle | Compacité

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